Here, we apply some properties of entropy function to solve the problem of extremal finite set theory.
Problem 4’. Let F be an antichain of n-set. Prove that |
Proof.
The function is maximized at i = [n/2].
Then,
It yields that
So
The proof is completed.
(Vietnamese) Giải.
Hàm đạt cực đại tại t i = [n/2].
Thì,
Điều này thu được,
Do vậy,
Điều phải chứng minh.
Problem 5. Let X be randomvariable, have distribution table
When.
Easily seen, if X gets n values with equal probability then
(Vietnamese)
Dễ thấy nếu X nhận n giá trị với xác suất bằng nhau thì
Problem 6. Let F is the family subsets of {1,2,…,n} và is the proportion of sets in F containing i. When,
Where,
Proof.
For any , v(F) a feature vector of set F. Put is random variable gets value in with the corresponding probability.
We have
Hence
So v, We get
Thus
Therefore, the proof is complete.
(Vietnamese) Giải.
Với mỗi , ký hiệu là vecto đặc trưng của tập F (vecto n chiều).
Đặt là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong với xác suất tương ứng
Rõ ràng ta có,
Suy ra,
Do đó v, Ta có
Suy ra
Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |
