Vinh university college of education mathematics department
Some probabilitics methods to solve some familiar problems
tải về 120.21 Kb.
|
| Some probabilitics methods to solve some familiar problems
Problem 1. There are 200 students taking a math exam. The test has 4 question. Know that, each quétion is correctly solved by at least 150 participants. Prove that there are 2 students participating so that each question is solved by at least one of them. Proof. Consider the test of choosing any 2 students. Then the elementary event space has elements. Let be the event that 2 students are not solved the problem . We have Hence Therefore The proof is complete. (Vietnamese) Giải. Xét phép thử chọn 2 sinh viên bất kỳ. Khi đó không gian biến cố sơ cấp có phần tử. Gọi là biến cố cả 2 sinh viên đuowcj chọn không giải đúng bài toán . Ta có Suy ra Vì vậy Điều cần chứng minh. Problem 2. In a table, there are 100 x 100 squares. For any a square, we write a interger number 0. Moreover, a interger number appears in the table exactly twice. Prove that, can choose 100 squares if: a, Each row is choosed exactly a square. b, Each column is choosed exactly a square. c, The number in the choosed squares are pairwise diferent. Proof.
In the i-th row, we choose a square . This option satisfies conditions (a), (b). We take the elementary event of such choices (i.e. each elementary event is 100 square taken in the above way). Since each permutation corresponds to each way, the elementary event space has 100! element. For any we put is an event have 2 square with the same number j. Then -If the number j appears 2 times on the same line or the same column, . -If the number j appears 2 times not no the sane row or a column. Let’s say it’s row position 1 column 1 and row position 2 column 2. Then the numbers case favorable for coressponds to the pẻmutations p where That means thể are 98! Case is favorable for . Therefore, On the other hand, is an events that selects at least 2 square with the same number. The eventthat that the squares are selected pairwwise different is: We get Therefore The proof í complete. (Vietnamese) Giải. Giả sử là một hoán vị bất kì của tập . Khi đó ở hàng thứ i ta chọn ô thứ . Cách chọn này thoả mãn điều kiện (a), (b). Ta lấy không giân biến cố sơ cấp gồm các cách chọn như vậy (tức mỗi biến cố sơ cấp là 100 ô được lấy theo cách trên). Do mỗi hoán vị ứng với mỗi cách nên không gian biến cố sơ cấp có 100! Phần tử. Với mỗi ta đặt là biến cố có hai ô cùng số j. Khi đó -Nếu số j xuất hiện 2 lần trên cùng một dòng hoặc cùng một cột thì . -Nếu số j xuât hiện 2 lần không trên cùng một hàng hoặc một cột. Giả sử đó là vị trí hàng 1 cột 1 và vị trí hàng 2 cột 2. Khi đó số TH thuận lợi cho tương ứng với các hoán vị p mà Nghĩa là có 98! TH thuận lợi cho . Cho nên Mặt khác là biến cố chọn được ít nhất 2 ô cùng số. Biến cố các ô được chọn đôi một khác nhau là: Ta thu được Vì vậy Điều phải chứng minh. tải về 120.21 Kb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|