së GD-§T qu¶ng b×nh §Ò chän häc sinh giái líp 12 THPT
N¨m häc : 2006 - 2007
®Ò chÝnh thøc M«n : To¸n (Vßng II)
Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1 (2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng nÕu theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè céng th× cosA, cosB, cosC theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè céng.
Bµi 2 (2,5 ®iÓm) : Cho ®a thøc f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ; trong ®ã a, b, c, d lµ c¸c h»ng sè thùc. BiÕt r»ng f(1) = 10 ; f(2) = 20 ; f(3) = 30 .
H·y tÝnh gi¸ trÞ:
Bµi 3 (2,5 ®iÓm) : Cho c¸c sè thùc a, b, c vµ a + b + c = 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = a2 + b2 + c2.
Bµi 4 (2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. Gäi P lµ mét ®iÓm bÊt kú n»m trªn cung nhá BC (cung kh«ng chøa ®iÓm A).
Chøng minh r»ng: PA = PB + PC .
HÕt
së GD-§T qu¶ng b×nh ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm
§Ò chän häc sinh giái líp 12 THPT N¨m häc : 2006 - 2007
M«n : To¸n (Vßng II)
* §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. ThÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc.
* NÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi.
* §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm, nh÷ng ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tuú tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm.
* §èi víi bµi 4, nÕu kh«ng cã h×nh vÏ hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng th× cho ®iÓm 0 ®èi víi bµi 4.
* §iÓm tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi lµ kÕt qu¶ cña thÝ sinh.
Bµi
|
§¸p ¸n
|
§iÓm
|
Bµi 1
(2,5®)
|
Ta cã: tg, tg, tg theo thø tù ®ã lËp thµnh cÊp sè céng khi vµ chØ khi:
(®. p. c. m)
|
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
|
Bµi 2
(2,5®)
|
§Æt g(x) = f(x) - 10x.
Khi ®ã: g(1) = g(2) = g(3) = 0 .
Suy ra: ®a thøc g(x) cã ba nghiÖm 1, 2 vµ 3.
Do g(x) lµ ®a thøc bËc 4 vµ cã hÖ sè cña x4 b»ng 1 nªn:
g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) ; m R.
Suy ra: f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 10x ; m R.
VËy:
= 2006.
|
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
|
3
(2,5®)
|
Theo gi¶ thiÕt, ta cã :
a2 - a - 2 0 (1)
b2 - b - 2 0 (2)
c2 - c - 2 0 (3)
Céng vÕ theo vÕ cña (1) , (2), (3) ta cã:
a2 + b2 + c2 - (a + b + c) - 6 0
a2 + b2 + c2 6 (*)
ThÊy ngay a = 2 ; b = c = - 1 th× dÊu ®¼ng thøc x¶y ra.
KÕt luËn: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P lµ 6.
|
0,5
0,25
0,25
0,5
0,75
0,25
|
Bµi 4
(2,5®)
|
NhËn xÐt: Khi P B th× PA = BA, PB = 0, PC = BC . Do ®ã:
PA = PB + PC = a (®é dµi c¹nh tam gi¸c ABC).
Hoµn toµn t¬ng tù, bµi to¸n ®îc chøng minh khi P C
XÐt trêng hîp ®iÓm P kh«ng trïng víi ®iÓm B vµ ®iÓm P còng kh«ngtrïng víi ®iÓm C:
Trªn ®o¹n th¼ng PA lÊy ®iÓm Q sao cho : ACQ = BC
Khi ®ã: QCP = QCB + BCP
= QCB + QCA = ACB = 600 (1).
MÆt kh¸c: QPC = ABC = 600 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC) (2).
Trong tam gi¸c PQC, ta cã:
PQC = 1800 - (QCP + QPC) = 600 (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra tam gi¸c PQC lµ tam gi¸c ®Òu.
Suy ra: QC = PC ; PQ = PC (4). XÐt tam gi¸c AQC vµ tam gi¸c BPC. Ta cã:
AC = BC ; QC = PC vµ ACQ = BCP
Do ®ã: AQC = BPC
Suy ra: QA = PB (5)
Tõ (4) vµ (5) , ta cã PA = PQ + QA = PC + PB (®. p. c. m)
H×nh vÏ: 0,25 ®
|
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
|
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |