Lược đồ khi dạy học toán có sử dụng cây đồ thị

Chúng ta dạy toán để giải quyết bài toán T bằng cách thông qua cây đồ thị cần tiến hành thực hiện theo trình tự 3 bước sau:

Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các đối tượng đã cho trong bài toán. Dùng ngay các ký hiệu đối tượng để ghi trên các điểm tương ứng.

Cặp điểm A, B được nối với nhau bởi một cạnh với “đặc điểm t” khi và chỉ khi các đối tượng A và B có quan hệ (t) với nhau. Khi đó bài toán T đã được chuyển về bài toán D trên cây đồ thị.

Bước 2. Dựa vào cấu trúc của sơ đồ mô tả quan hệ và điều kiện đã cho của bài toán để suy ra đáp án

Giải bài toán D.

Nếu đáp án của bài toán D còn dưới dạng “ngôn ngữ đồ thị” thì căn cứ vào phép đặt tương ứng khi xây dựng cây đồ thị mà diễn đạt đáp án qua ngôn ngữ thông thường (tức đáp án của bài toán T ban đầu).

Để quá trình giải được đơn giản thì người ta thường thực hiện gộp bước 2 và bước 3.

2.2. Những điểm lưu ý khi sử dụng cây đồ thị

Khi sử dụng cây đồ thị để dạy học, giáo viên cần:

- Lựa chọn vấn đề, nội dung phù hợp để tổ chức cho học sinh thao tác xây dựng cây đồ thị.

- Tổ chức cho học sinh hoạt động, thông qua đó họ phát hiện ra nội dung cần học.

- Các hoạt động nên tổ chức theo quy trình: Thao tác – Phát hiện – Diễn đạt.

Sau đây là các ví dụ về dạy học một số nội dung toán ở tiểu học có dùng cây đồ thị.

Vận dụng cây đồ thị vào dạy học là một cách dạy mang tính khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối quan hệ giữa các đối tượng được nghiên cứu. Sử dụng cây đồ thị trong dạy học giúp giáo viên truyền thụ kiến thức một cách sinh động, hệ thống và mô hình hóa làm cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, có một tư duy tổng thể về bài học, giúp dễ hiểu, dễ nhớ, dễ vận dụng kiến thức.

Do đó dùng cây đồ thị để hình thành kiến thức mới sẽ giúp cho người học nắm được kiến thức một cách hệ thống và logic, phát huy tính tích cực trong nhận thức. Hướng dẫn họ từng bước hoàn thành sơ đồ, tóm tắt nội dung cơ bản, chủ chốt của bài học.

Ví dụ 2.1. Bài học “Các số có hai chữ số” (Toán 1)

Giáo viên có thể hệ thống các số tự nhiên có 2 chữ số bằng sơ đồ cây (rừng cây) như hình H – 2.1.

Giáo viên có thể hệ thống các số tự nhiên có ba chữ số từ 101 đến 110 bằng sơ đồ cây như hình H – 2.2.

Giáo viên có thể hệ thống các phép cộng của hai số tự nhiên có tổng bằng 10 bởi sơ đồ cây như hình sau:

Sau khi hướng dẫn cho học sinh biết được cách đọc các số trong sách giáo khoa giáo viên có thể dùng cây để hệ thống các số tự nhiên từ 111 đến 199 bằng sơ đồ cây (rừng cây) như hình H – 2.5.

Thông qua rừng cây này học sinh có thể tính được các số tự nhiên có 3 chữ số từ 111 đến 199.

Tiếp thu toán học là một việc khó, song vận dụng để giải các bài toán còn khó khăn hơn rất nhiều.

Trong dạy học toán, giải bài tập chiếm một vị trí quan trọng, thiết yếu. Bởi điều căn bản là bài tập toán có vai trò đánh giá kết quả học tập của học sinh. Thông qua các bài tập, giáo viên biết được mức độ hiểu bài, nắm bài mới của các em, đồng thời tự đánh giá được chất lượng của tiết dạy.

Trong một số bài toán ở tiểu học, ta gặp các đối tượng hoặc một nhóm đối tượng mà giữa chúng có mối quan hệ nào đấy. Cây đồ thị là giải pháp tốt, hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán đó. Sở dĩ như vậy bởi cây đồ thị là cách dùng hình vẽ để biểu diễn mối quan hệ giữa các đối tượng một cách chặt chẽ và tổng quát.

Trong dạy học toán tiểu học nói riêng, cây đồ thị có vai trò quan trọng. Nếu sử dụng hợp lý, nó sẽ diễn tả trực quan điều kiện của đề bài, loại bỏ những gì không bản chất, giúp ta nhận ra mối quan hệ bản chất giữa các đối tượng, giúp trực quan hóa các suy luận, làm cơ sở để phát hiện cách giải.

Sau đây là một số dạng toán ở tiểu học có thể giải theo cách dùng cây đồ thị (sơ đồ cây).

Các bài toán suy luận logic là nội dung khá lí thú bởi nó vừa mang tính thực tiễn, vừa rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Giải các bài toán suy luận logic không đòi hỏi phải tính toán phức tạp mà điều cần thiết hơn cả là yêu cầu học sinh phải có khả năng suy luận tốt, chặt chẽ, óc quan sát tinh tế, nhạy bén, trí tưởng tượng phong phú, hợp lí, sáng tạo.

Trong bài toán suy luận logic thường xuất hiện 2, 3 nhóm đối tượng khác nhau mà giữa chúng có mối quan hệ nào đấy. Để giải các bài toán này người ta dùng hình vẽ để biểu diễn mối quan hệ giữa các đối tượng. Trong hình vẽ, mỗi đối tượng được biểu diễn bởi một điểm, mối quan hệ giữa hai đối tượng được nối với nhau bởi một đoạn cong (hay đoạn thẳng). Hình biểu diễn như vậy được gọi là graph (lược đồ, lưu đồ, sơ đồ cây…).

Cây đồ thị là phương tiện có thể diễn tả trực quan các đối tượng và quan hệ giữa chúng, tạo ra khả năng theo dõi được nhiều sự kiện có trong điều kiện của bài toán và xây dựng được mối liên hệ giữa chúng. Hay nói cách khác là ta sử dụng sơ đồ cây để giúp cho hoạt động suy luận của học sinh được dễ dàng hơn. Vì vậy cây đồ thị được ứng dụng có hiệu quả để giải một số bài toán về suy luận logic.

Dạng bài toán suy luận logic rất phong phú và đa dạng, song ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến một số dạng thường gặp nhất có thể giải bằng cây đồ thị.

Ví dụ 2.6. Bạn Nam có 3 mảnh giấy. Nam xé một số mảnh thành một số mảnh nhỏ hơn và cứ tiếp tục như thế, sau một số lần xé Nam đếm được 2013 mảnh. Hỏi Nam đếm đúng hay sai? Vì sao?

Sau bao nhiêu lần xé để được 2019 mảnh?

Mỗi mảnh giấy ta biểu diễn là một đỉnh. Thể hiện các lần xé bằng cây. Trên hình H – 2.6 là cây với 2 lần xé.

Từ đó, dùng quy nạp không hoàn toàn, nhận ra rằng sau k lần xé thì có được số mảnh giấy là S, S = 3 + 3. k

Ta có S = 3. (1 + k) là số chia hết cho 3, mà 2013 không chia hết cho 3. Vậy Nam đã đếm sai.

Để xé được 2019 mảnh ta cần số lần xé là: k = (1019 – 3) : 3 = 672

Vậy cần 672 lần xé để được 2019 mảnh.

Ví dụ 2.7. Tương tự ví dụ 2.6, ta có bài toán: Nam có 2 mảnh giấy. Nam “xé” một số mảnh, mỗi mảnh thành 3 mảnh nhỏ hơn và cứ tiếp tục như thế, sau một số lần xé Nam đếm được 1997 mảnh. Hỏi Nam đếm đúng hay sai? Vì sao?

Sau bao nhiêu lần xé được 2014 mảnh?

Cúp Tiger 98 có 4 đội vào bán kết: Việt Nam, Sin – ga – po, Thái Lan và In – đô – nê – xi – a. Trước vòng đấu có 3 bạn: An , Bình và Chi dự đoán như sau:

An: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.

Bình: Thái Lan ba, Sin – ga – po nhì.

Chi: Sin – ga – po nhất, In – đô – nê – xi – a nhì.

Biết kết quả chỉ đúng về một đội. Hỏi đội nào đã đạt giải nào?

Đặt đỉnh X_i chỉ rằng đội X đạt giải i (i = 1, 2, 3, 4). Chẳng hạn V₁ là Việt Nam đạt giải nhất.

Ta biểu diễn mỗi dự đoán trên một tầng của cây gốc O như hình H – 2.7. Cụ thể, ta vẽ cây, hai nhánh đầu tiên tương ứng với dự đoán thứ nhất là V_2, T_4. Từ mỗi nhánh này lại có hai nhánh tương ứng với dự đoán thứ hai. Tiếp tục rẽ nhánh tương ứng với dự đoán thứ ba.



H – 2.7
Ta chặt (đánh dấu X) các nhánh trên cây với lí do: hai đỉnh cùng chữ cái và khác chữ số, hoặc hai đỉnh có cùng chữ số nhưng khác chữ cái. Từ đó chỉ còn một “nhánh sống” (đường đậm nét), theo nhánh đó từ gốc đến lá, ta có kết luận: V₂, T₃, S₁. Suy ra còn lại I₄.

Đáp số: Việt Nam nhì, Thái Lan ba, Sin – ga – po nhất, In – đô – nê – xi –a tư.

a) Đan Mạch ba, Hà Lan tư.

b) Thụy Điển nhất, Đức nhì.

c) Hà Lan ba, Đan Mạch tư.

Biết kết quả mỗi dự đoán đúng về một đội và sai về một đội. Bạn hãy cho biết kết quả xếp hạng của mỗi đội?

Ví dụ 2.10. (Toán nâng cao lớp 4)

Trong một buổi đồng diễn thể dục khai mạc Hội khỏe Phù Đổng toàn quốc, bốn bạn Dung, Mai, Lan và Điệp được phân công cầm 4 lá cờ màu xanh, đỏ, tím, vàng. Khi nghe người huấn luyện hỏi: “em cầm cờ gì?” thì mỗi bạn trả lời như sau:

Dung: “Em cầm cờ đỏ còn Lan cầm cờ xanh.”

Lan: “Em cầm cờ đỏ còn Điệp cầm cờ tím.”

Mai: “Chính em mới được phân công cầm cờ đỏ còn Điệp cầm cờ vàng đấy.”

Điệp: “Thưa thầy, các bạn mệt quá nên nói đùa cho vui đấy ạ! Trong mỗi câu của các bạn chỉ có một phần là đúng thôi, phần còn lại là sai.”

Dựa vào câu nói thành thật của Điệp, hãy nói xem ai cầm cờ màu gì?

Bài giải

Ta kí hiệu màu của các lá cờ: xanh, đỏ, tím, vàng lần lượt là 1, 2, 3, 4.

Và kí hiệu X_i chỉ rằng bạn X cầm cờ i. Chẳng hạn D₄ là bạn Dung cầm cờ màu vàng.

Ta biểu diễn mỗi ý kiến của mỗi bạn trên một tầng của cây gốc O (hình H – 2.8)

Vậy kết quả như sau: Lan cầm cờ màu xanh.

Điệp cầm cờ màu tím.

Mai cầm cờ màu đỏ.

Dung cầm cờ màu vàng.

Ví dụ 2.11. ([6], trang 140)

Trong hội khỏe Phù Đổng, đội tuyển của bốn trường trung học: Hòa Bình, Nguyễn Du, Hoàng Diệu và Điện Biên lọt vào vòng bán kết thi đấu cầu lông. Trước khi vào vòng bán kết, ba bạn là Bình, Nam, Quân có các dự đoán:

Bình: Hoàng Diệu đạt giải nhì, Nguyễn Du đạt giải tư.

Nam: Hòa Bình đạt giải nhì, Nguyễn Du đạt giải ba.

Quân: Hòa Bình đạt giải nhất, Điện Biên đạt giải nhì.

Kết quả mỗi bạn chỉ dự đoán đúng một đội và sai về một đội. Hỏi mỗi trường đạt giải mấy?

Ta kí hiệu tên mỗi đội như sau: Hòa Bình là A, Nguyễn Du là B, Hoàng Diệu là C, Điện Biên là D; và kí hiệu X_i : Đội X đạt giải i ( i = 1, 2, 3, 4).

Ta có sơ đồ sau:



H - 2.9

Nhìn vào sơ đồ ta thấy C₂, B₃, A₁ suy ra D₄ nghĩa là Hoàng Diệu đạt giải nhì, Nguyễn Du đạt giải ba, Hòa Bình đạt giải nhất, Điện Biên đạt giải tư.

Kết quả như sau: Hoàng Diệu đạt giải nhì.

Nguyễn Du đạt giải ba.

Hòa Bình đạt giải nhất.

Điện Biên đạt giải tư.

Các bài toán có chứa yếu tố Giải tích tổ hợp thường rắc rối, khó hiểu. Cho nên, nếu ta không nắm được phương pháp giải thì việc tìm ra đáp án cho dạng toán này là vô cùng vất vả. Cũng vì vậy mà việc tìm cách giải cho chúng là niềm trăn trở của nhiều người học toán. Sử dụng cây đồ thị để làm là một trong những phương pháp hữu hiệu giúp giải quyết các bài toán có yếu tố Giải tích tổ hợp một cách nhanh chóng.

Vậy để biết được việc dạy và học toán có yếu tố Giải tích tổ hợp bằng sơ đồ cây có mang hiệu quả hay không? Chúng ta cùng trao đổi qua các bài toán sau:

Ví dụ 2.12. (Bài giảng Chuyên đề toán, giảng viên Tô Văn Dung)

Hai anh em An và Bình thi đấu cờ tướng với nhau. Luật chơi: Không hòa, người thắng cuộc là người thắng liên tiếp 2 ván hay thắng 3 ván. Có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Ta kí hiệu: A : An thắng Bình trong một ván đấu.

B : Bình thắng An trong một ván đấu.

Dùng cây để thể hiện cuộc đấu giữa hai người như hình H – 2.10.

Trên sơ đồ, cây có bao nhiêu ngọn thì có bấy nhiêu khả năng tương ứng (10 khả năng).

Ngoài ra, cây còn cho ta liệt kê được các khả năng xảy ra (đi từ gốc đến ngọn).

Ví dụ 2.13. ([10], trang 69)

Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái a, b, c và d sao cho chữ b không đi liền sau chữ a.

Sơ đồ cây (hình H – 2.11) thể hiện tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi sắp xếp các chữ cái a, b, c và d sao cho chữ b không đi liền sau chữ a. Dựa vào sơ đồ ta có tất cả 18 cách sắp xếp.

Có thể bắt đầu xét từ chữ số hàng trăm. Có 4 khả năng chọn chữ số hàng trăm. Dùng cây mô tả một trong các khả năng đó. Chọn 1 là chữ số hàng trăm làm gốc, ta có cây như hình H – 2.12.

Trên cây ở hình H – 2. 12 có 16 ngọn, vậy có 16 số cần tìm với chữ số hàng trăm là 1. Tương tự như thế với các chữ số hàng trăm là 2, 3, 4 (tạo thành rừng) ta có số các chữ số cần tìm là: 16 x 4 = 64 (số)

Cho 4 chữ số: 0, 2, 5, 6. Hãy viết các số có 3 chữ số từ bốn chữ số trên, sao cho mỗi số có các chữ số khác nhau?

Ta bắt đầu xét từ chữ số hàng trăm. Có 3 khả năng chọn chữ số hàng trăm (ngoại trừ số 0). Dùng cây mô tả tất cả các khả năng đó.

Ta chọn chữ số 2 ở hàng trăm, ta có các số:


H – 2.13

Ta chọn chữ số 5 ở hàng trăm, ta có các số sau:

Ta chọn chữ số 6 ở hàng trăm, ta có các số sau:

Với 3 chữ số 0, 5, 7 hãy viết các số có 3 chữ số, mỗi số có cả 3 chữ số đó và chia hết cho 5?

Có thể bắt đầu xét từ chữ số hàng trăm. Có 2 khả năng chọn chữ số hàng trăm (ngoại trừ số 0). Dùng cây mô tả tất cả các khả năng đó.

Ta chọn 5 là chữ số hàng trăm, ta có sơ đồ sau:


H – 2.16

Ta chọn 7 là chữ số hàng trăm, ta được các số sau:

Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Nhìn vào rừng cây trên ta đếm được 12 ngọn (thỏa mãn yêu cầu của đề).

Ta có số các số cần tìm là 12 số.

Ví dụ 2.17. (Đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học năm 1996 – 1997)

Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ các chữ số đó ta có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà mỗi số đó đều chia hết cho 3?

Có thể bắt đầu xét từ chữ số hàng trăm. Có 6 khả năng chọn chữ số hàng trăm. Dùng cây mô tả một trong các khả năng đó. Chọn 1 là chữ số hàng trăm làm gốc, ta có cây như hình H – 2.18.

Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Nhìn vào cây ta đếm được 8 ngọn thỏa mãn yêu cầu của bài. Tương tự như thế với các chữ số hàng trăm là 2, 3, 4, 5, 6 (tạo thành rừng) ta có số các số cần tìm là: 6 x 8 = 48 (số)

Toán đếm hình được đề cập ngay từ các lớp đầu cấp tiểu học. Toán đếm hình rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích tổng hợp hình.

Có nhiều phương pháp để giải dạng toán này như:

- Đếm trực tiếp trên hình vẽ hoặc trên đồ vật.

- Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết.

- Sử dụng phương pháp suy luận logic.

- Sử dụng sơ đồ để đếm rồi khái quát thành công thức tính số hình cần nhận dạng.

Ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp sử dụng cây đồ thị để giải các bài toán về đếm hình.

Cho một đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng đã cho lấy ba điểm tùy ý không trùng với đầu mút. Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành?

Từ sơ đồ trên suy ra số đoạn thẳng được tạo thành là:

4 + 3+ 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng)

Ví dụ 2.19. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 4 điểm bất kỳ E, F, G, H không trùng với hai đỉnh B, C. Nối đỉnh A với các điểm E, F, G, H bằng các đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

Bài giải



H – 2.21

Ta có sơ đồ sau:

Từ sơ đồ trên suy ra số tam giác được tạo thành là:

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)

Ví dụ 2.20. ([8], trang 308)

Cho hình thang ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang, còn các điểm E, F, G, H lần lượt là các điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là các điểm kể trên và các đỉnh của hình thang đã cho, đồng thời thỏa mãn điều kiện:

a) Có hai cạnh nằm trên hai cạnh của hình thang?

b) Không có cạnh nào nằm trên cạnh của hình thang?

Ta có sơ đồ sau:

b) Ta có sơ đồ:

Để giúp học sinh học tốt môn Toán, tự tin, đạt kết quả cao trong học toán thì việc giáo viên tổ chức cho học sinh học tập dưới dạng trò chơi là vô cùng cần thiết, cần được chú trọng. Các trò chơi toán học này thực hiện chức năng của hoạt động thực hành – luyện tập, học sinh được củng cố, vận dụng những kiến thức đã học cùng với vốn sống của mình để thực hiện trò chơi.

Khi tham gia trò chơi, học sinh sẽ tưởng tượng, suy ngẫm, thử nghiệm, lập luận để tìm ra đáp án mà không nghĩ mình đang học. Do đó sự khô khan, đơn điệu trong giờ học toán được giảm nhẹ. Đồng thời quá trình học tập sẽ diễn ra một cách tự nhiên, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú vào việc học cũng như trong việc làm.

Trò chơi toán học được thể hiện dưới nhiều hình thức và nội dung phong phú. Sau đây là một số ví dụ minh họa về một trò chơi toán học sử dụng sơ đồ cây để giải đáp.

* Trò chơi tìm đường đi ngắn nhất, dài nhất

Trong các ứng dụng thực tế, chẳng hạn mạng lưới giao thông đường bộ, đường thủy, đường không người ta không chỉ quan tâm đến việc tìm đường đi giữa hai địa điểm mà còn phải lựa chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo tiêu chuẩn không gian, thời gian hay chi phí) . Khi đó phát sinh yêu cầu tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị. Cũng đồng thời bài toán tìm đường đi dài nhất được lập ra.

Để tìm đường đi ngắn nhất, dài nhất của một sơ đồ thì cây sẽ giúp chúng ta dễ dàng thực hiện được điều đó. Hình vẽ của cây không những chỉ có ích ở chỗ giúp ta tính số đường có thể có mà còn giúp ta tìm ra trong số đó đường đi ngắn nhất và dài nhất. Nó còn cho phép ta “nhìn thấy” đồng thời tất cả các đường đi và so sánh chúng.

Ví dụ 2.21. Trên hình H – 2.26 biểu thị sơ đồ của một địa phương. Chỉ có thể đi từ địa điểm này đến địa điểm khác theo chiều mũi tên, mỗi địa điểm tới không quá một lần. Có bao nhiêu cách để đi từ địa điểm 1 đến địa điểm 9? Trong những đường đó, đường nào có độ dài ngắn nhất? Đường nào có độ dài dài nhất?


H – 2.26

Bài giải

Xuất phát từ đỉnh 1, ta lần lượt “phân tầng” đồ thị đường đi tới đỉnh 9 bằng cây. Trong đó thì mỗi đỉnh có bao nhiêu đường của đồ thị ban đầu đi tới nó sẽ có bấy nhiêu lần lấy giá trị thực sự. Ta có cây (hình H – 2.27) biểu diễn các đường có thể.

1

………………………………………………….0

4 …………………… 5………………………  2…………………….1
7 …………5 …… 7…… 8……9……5……………..3 ………2
8…7… 8……9 ……8…9 ….. 7…8………9……6…..3
9……8……9…………9……8………9……5………9………..4
9 ……………………………9………7………8……9………5
8…………9…………………..6
9……………………………………7

H – 2.27
Đường ngắn nhất kết thúc ở tầng các đỉnh treo thấp nhất của cây, đường dài nhất kết thúc ở tầng cao nhất (cao tầng được ghi trên cây bằng các đường nét chấm).

Số các đường bằng số các đỉnh treo của cây là 14. Độ dài của đường ngắn nhất (1, 5, 9) bằng 2. Độ dài của đường dài nhất (1, 2, 3, 6, 5, 7, 8, 9) bằng 7. Vị trí của mỗi đỉnh của cây trong tầng tương ứng giúp ta xác định độ dài của đường.