ÐỀ thi tuyển sinh cao đẲng khối a, A1, B, d năM 2012 Môn thi : toán I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)

2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc với đường thẳng y = x + 2.

a. Giải phương trình 2cos2x + sinx = sin3x.

b. Giải bất phương trình log₂(2x).log₃(3x) > 1.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = .

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a; SA = SB = SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tính khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình 4x³ + x – (x + 1) = 0 (x  R)

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 6.a (2,0 điểm)

a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 và đường thẳng d : 4x – 3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho =120⁰, với I là tâm của (C).

b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d₁ : (t  R) , d₂ : (s  R)

Chứng minh d₁ và d₂ cắt nhau.Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d₁,d₂.

Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – = (3 – i)z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 6.b (2,0 điểm)

a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB’, B’C’ lần lượt có phương trình là y – 2 = 0, x – y + 2 = 0, x –3y+2 = 0; với B’, C’ tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.

b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z = 0. Đường thẳng  nằm trong (P) vuông góc với d tại giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng .

Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²–2z + 1 + 2i = 0. Tính .
BÀI GIẢI

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu 1. a.

TCĐ: x= -1 vì ; TCN: y = 2 vì

Hàm số nghịch biến trên (;-1) và (-1; +). Hàm số không có cực trị.

x	-∞ -1 +∞
y’	 
y	2 +∞ -∞ 2

b) Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = x + 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = -x + m; d tiếp xúc với (C)  (I) có nghiệm

(I)  (hiển nhiên x = -1 không là nghiệm của (1)

 hay . Vậy phương trình tiếp tuyến d là : y = -x + 3 hay y = -x – 1.

a. 2cos2x + sinx = sin3x  sin3x – sinx – 2cos2x = 0

 2cos2xsinx – 2cos2x = 0  cos2x = 0 hay sinx = 1

 x = hay x = (k  Z)

b. log₂(2x).log₃(3x) > 1, đk x > 0

 log₃x + log₂x + log₂x.log₃x > 0  log₃2(log₂x)² + (log₃2 + 1)log₂x > 0

 log₂x < -log₂6 hay log₂x > 0  0 < x < hay x > 1

Câu 3 : I = , đặt u =  u² = x + 1  2udu = dx

I = = =
Câu 4. Gọi I là trung điểm của BC  IA = IB = IC

Mà SA = SB = SC  SI là trục đường tròn (ABC)

 SI  (ABC)  = 60⁰

Ta có : BC = AB = 2a  AI = a

SAI vuông  = a

V_S.ABC =

Trong mp (SAI) đường trung trực của SA cắt SI tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có SKO đồng dạng SIA  SK.SA = SO.SI

 R = SO = =

Phương trình  8x³ + 2x = (2x + 2)

 2x[(2x)² + 1] = [()² + 1] (*)

Xét f(t) = t(t² + 1) = t³ + t

f’(t) = 3t² + 1 > 0 t  R  f đồng biến trên R

(*)  f(2x) = f()  2x =

   x =

Câu 6.a.

a. (C) : x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0; d : 4x – 3y + m = 0

(C) có tâm I (1; 2), bán kính R = = 2

= 120⁰  d(I, d) = IA.cos60⁰ = = 1

  = 5  m = 7 hay m = -3

b. Xét hệ phương trình :

có nghiệm. Vậy d₁,d₂ cắt nhau tại I(1;2;0)

d₁ có vtcp ; d₂ có vtcp

 mp (d₁, d₂) qua I (1; 2; 0) có pháp vectơ = -(0; 1; 2)

Phương trình mặt phẳng (d₁,d₂) :

Vậy điểm biểu diễn cho z là

a. Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình nên B (0; 2)

Tọa độ B’ là nghiệm hệ phương trình nên B’ (-2; 0)

C (m; 2) (vì C  BC); = (m + 2, 2); = (-2; -2)

Đường tròn (C) đường kính BC có tâm I (-2; 2), bán kính R = 2

Nên (C) : (x + 2)² + (y – 2)² = 4

Giao điểm của (C) và B’C’ là nghiệm hệ phương trình

AC qua B’ (-2; 0) và vuông góc BB’ nên AC : x + y + 2 = 0

B’ (-2; 0); C’(; ), nên phương trình AB là 2x – y + 2 = 0.

Cách khác : Ta có = (-2; -2)  phương trình AC : x + y + 2 = 0

Tọa độ C là nghiệm của hệ  C (-4; 2)

C’ (3a-2; a)  B’C’

Tọa độ = (3a -2; a -2); = (3a + 2; a- 2)

b. Gọi I là giao điểm d và (P);

Gọi là vtcp của ;

Vậy . 1 vtcp của  là :

Pt :

   .

ThS. Phạm Hồng Danh, TS. Lê Xuân Trường