ChuyêN ĐỀ phưƠng trìNH, BẤT phưƠng trình chứA Ẩn trong căn phần I : Phương trình có chứa căn

B»ng c¸ch ®Æt Èn phô thÝch hîp, ta ®­îc bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh vÒ gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh.

Th× theo vÕ cña 2 ph­¬ng tr×nh ta ®­îc (x- y)(x² + y ² + xy + 2) = 0

DÔ thÊy : x² + y ² + xy + 2 > 0 víi mäi x, y x = y Víi x = y ta cã: x³ - 2x + 1 = 0 (x - 1)(x² + x - 1) = 0

Ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm nh­ trªn.

VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn: ()

víi ®iÒu kiÖn () (1) (x + 3)²(4 - x)(12 - x) = (28 - x)² x⁴ + 14x³ + 10x² - 272x + 352 = 0

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta thÊy x₁, x₃ tho¶ m·n bµi to¸n. VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm.

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh: 2uv = u² + v² - 1(u - v)² = 1

Víi v = u - 1 ta cã

Víi v = u + 1 0 ta cã :

Ph­¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ:

ĐÁNH GÍA

VÝ dô 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh



Lêi gi¶i:

BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

VT DÊu “=” khi x = -3

VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = - 3

ViÕt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x²⁰⁰⁸ + 2007 = 2008x

Theo bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2008 sè d­¬ng. Ta cã:

x²⁰⁰⁸ + 2007 = x²⁰⁰⁸ + 1 + 1 +…..+1 2008x

2007 sè 1

DÊu “=” x¶y ra khi x = 1 VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1

VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn: x Víi th×



x² - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 < 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1

Thö x = 2008 tho¶ m·n.

Víi x > 2008 th×:

x² - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 > 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1

VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1

¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè d­¬ng ta cã:

DÊu “=” x¶y ra khi: Hay 4x = Hay x =

Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x =

VÝ dô 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Lêi gi¶i: Ta cã:

¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:

DÊu “ =” x¶y ra khi x = VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x =