TÍch phân và Ứng dụng tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa họC
tải về 0.83 Mb.
|
Ví dụ 2.6.5. ([4]) Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình đường tròn trong hệ tọa độ cực là
Tính độ dài đường Cardioide . Giải
Tính độ dài đường cong . Giải
Tính độ dài đường xoắn Acsimet: . Giải
(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009, khối A)
(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009, khối B)
(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010, khối B)
(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011, khối A)
(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối B)
.
Tính thể tích của vật tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2007, khối B) CHƯƠNG 3. CÁC BÀI TOÁN KHÁC.
Xét bài toán: Cho . Tìm Có rất nhiều bài toán giới hạn dãy số mà việc tính tổng trực tiếp không thể thực hiện được. Tuy nhiên có thể biến đổi tổng này về dạng tổng tích phân Rieman, rồi từ đó xác định hàm số dưới dấu tích phân. Giới hạn của dãy số đã cho chính là kết quả của tích phân xác định. Phương pháp này được mô tả như sau: Giả sử liên tục trên , khi đó với mọi phép phân hoạch của đoạn và mọi cách chọn các điểm ; Đặt ta luôn có
Ví dụ 3.1.1. ([5]) Cho . Tính . Giải Biến đổi Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn . Ta có . Ví dụ 3.1.2. ([5]) Cho . Tính . Giải Biến đổi Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn Ta có
. Ví dụ 3.1.3. ([5]) Cho . Tính . Giải Biến đổi Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn Ta có:
. Ví dụ 3.1.4. Cho . Tính . Giải Biến đổi . Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn Ta có
. Ví dụ 3.1.5. ([5]) Cho . Tính . Giải Biến đổi Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn Ta có
. Ví dụ 3.1.6. ([5]) Cho . Tính . Giải Biến đổi Xét hàm số liên tục trên nên khả tích trên . Chia đoạn bởi các điểm chia và chọn Ta có
.
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định: “Nếu hàm số liên tục và không âm trên thì là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ; trục hoành và 2 đường thẳng . Từ ý nghĩa hình học chúng ta có thể hiểu được các mệnh đề sau đây:
Nếu là hàm số liên tục trên và thì .
Nếu là hai hàm số liên tục trên và thì .
Nếu là hàm số liên tục trên và và không đồng nhất bằng 0 trên thì .
Nếu là hai hàm số liên tục trên và và không đồng nhất với nhau trên thì .
Nếu là hàm số liên tục trên , và không đồng nhất với m hoặc M trên thì .
Nếu là hai hàm số liên tục trên thì .
Nếu là hai hàm số liên tục trên thì .
Ví dụ 3.2.1. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải Xét liên tục trên . Ta có . Ví dụ 3.2.2. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải
Chứng minh rằng: . Giải
Chứng minh rằng: . Giải
Chứng minh rằng: . Giải
Cho hai hàm số liên tục trên . Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (đpcm).
Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng: Giải Vì Xét hàm số liên tục và đồng biến trên nên nó có hàm số ngược là trên khoảng . Đường thẳng và cắt đồ thị hàm số tại các điểm M, N Gọi là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường Gọi là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường Gọi là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường Ta có: Nhìn vào hình vẽ suy ra: (đpcm).
Cho với và là 2 hàm liên tục trên . Chứng minh rằng: Dấu bằng xảy ra Giải Xét 2 khả năng sau đây: + Khả năng thứ nhất Nếu thì do nên suy ra (đpcm) + Khả năng thứ hai Giả sử và . Sử dụng bất đẳng thức Young
Lấy tích phân trên đoạn bất đẳng thức trên ta thu được (đpcm).
Cho và là 2 hàm liên tục trên . Chứng minh rằng: Giải Gọi sao cho , sử dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm số liên tục và ta có . Tương tự như trên ta sử dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm số liên tục và ta có Từ suy ra . + Nếu thì hiển nhiên bất đẳng thức đã cho đúng. + Nếu thì chia hai vế của cho
Cho hai hàm số liên tục và đơn điệu trên .
Giải Ta sẽ chứng minh đại diện: là hai hàm liên tục và đồng biến trên . Ta có:
Theo định lý về giá trị trung gian của một hàm số liên tục thì tồn tại điểm sao cho . Mặt khác do đồng biến trên nên (đpcm).
Ví dụ 3.2.6. ([4]) Cho là hàm số xác định và liên tục trên và Chứng minh rằng: . Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số và với ta có . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số ta có . Từ suy ra: (đpcm). Ví dụ 3.2.7. ([4]) Cho là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên và . Chứng minh rằng: . Giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai hàm số và ta có . Theo công thức Newton – Leibnitz thì . Ví dụ 3.2.8. ([4]) Cho là một hàm liên tục trên và thỏa mãn các điều kiện: và . Chứng minh rằng: Giải
+) ta có: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có . . Dấu bằng xảy ra +) . Do . Ví dụ 3.2.9. ([4]) Cho và hàm liên tục trên thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng Giải
Theo Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có . . Xét . Ta có và . Đặt
Số thực gọi là giá trị trung bình của hàm trên đoạn .
Nếu hàm khả tích trên đoạn và thì tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho . Hệ quả Nếu là một hàm số liên tục trên đoạn thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
Giả sử là hai hàm khả tích trên đoạn thỏa mãn 2 điều kiện: và không đổi dấu trên Khi đó luôn tồn tại sao cho hơn nữa nếu liên tục trên thì sao cho .
+ Nếu hai hàm số khả tích trên và đơn điệu trong thì . + Nếu có thêm điều kiện đơn điệu giảm và không âm trong thì . + Nếu có thêm điều kiện đơn điệu tăng và không âm trong thì .
Ví dụ 3.2.10. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số thì sao cho: Suy ra (đpcm). Ví dụ 3.2.11. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số thì sao cho . Ví dụ 3.2.12. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải
Áp dụng định lý 1 cho hai hàm số thì sao cho . Vậy (đpcm).
Ví dụ 3.2.13. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số Lấy . Gọi các điểm . Ta có là hàm lõm nên tiếp tuyến tại M luôn nằm dưới đồ thị . Giả sử tiếp tuyến cắt đường thẳng tại 2 điểm E, F và cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q. Khi đó Vậy (đpcm) Ví dụ 3.2.14. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải Xét hàm số với . Gọi Ta có: Gọi ; Gọi là diện tích đa giác thì dễ thấy Do đó (đpcm).
Chứng minh rằng: . Giải Xét hàm số Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi . là diện tích hình chữ nhật . Trong cả 2 hình vẽ ta đều có
Chứng minh rằng: . Giải Ta có và . Cho lấy từ ta có: (đpcm). Ví dụ 3.2.18. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải Ta có: . Cho lấy các giá trị từ ta có: Ví dụ 3.2.19. ([4]) Chứng minh rằng: . Giải Ta có: Cho lấy các giá trị từ ta có . Cộng 1 vào các vế ta có .
Cho hàm số liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên với . Gọi là hàm ngược của . Khi đó và thì . Dấu bằng xảy ra . Hệ qủa. Nếu thì ta có .
. Dấu bằng xảy ra .
+ Cho hàm số liên tục và tăng trên ta có . + Cho hàm số liên tục và giảm trên ta có . Hệ quả. + Nếu và hàm số liên tục và tăng trên ta có . + Nếu và hàm số liên tục và giảm trên ta có .
Khi đó ta có: .
Ví dụ 3.2.21. ([4]) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải
Xét hàm số . Ta có nên giảm trên . Sử dụng mệnh đề 3, ta có . Vậy . Ví dụ 3.2.22. ([4]) Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Giải
Xét hàm số . Dễ thấy liên tục và nên đơn điệu tăng trên . Mặt khác và có hàm ngược là . Sử dụng mệnh đề 1, ta có: Mà và Suy ra: . Vậy . Dấu bằng xẩy ra . Каталог: files -> ChuaChuyenDoi ChuaChuyenDoi -> ĐẠi học quốc gia hà NỘi trưỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Thị Hương XÂy dựng quy trình quản lý CÁc công trìNH ChuaChuyenDoi -> TS. NguyÔn Lai Thµnh ChuaChuyenDoi -> Luận văn Cao học Người hướng dẫn: ts. Nguyễn Thị Hồng Vân ChuaChuyenDoi -> 1 Một số vấn đề cơ bản về đất đai và sử dụng đất 05 1 Đất đai 05 ChuaChuyenDoi -> Lê Thị Phương XÂy dựng cơ SỞ DỮ liệu sinh học phân tử trong nhận dạng các loàI ĐỘng vật hoang dã phục vụ thực thi pháp luật và nghiên cứU ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Hà Linh ChuaChuyenDoi -> ĐÁnh giá Đa dạng di truyền một số MẪu giống lúa thu thập tại làO ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiêN ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Văn Cường tải về 0.83 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|