VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ

Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra

Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm

Bài tập áp dụng

Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất (1)

Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x₀ thì – x₀ cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x₀ = - x₀ suy ra x₀= 0 thay vào (1) ta có m = 0

Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 ,vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi

Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4

Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái = vế phải x² – 2x + m = (x-1)²+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải ≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm
VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn .nếu để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán

Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau

Ta có điều kiện

Khi đó vậy bát phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi

vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình

1. 
   Phương pháp biến đổi tương đương
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết :
      

Dạng2: , hoặc

Chú ý: người ta thường dùng cách thứ 2 khi bình phương hai vế xuâts hiện phương

trình bậc cao

2. 
   Bài tập áp dụng
   

Bài2:gpt | x² +5x+4 | = x+4 tương đương

Bài 3: Giải và biện luận phương trình: | x² -2mx-2m | = | x² + 2x| (1)

Tương đương với

Giải 2

• 
  với m + 1 = 0 thì m = -1 khi đó (2) vô nghiệm
  
• 
  với m + 1 ≠ 0 thì m ≠ - 1 khi đó (2) tương đương với
  

* Với  = 0 m = - 1 (3) có nghiệm x = -1

* Với  > 0 m ≠ - 1 khi đó (3) có nghiệm

Kết luận

• 
  Với m = -1 phương trình có một nghiệm x = - 1
  
• 
  Với m ≠ - 1 phương trình có3 nghiệm x = - 1 , x = m ,
  

Phưong trình tương với

1. 
   Giải và biện luận (2)
   

* Với 1 < thì (2) có nghiệm x = thỏa mãn (*)

* Với 0 ≤ thì (2) có nghiệm x = thỏa mãn (*)

b) Giải và biện luận (3) ,nghiệm của (3) thỏa mãn (*) khi

Kết luận :

• 
  ) vơi m>2 hoặc m <- 6 phương trình vô nghiệm
  
• 
  ) Với phương trình có 2 nghiệm x =
  
• 
  ) thì (2) có nghiệm x = và x=
  

2. 
   Phương pháp chia khoảng
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết: Khi giải phương trình có chứa nhiều tuyệt đối
      
      1. 
         Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
         
      2. 
         Lập bảng xét dấu tất cả các biểu thức nằm trong tuyệt đối
         
      3. 
         Giải phương trình trên từng khoảng đã chia
         
      4. 
         Kết luận
         
   2. 
      Bài tập áp dụng
      

• 
  Nếu x ≤ 0 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 pt tương dưong với x² – x – (2x-4) = 3 khi x²-3x+1=0
  

Cho ta 2 nghiệm loại

* Nếu 02 +x -1 = 0 có nghiệm thỏa mãn

* Nếu x ≥ 2 pt tương đương với x² +x – 7 = 0 có nghiệm thỏa mãn

Bài2: gpt điều kiện x khác 3 và 5

* Nếu x ≤ -3 pt tương đương với x² = 12 có nghiệm x = thỏa mãn

* Nếu -3 2 = 6 có nghiệm x = thỏa mãn

* Nếu x ≥ 4 pt tương đương với x² -2x – 18 = 0 có nghiệm x = 1+ thỏa mãn

Chú ý : néu có nhiều giá trị tuyệt đối cách giải vẫn tương tự nhự vậy

3. 
   Phương pháp sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối :
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết:
      

* Tính chất 2: |a| + |b| = a + b khi và chỉ khi a,b ≥ 0

* Tính chất3 : |a| + |b| = a - b Khi và chỉ khi a ≥ 0 , b ≤ 0

* Tính chất 4 : | a – b | = |a| - |b| Khi và chỉ khi b( a-b) ≥ 0

Cách giải

• 
  Đặt điều kiện phương trình có nghĩa
  
• 
  Biến đổi phương trình về 1 trong 4 dạng trên
  
• 
  Giải và kết luận
  

2. 
   Bài tập áp dụng
   

Cách 1 có thể giải bằng phương pháp chia khoảng

Cách 2 phương trình có thể biến đổi thành | x² – 4x + 3| + | x² – 4x| =

( x² – 4x + 3)- ( x² – 4x )

Bài2 Giải phương trình

Biến đổi phương trình về dạng

Tương đương với

Bài3 Giải phương trình điều kiện x ≥ 2

Tương đương với

Tương đương với =

Tương đương với

4. 
   Phương pháp đặt ẩn phụ:
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết : Đặt ẩn phụ thích hợp đưa bài toán đã cho vè bài toán 1 ản không có tuyệt đối
      
   2. 
      Bài tập áp dụng
      

Đặt t = | x-1| t không âm ta có phương trình t² +4t +3 = 0

Bài2: Giải phương trình

Dặt t = | x² -5x +2| >0 ta có phương trình t + 1/t +1=0 có nghiệm t= -3 , t=2

với t = 2 thỏa mãn khi đó | x² -5x +2| = 2 ta có x² -5x +2 = 2 ,

x² -5x +2 = - 2 cho ta nghiệm x=0 , x= 1, x= 4 , x=5

Bài3 : Giải và biện luận pt

Đặt t = | mx-2| +1 ≥ 1 có phương trình t – 1 + 2/t =2

Kết luận : * với m =0 phương trình vô nghiệm

• 
  với m khác 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1/m , x = 2/m ,
  

có f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v

Bài 1 gpt

Tập xác định x khác 5/2 , 1

Xét hàm só f(t) = e^t – 1 / t có đạo hàm e^t + 1/t² > 0 với mọi t hàm số luôn đồng biến

Vậy ta có f(| 2x-5|) = f( |x-1|) khi và chỉ khi | 2x-5| = | x-1| giải ra có nghiệm x = 2,x=4

Bài2 gpt x² –x|x| + 3x – 10 = 0

Xét hàm số f(x) = x² –x|x| + 3x – 10 có đạo hàm f <sup>) =

Đạo hàm luôn dương với mọi x hàm số luôn luôn đồng biến vậy nếu có nghiệm thì đó là

nghiệm duy nhất dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của bài toán</sup>

6. 
   Phương pháp điều kiện cần và đủ
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết : Tìm điều kiện tham số có thẻ xẩy ra các dạng sau
      

• 
  Dạng1 : phương trình có nghiệm duy nhất
  
• 
  Dạng2 phương triònh có nghiệm với mọi giá trị tham số
  
• 
  Dạng 3 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc miền D
  
• 
  Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác
  

• 
  Đặt điều kiện phương trình có nghĩa
  
• 
  Dựa vào đặc điểm của phương trình tìm điều kiện cần suy ra giá trị của tham só
  
• 
  Giá trị tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
  

2. 
   Bài tập áp dụng
   

Điều kiện cần : vì đúng với mọi x ≥ -2 nên đúng với x = -2 suy ra | 2-m| = 2+m

Suy ra m = 0 , m=4

Điều kiẹn đủ

Với m = o ta có phương trình |x| = x+ 4 ta thấy x =0 không thỏa mãn loại

Với m = 4 ta có | x-4 | = x + 4 luôn đúng với mọi x ≥ -2

Vậy giá trị m = 4 là giá trị cần tìm

6. 
   Phương pháp đánh giá
   

Ta có thể suy ra nghiệm của phương trình

2. 
   Bài tập áp dụng Bài toán 1: gpt sau
   

Bài toán2: gpt 6-4x –x² =

nhận xét Vt ≤ 10, Vp ≥ 10 dấu bằng xẩy ra khi cả 2 vế bằng 10



Chủ đề bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối

1. 
   Phương pháp biến đổi tương đương
   

1) | f(x) | > | g(x) ) tương đương với f²(x) > g²(x)

2)

3)

Khi giải cần thực các bước sau

• 
  Kiểm tra đièu kiện
  
• 
  sử dụng các phép biến đổi tương đưa bất phương trình đã cho về hệ phương trình đại số từ đó tìm được nghiệm
  
• 
  Kiểm tra đièu kiện
  
• 
  Kết luận nghiệm
  

2. 
   Bài tập áp dụng
   

( 4x³ -3x +1 ) ( ( 4x³ -3x -1 ) ≤ 0 tương đương vói (x² – 1)(2x+1)²(2x-1)² ≤ 0

Tương đưong

Bài2 gbpt

Tương đương với ( x² -5x +4 ) ² ≤ (x² – 4 )² tương đương ( 2x² -5x) ( 8-5x) ≤ 0

Tương đương với

Bài3 gbpt | 1-4x | > 2x +1 tương đương với

2. 
   Phương pháp chia khoảng :
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết : khi gặp bài toán có từ hai trị số tuyệt đối trở lên ta làm như sau
      

• 
  Đặt điều kiện có nghĩa của bpt
  
• 
  Lập bảng xét dấu tất cả cac biểu thức trong dấu tuyệt đối , chia khoảng
  
• 
  Giải bất phương trình trên từng khoảng
  
• 
  Kết luận
  

2. 
   Bài tập áp dụng :
   

Ta có bảng xét dấu

x	0 4 5
X2 – 4x	+ 0 - 0 + | +
x- 5	- | - | - 0 +

Trưòng hợp 1

Trưòng hợp 2 0

Trưòng hợp 3 x>5 tương đương với loại

Vậy nghiệm của bpt là

Bài2 gbpt ta có bảng xét dấu

x	2 5
x-5	- | - 0 +
x-2	- 0 + 0 +

* Nếu x < 2 tương đương với

* Nếu 2 ≤ x< 5, bpt <=>

* Nếu x>5 bpt <=>

Kết luận nghiệm bpt

3. 
   Phương pháp sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết
      

* Tinh chất 2 | a - b | ≥ |a| - |b| với mọi a,b

* Tinh chất 2 | a - b | > |a| - |b| tương đương với b(a-b)<0

Thực hiện các bước sau

1. 
   Đặt điều kiện néu có
   
2. 
   Biến dổi phương trình về một trong 4 dạng trên
   
3. 
   Giải
   
4. 
   Kết luận
   

2. 
   Bài tập áp dụng
   

( 2x² – 5x )( 2x+1) < 0 cho ta nghiệm x < - 1/2 , 0 < x < 5/2

Bài 2 gbpt

Tương đương với

4. 
   Phương pháp dặt ẩn phụ
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết căn cứ vào đặc điểm bài toán có thẻ dặt ẩn phụ thích hợp đưa bát phương tình về dạng không còn chứa tuyệt đối
      
   2. 
      Bài tập áp dụng
      

T² – 3t +2 ≤ 0 cho ta 1 ≤ t ≤ 2

Bài2 gbpt đặt t = | x² -3x +1| ≥ 0 ta có bpt

5. 
   Phương pháp hàm số
   

nếu hàm số đó luôn đồng biến và ngược lại

Bài1 gbpt 4| 2x-1| (x² –x +1) > x³ -6x² +15x -14 ta biến đổi

| 2x-1| ( (2x-1)² +3) > (x-2)² +3x-6 tương đương | 2x-1| ³ +3 | 2x-1| > (x-2)³ +3(x-2)

Xét hàm số f(t) = t³ +3t có đạo f ⁾ = 3t² +3 >0 với mọi t hàm số đồng biến nên

f(| 2x-1| ) > f(x-2) khi và chỉ khi | 2x-1| > x-2 thỏa mãn với mọi x , vậy bất phương trình

nghiệm đúng vói mọi x

Bài2 gbpt x³ - | x² -3x +2 | +6x +7 > 0

Xét hàm số f(x) = x³ - | x² -3x +2 | +6x +7 có tập xác định R

Đạo hàm f ⁾ = đạo hàm luôn dương với mọi x

Hàm số luôn đồng biến mặt khác ta lại có f(1) =0 vậy dẻ f(x) > 0 khi x >1 là nghiệm của

bài toán

6. 
   Phương pháp đánh giá
   
   1. 
      Cơ sở lý thuyết
      

• 
  Dựa vào tam thức bậc hai
  
• 
  Dựa nvào các bất đẳng thức cơ bản Cô si, Bu nhi a
  
• 
  Tính chất giá trị tuyệt đối
  

2. 
   Bài tập áp dụng
   

Tập xác dịnh với mọi x ≥ |2|

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái ta có VT

bằng vế phải vạy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ |2|

Bài2 gbpt điều kiện 0 ≤ x ≤ 1

Sử dụng bát dẳng thức Bu nhi a cho vé trái ta có

Vậy bpt nghiệm đúng với mọi x

Bài 1: gpt * cách 1: đk, đặt u = , chuyển x theo u rồi gpt căn thức bậc 2, nhẩm đc nghiệm x=1, x=2

* cách 2: đk, đặt u = , v= ,v không âm. đưa về hệ giải bằng phép thế và nhẩm đc nghiệm * kq 3 nghiệm: x=1;2;10

Bài 2: gpt * có 2 cách như bài 1. * kq một nghiệm duy nhất x=-2

Bài 3: gpt  =1 * có 2 cách như bài 1. * kq x=1 ; x= . Lưu ý nên đặt một ẩn rồi biến đổi biểu thức trong căn bậc 2 còn lại theo ẩn mới ./.

Bài 4: gpt + = * đk x 5  x 1 …đặt u= ;

v= , u , v  0 . pt u+v= <=> (u+v)² = u² +v²

<=> 2u.v=0 <=><=> <=> x=5  x=1 . chú ý đây là dạng hay, hãy suy nghĩ TQ.

Bài 5: gpt 2=1 * giống bài 3. kq x=1 ; x=.

Bài 6: gpt = đk x1 pt =+ bp2v 2 lần và lưu ý đk. Kq x=2

chú ý đây là dạng hay, hãy suy nghĩ TQ cho trường hợp có 3 căn b2, thậm chí 4 căn b2.

Bài 7: gpt += đk x1 pt +=

<=>+1 += (*) xét 2 TH 1 <=> x 2 và <1 <=> 1  x< 2 để phá dấu GTTĐ rồi giải bt. Kq x=1 ; x=5

Bài 8: gbpt  8x đk rồi nhóm bt trong căn ở VT và lưu ý đk sẽ mất đc một căn ngoài, bpt  +2  16-x.

Kq 4  x 