F. van. Cn20A ĐẠi số TỔ HỢp hoán vị

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - CHƯƠNG 1 F.VAN.CN20A

Tập hợp A có n phần tử.

Một hoán vị của A là 1 cách sắp xếp các phần tử của A theo một thứ tự nhất định.

Số hoán vị: P_n = n! = 1.2.3....n

Tập hợp A có n phần tử.

Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (k≤n) là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho

Số chỉnh hợp:

 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: số

Tập hợp A có n phần tử.

Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể lấy lặp lại.

Số chỉnh hợp lặp:

 là chỉnh hợp lặp chập 2 của 4 phần tử: số

Tập hợp A có n phần tử.

Một tổ hợp chập k của n phần tử (k≤n) là một tập con gồm có k phần tử chọn từ n phần tử đã cho

Số tổ hợp:

 Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử của A là: {a,b};{b,c};{a,c}

. Biến cố không thể có: là biến cố nhất định không xảy ra. Ký hiệu: V

. Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định xảy ra. Ký hiệu: U

. Biến cố ngẫu nhiên: có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Ký hiệu: A, B, C, ...

. QH kéo theo: A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu: A  B

. QH tương đương: A = B

. Tổng các biến cố: ký hiệu A + B hoặc A  B

(A + B) xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra

Tính chất: A + B  B + A

A + (B + C)  (A + B) + C

A + A = A

A + U = U

. Tích các biến cố: ký hiệu A.B hoặc A  B

A.B xảy ra  A xảy ra và B xảy ra

A.(B.C)  (A.B).C

A.A = A

A.V = V

. Biến cố xung khắc:

A và B là 2 biến cố xung khắc nếu chúng ko đồng thời xảy ra trong 1 phép thử.

n biến cố A₁; A₂;...A_n gọi là xung khắc từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳ xung khắc với nhau

. Biến cố đối lập:

A và là đối lập nếu thỏa mãn: A và xung khắc và A + = U

Xác suất của biến cố A, ký hiệu p(A): đo lường khả năng xuất hiện biến cố A khi thử

p(A) là tỉ số giữa số kết cục thuận lợi cho A / số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra

Thực hiện phép thử n lần, biến cố A xuất hiện k lần

 Tần suất xuất hiện A trong n phép thử:

Khi n đủ lớn thì p(A)  f_n(A)

0 ≤ p(A) ≤ 1

P(V) = 0

P(U) = 1

. Sơ đồ dạng cây:

Dùng sơ đồ cây:

T: trúng

Gọi A = "Có ít nhất 2 lần bắn trúng"

 Số kết cục: 8

Số kết cục thuận lợi cho A: 4

 p(A) =

. Sơ đồ dạng bảng:

Gọi A = "Tổng số chấm trên hai mặt là 7"

Ta có bảng các khả năng:

Số kết cục thuận lợi cho A: 6

 p(A) =

. Sơ đồ dạng tập hợp:

20 người biết chơi Piano 15 người biết chơi Organ

10 người biết chơi Guitar 7 người biết chơi Piano & Organ

5 người biết chơi Piano & Guitar 3 người biết chơi Organ & Guitar

1 người biết chơi Piano & Organ & Guitar

Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh. Tìm xác suất để học sinh đó biết chơi ít nhất 1 loại đàn?

Gọi A = "Học sinh đó biết chơi ít nhất 1 loại đàn"

Ta có sơ đồ sau:

 Số kết cục: 50

Số kết cục thuận lợi cho A: 9+6+6+4+1+2+3 = 31

 p(A) =

a. Có 1 quân bài đỏ và 3 đen

b. Có 2 quân cơ & 1 quân rô & 1 quân bích

c. Có 2 quân át

Số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra: Tổ hợp chập 4 của 52 phần tử

a. Gọi A = "Rút được 1 quân đỏ & 3 quân đen"

Bộ bài có 26 quân đen và 26 quân đỏ

 Số khả năng rút được 1 quân đỏ:

Số khả năng rút được 3 quân đen:

 Số khả năng rút được 1 quân đỏ & 3 quân đen (số kết cục thuận lợi cho A):

 Xác suất rút được 1 quân đỏ & 3 quân đen:

b. Gọi B = "Rút được 2 quân cơ & 1 quân rô & 1 quân bích"

Bộ bài có 13 quân cơ, 13 quân rô và 13 quân bích

 Số khả năng rút được 2 quân cơ:

Số khả năng rút được 1 quân rô:

Số khả năng rút được 1 quân bích:

 Số khả năng rút được 2 quân cơ & 1 quân rô & 1 quân bích:

 Xác suất rút được 2 quân cơ & 1 quân rô & 1 quân bích:

c. Gọi C = "Rút được 2 quân át"

Bộ bài có 4 quân át

 Số khả năng rút được 2 quân át:

 Số khả năng rút được 2 quân át:

 Xác suất rút được 2 quân át:

Số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra: Hoán vị của 10 phần tử:

P₁₀ = 10!

Số vị trí A lựa chọn: 10

Số vị trí B lựa chọn để ngồi cạnh A: 2

Số vị trí của 8 người còn lại: P₈ = 8!

 Số kết cục để A ngồi gần B:

m = 10.2.8!

 Xác suất để A ngồi gần B:


4. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT:

4.1 Biến cố độc lập

. Hai biến cố A và B độc lập nếu việc A xảy ra hay không đều không ảnh hưởng đến B

. A và B độc lập thì: và B độc lập; A và độc lập; và độc lập

. A₁; A₂; ...; A_n được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ

Lấy theo phương thức không hoàn lại: PHỤ THUỘC

Xác suất có điều kiện của biến cố A với đk là B là xác suất của A được tính khi biến cố B đã xảy ra . Ký hiệu: p(A/B)

Gọi A = "Người thứ nhất rút được vé trúng thưởng"

Gọi B = "Người thứ hai rút được vé trúng thưởng"



a. Người đó thích mua sắm

b. Người đó thích mua sắm, biết người được chọn là nam

GIẢI:

Gọi A = "Chọn được người thích mua sắm"

Gọi B = "Người được chọn là nam"

a. Xác suất người đó thích mua sắm là:

b. Xác suất người nam đó thích mua sắm là:

. 0 ≤ p(A/B) ≤ 1

. p(A/A) = 1

. A và B độc lập với nhau thì p(A/B) = p(A) và p(B/A) = p(B)

. P(A/B) = 1 - p(/B)

.

. A và B xung khắc thì:
4.3 Công thức nhân xác suất:

P(AB) = p(A) . p(B/A)

= p(B) . p(A/B)

Nếu A và B độc lập thì: p(AB) = p(A) . p(B)

a. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm từ hộp theo phương thức có hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được 2 phế phẩm?

b. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm từ hộp theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được 2 phế phẩm?

c. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được 2 phế phẩm?

Gọi A = "Lấy được 2 sản phẩm"

Gọi A_i = "Lần i lấy được phế phẩm" i=1; 2

 A = A₁A₂

a. A₁ và A₂ độc lập

 p(A) = p(A₁A₂) = p(A₁).p(A₂) =

b. A₁ và A₂ không độc lập

 p(A) = p(A₁A₂) = p(A₁).p(A₂/A₁) =

c.

Chú ý: Phương thức lấy không hoàn lại  phương thức lấy cùng lúc
Hệ quả:



Ví dụ: Cho ; C là biến cố bất kỳ

Tính:

Ta có

. P(A₁A₂...A_n) = p(A₁).p(A₂/A₁).p(A₃/A₁A₂)....p(A_n/A₁A₂.....A_n-1)

. Nếu A₁; A₂; ...; A_n độc lập toàn phần thì:

P(A₁A₂...A_n) = p(A₁).p(A₂)......p(A_n)

Gọi A = "Sau 3 lần kiểm tra thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra"

Gọi A_i = "Lần thứ i lấy ra 3 sản phẩm mới" i=1; 2; 3

 A = A₁A₂A₃

A₁; A₂ và A₃ phụ thuộc vào nhau



. P(A+B) = p(A) + p(B) - p(AB)

. Nếu A và B xung khắc với nhau thì: p(A+B) = p(A) + p(B)

.

Gọi A = "Có người bắn trúng mục tiêu"

Gọi A_i = "Người thứ i bắn trúng mục tiêu" i=1; 2

 A = A₁+ A₂

A₁ và A₂ không xung khắc với nhau

 P(A) = p(A₁) + p(A₂) - p(A₁A₂) = p(A₁) + p(A₂) - p(A₁).p(A₂)

= 0,8 + 0,9 - 0,8.0,9 = 0,98

Ví dụ 2: Trong 100 sản phẩm có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 50 sản phẩm, nếu có 1 phế phẩm thì được chấp nhận. Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận?

GIẢI:

Gọi A = "Lô hàng được chấp nhận"

Gọi A_i = "Lấy ngẫu nhiên 50 sản phẩm, có i phế phẩm" i=0; 1

 A = A₀+ A₁

A₀ và A₁ xung khắc nhau (không đồng thời xảy ra)



.

. Đặc biệt: nếu A₁; A₂ ;...; A_n xung khắc nhau từng đôi một thì:



Ví dụ: Một đoàn tàu gồm 3 toa ở sân ga. Có 5 hành khách lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa tàu. Tìm xác suất để mỗi toa đều có ít nhất 1 hành khách mới bước lên.

GIẢI:

Gọi A = "Mỗi toa đều có hành khách mới bước lên"

Gọi A_i = "Toa thứ i không có hành khách mới bước lên" i=1; 2; 3

 = A₁+ A₂ + A₃

A₁; A₂ và A₃ không xung khắc nhau từng đôi

 = p(A₁ + A₂ +A₃)

= p(A₁) + p(A₂) + p(A₃) - p(A₁A₂) - p(A₂A₃) - p(A₁A₃) + p(A₁A₂A₃)

p(A₁A₂A₃) = 0


6. CÔNG THỨC BERNOULLI:

. Hai phép thử độc lập:

Nếu kết quả của phép thử này không ảnh hưởng gì đến kết quả phép thử kia

Thực hiện n phép thử độc lập. n phép thử này được gọi là phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn 2 điều kiện:

1. Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: A xuất hiện hoặc A ko x.hiện

2. Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p

A = "Lấy được cầu trắng"

 Đây là 4 phép thử Bernoulli.



Chú ý: nếu lấy theo phương thức ko hoàn lại thì ko là phép thử Bernoulli

. Công thức Bernoulli:

Xác suất để trong n phép thử Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần là:

a. Có 2 người bị lao

b. Có ít nhất 1 người bị lao

c. Có ít nhất 9 người bị lao

a. Gọi A = "Người khám bị lao"

 p(A) = 0,001

 Xác suất để có 2 người bị lao là:

b. Gọi A = "Người khám không bị lao"

 p(A) = 0,999

 Xác suất để A xuất hiện 0 lần là:

 Xác suất để có ít nhất 1 người bị lao là:

c. Gọi A = "Có ít nhất 9 người bị lao"

Gọi B = "Có 9 người bị lao"

Gọi C = "Có 10 người bị lao"

 A = B + C

B và C xung khắc với nhau



Ví dụ 2: Một người tập bắn, xác suất bắn trúng tâm trong mỗi lần bắn là 0,3.

Hỏi: phải bắn nhiều nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất người này bắn trúng tâm ít nhất 1 viên > 0,8

Gọi n là số viên đạn người đó cần bắn

Gọi A = "người đó bắn trúng tâm"

= "không trúng tâm"

 p(A) = 0,3

p() = 0,7

Xác suất để bắn n viên không trúng tâm viên nào là:

Xác suất để bắn n viên có ít nhất 1 viên trúng tâm là:



 n = 4
7. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ:

7.1 Nhóm đầy đủ các biến cố:

n biến cố H₁; H₂; ...; H_n được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng thỏa mã 2 điều kiện:

1. Chúng xung khắc từng đôi một (H_iH_j = V với mọi i, j)

2. Tổng của n biến cố là biến cố chắc chắn: H₁ + H₂ + ... + H_n = U

Nếu H₁; H₂; ...; H_n là nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng các xác suất của chúng =1:

Nếu H₁; H₂; ...; H_n là nhóm đầy đủ các biến cố thì với mỗi biến cố A ta có;

Loại 1: chiếm 2/3

Loại 2: chiếm 1/4

Loại 3: còn lại (chiếm 1/12)

Loại 1: có tỉ lệ nảy mầm là 80%

Loại 2: có tỉ lệ nảy mầm là 60%

Loại 3: có tỉ lệ nảy mầm là 40%

Lấy ngẫu nhiên một hạt. Tìm xác suất lấy được hạt nảy mầm?

Gọi H_i = "Lấy được hạt loại i" i = 1; 2; 3

 H₁; H₂; H₃ là nhóm đầy đủ các biến cố

Gọi A = "Lấy được hạt nảy mầm"







Ví dụ 2: Cho 2 thùng chứa các quả cầu:

Thùng 1: 6 cầu trắng + 4 cầu đỏ

Thùng 2: 5 cầu trắng + 5 cầu đỏ

Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng 1 bỏ vào thùng 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ thùng 2. Tìm xác suất để quả đó màu đỏ?

Gọi H₁ = "Lấy được 2 cầu đỏ từ thùng 1"

Gọi H₂ = "Lấy được 2 cầu trắng từ thùng 1"

Gọi H₃ = "Lấy được 1 cầu đỏ + 1 cầu trắng từ thùng 1"

 H₁; H₂; H₃ là nhóm đầy đủ các biến cố

Gọi A = "Lấy được cầu đỏ từ thùng 2"





Gọi K₁ = "Quả cầu lấy từ thùng 2 là của thùng 1"

Gọi K₂ = "Quả cầu lấy từ thùng 2 là của thùng 2"

Gọi A = "Lấy được quả đỏ từ thùng 2"





Giả sử H₁; H₂; ...; H_n là nhóm đầy đủ các biến cố. Xác suất để H_j xảy ra sau khi đã biết biến cố A xảy ra được tính theo công thức:

Công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra

Ta đã biết:

p(H₂) =

p(A) = 0,7167

Cần xác định lại xác suất xảy ra H₂ khi đã bốc được hạt nảy mầm



a. Hai quả cầu lấy từ thùng 1 sang thùng 2 đều là đỏ

b. Quả cầu lấy ra từ thùng 2 là của thùng 1

GIẢI:

a. Ta đã biết:

P(A) = 0,4833



b. Từ cách giải 2, ta đã biết:



Các bạn đi thi cần mang theo: Máy tính + Bảng tra