TÍch phân và Ứng dụng tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa họC
tải về 0.83 Mb.
|
Ví dụ 1.5.16. ([3]) Tính Ví dụ 1.5.17. ([3]) Tính Ví dụ 1.5.18. ([3]) Tính
Dạng 1. Nguyên hàm liên kết Ví dụ 1.5.19. ([4]) Tính Xét nguyên hàm liên kết với là Ta có: Giải hệ phương trình suy ra:
Tính Xét nguyên hàm liên kết với là Ta có:
Giải hệ phương trình ta có: Dạng 2. Nguyên hàm dạng Giả sử , ta sẽ tìm được Khi đó ta có, Ví dụ 1.5.21. ([4]) Dạng 3. Nguyên hàm dạng Giả sử . Khi đó ta có
Tính . Ta có . Do đó . Dạng 4. Nguyên hàm dạng Giả sử Khi đó
Tính . Với . Vậy .
Tính các nguyên hàm sau: CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG
Giả sử hàm số xác định và bị chặn trên đoạn . Xét một phân hoạch bất kì của đoạn , tức là chia đoạn thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : . Trên mỗi đoạn lấy bất kì điểm và gọi là độ dài của đoạn . Khi đó gọi là tổng tích phân của hàm trên đoạn . Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch , số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm . Nếu tồn tại (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số trên đoạn và kí hiệu là: . Khi đó hàm số được gọi là khả tích trên đoạn .
Cho hàm số xác định trên . Chia đoạn trên thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : . Ký hiệu: ; Đặt: ; Khi đó khả tích trên đoạn .
Cho liên tục trên đoạn và hàm khả vi, liên tục trên đoạn và ; . Khi đó ta có .
Giả sử hàm số khả vi, liên tục trên , khi đó
Nếu thì .
Ví dụ 2.1.1. Tính Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau Xét hàm số xác định trên đoạn . Ta chia đoạn thành n đoạn , ,…, Trên mỗi đoạn lấy và , khi đó theo định nghĩa tích phân xác định thì . Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng có thể dễ dàng phân hoạch và chọn được . Vì vậy ta có thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz. Ví dụ như cần tính . Ta có
Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều. Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xác định. Ví dụ 2.1.2. ([1]) Tính Ta có
Tính Ta có:
Tính Ta có Cũng như cách tính nguyên hàm ở chương I ta có những cách tính tích phân tương ứng trong đó phương pháp sử dụng nhiều đó là phương pháp tính tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Ví dụ 2.1.5. ([1]) Tính Đặt
Tính Đặt . Đổi cận: Ngoài ra xét tính chất đặc biệt của các hàm số tính tích phân ta còn có một số phương pháp khác để tính tích phân như phương pháp sử dụng tích phân liên kết. Ví dụ 2.1.7. ([4]) Tính Xét tích phân liên kết với là Ta có: Mặt khác:
Từ suy ra: Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số đó (Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của tích phân cần tìm.
Lý thuyết
+ Bước 1. Giải phương trình + Bước 2. Sử dụng công thức: .
+ Bước 1. Giải phương trình tương giao để tìm hoành độ giao điểm . + Bước 2. Sử dụng công thức .
Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1. ([4]) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi . Lập bảng xét dấu của :
Nhìn vào bảng xét dấu ta có (đvdt). Ví dụ 2.2.2. ([3]) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi Ta có vì . Đặt (đvdt). Ví dụ 2.2.3. ([4]) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi Tìm hoành độ các giao điểm
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Giải
+ Giải phương trình và + Do vậy (đvdt). Ví dụ 2.2.5. (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Giải
+ Giải phương trình hoành độ giao điểm . Ta có + Do vậy . Đặt (đvdt). Ví dụ 2.2.6. ([4]) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Giải
+ Giải phương trình hoành độ giao điểm . + Khi đó (đvdt). Ví dụ 2.2.7. ([5]) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi + Tung độ giao điểm là nghiện của phương trình
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường + ; ;
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Giải
Gọi là phần diện tích giới hạn bởi Gọi là phần diện tích giới hạn bởi Khi đó Ta có
+ . Đặt + . Đặt .
. Vậy (đvdt).
Lý thuyết
Trong công thức tính diện tích ta thay thế bởi , được thay thế bởi , còn 2 cận a, b được thay thế bởi lần lượt là nghiệm của . Khi đó: .
Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1. ([5]) Tính diện tích hình elip giới hạn bởi Phương trình tham số của Xét phần diện tích của nằm trong góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng . Đổi cận ta có: (đvdt).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Cycloide . (đvdt). Ví dụ 2.3.3. ([4]) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Astroide (đvdt).
Lý thuyết Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị , tia mang véc tơ gọi là trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ Cực. Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi véc tơ nghĩa là xác định bởi góc ; ; được gọi là góc cực và được gọi là bán kính cực. Góc là một góc định hướng lấy giá trị dương nếu chiều quay đến trùng với ngược chiều kim đồng hồ và lấy giá trị âm nếu cùng kim đồng hồ. Nếu thì cặp số có thứ tự được gọi là tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng. Bằng cách xây dựng này ta có một song ánh giữa tập tích Đề các và các điểm trong mặt phẳng tọa độ Cực, tức là: Mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp số thứ tự (riêng điểm O thì , còn tùy ý; và mỗi cặp số thứ tự ứng với một điểm M của mặt phẳng.
Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia . Gọi và lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ Đềcác và hệ tọa độ Cực. Khi đó ta có: Ngược lại ta có: (trong công thức này có 2 góc tương ứng thỏa mãn nên ta sẽ lấy góc cùng dấu với y vì ).
Cho hàm số , đồ thị hàm số này trong hệ tọa độ Cực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và phương trình được gọi là phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực
Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: và đường là . Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Cardioide (đvdt). Ví dụ 2.4.2. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong (Hoa hồng 4 cánh) (đvdt). Ví dụ 2.4.3. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong (Hoa hồng 3 cánh) (đvdt) Ví dụ 2.4.4. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Parabole Ta có:
(đvdt) Ví dụ 2.4.5. ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi các đường cong (Phần ngoài đường tròn) + Giải phương trình : Hai đường cắt nhau tại (đvdt).
Công thức: .
Công thức: .
+ Bước 1: Giải phương trình + Bước 2: Giả sử . Khi đó: .
+ Bước 1. Tách đường cong bậc hai thành: và giả sử . + Bước 2. Xác định cận . Khi đó .
. + Bước 1. . + Bước 2. .
. + Bước 1. . + Bước 2. Giả sử .
+ Bước 1. Tách đường cong bậc hai thành: , và giả sử . + Bước 2. Xác định các cận . Khi đó .
Ví dụ 2.5.1. ([2]) Tính V, sinh bởi quay quanh Ox. Xét .
Cho . Tính khi S quay quanh Ox. Giải
Tính V, sinh bởi quay quanh Ox. Giải Xét . (đvtt). Ví dụ 2.5.4. ([5]) Tính , sinh bởi quay quanh Oy. Giải
Cho a.Tính khi S quay quanh Ox. b.Tính khi S quay quanh Oy.
. Đặt . Đổi cận :
(đvtt).
Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) là .
Nếu đường cong có phương trình tham số ứng với thì độ dài đường cong là: .
Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực thì độ dài đường cong L là .
Dạng 1. Độ dài của đường cong có phương trình Ví dụ 2.6.1. ([4]) Tính độ dài đường cong Giải
Tính độ dài đường cong . Giải
Tính độ dài đường Cycloide . Giải
Tính độ dài đường Astroide . Giải
Каталог: files -> ChuaChuyenDoi ChuaChuyenDoi -> ĐẠi học quốc gia hà NỘi trưỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Thị Hương XÂy dựng quy trình quản lý CÁc công trìNH ChuaChuyenDoi -> TS. NguyÔn Lai Thµnh ChuaChuyenDoi -> Luận văn Cao học Người hướng dẫn: ts. Nguyễn Thị Hồng Vân ChuaChuyenDoi -> 1 Một số vấn đề cơ bản về đất đai và sử dụng đất 05 1 Đất đai 05 ChuaChuyenDoi -> Lê Thị Phương XÂy dựng cơ SỞ DỮ liệu sinh học phân tử trong nhận dạng các loàI ĐỘng vật hoang dã phục vụ thực thi pháp luật và nghiên cứU ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Hà Linh ChuaChuyenDoi -> ĐÁnh giá Đa dạng di truyền một số MẪu giống lúa thu thập tại làO ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiêN ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Văn Cường tải về 0.83 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|