Bài
|
câu
|
Nội dung
|
Điểm
|
Bài 1
(5điểm)
|
1a
|
Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + … + 2011.2012.2013 (lấy kết quả chính xác). Đáp số: A = 4100938881006
|
2.0
|
1b
|
Tính B =
Đáp số: B 43,42063171
|
1.5
|
1c
|
Tính C = [(1 + tg2a)(1 + cotg2b) + (1 – sin2a)(1 – cos2b). với a = 25030’; b = 57030’ (Kết quả lấy 4 chữ số sau dấu phẩy). Đáp số: C 1,75477424
|
1.5
|
Bài 2
(5điểm)
|
2a
|
Cho x; y là các số dương, thỏa mãn điều kiện: .
Tìm x và y.
Gợi ý giải và đáp số:
mà x > 0; y > 0 x = 15; y = 21
|
1.5
|
2b
|
b) Cho biểu thức M = x2 +y2 + z2 + x – y + x + 2011. Biết rằng M có giá trị nhỏ nhất tại x = x0; y = y0 và z = z0. Tính (x0 + y0 + z0)9.
Đáp số: (x0 + y0 + z0)9 = ( – 0,00195313
|
2.0
|
2c
|
Tìm x biết
Đáp số: x = 16306154693733
|
1.5
|
Bài 3
(4điểm)
|
3a
|
Cho M = [0,(153846)]3 + [0,0(153846)]3. Hãy so sánh M với
Đáp số: M >
|
1.0
|
Sơ lược cách giải: Ta có 0,(153846) = ; 0,0(153846) =
Bấm máy M >
|
1.0
|
3b
|
Cho a = 123456789 và b = 987654321. Tìm ƯCLN (a; b). Tìm số dư r trong phép chia bội chung nhỏ nhất của a và b cho 11.
Đáp số: ƯCLN (a; b) = 9; r = 4
(Có thể giải như sau: tìm được ƯCLN (a; b) = 9. Từ BCNN(a; b). ƯCLN (a; b) = ab BCNN(a; b) = a. . Từ a chia 11 dư 5; chia 11 dư 3 r = 4)
|
2.0
|
Bài 4
(6điểm)
|
4a
|
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB vuông góc với BC và DB là tia phân giác của góc D. Biết BC = 2,011 cm. Tính chu vi của hình thang.
Đáp số: Chu vi của hình thang cân ABCD bằng 10,055cm
|
1.0
|
Tóm tắt cách giải: Tam giác ABC cân tại A; tam giác ODC là tam giác đều. Vậy chu vi của hình thang cân ABCD bằng 5BC.
|
1.0
|
4b
|
Trong hình vẽ bên, tứ giác ABCE là hình thang; tam giác DCE cân tại D. Tìm x biết đa giác ABCDE có diện tích bằng 3375cm2.
Đáp số: x = 75cm
Gợi ý: S = = 3375
|
|
1.5
|
4c
|
Cho hình thang ABCD (BC//AD) có AC và BD cắt nhau tại O. Biết rằng SAOD = cm2 và SBOC = cm2. Tính diện tích hình thang ABCD (Tính SABCD).
|
|
1.0
|
Đáp số: SABCD 8,04599988 cm2
|
Tóm tắt cách giải: Ta có SABCD = . AODCOB
Mà b.h’ = 2SBOC SABCD = 8,04599988
|
1.5
|
Bài 5
(5điểm)
|
5a
|
Cho đa thức f(x) = x2011 – 2010x2010 – 2010x2009 – 2010x2008 – … – 2010x – 1. Hãy tìm ước số nguyên tố lớn nhất của f(2011).
Đáp số: Ước số nguyên tố lớn nhất của f(2011) bằng 67
Gợi ý: Tại x = 2011, thay các hệ số 2010 của f(x) bởi (x – 1) ta có f(x) = … = x – 1 f(2011) = 2010 = 2. 3. 5 .67
|
1.5
|
5b
|
Biết rằng đa thức f(x) chia cho (x – 1) dư 3 và f(x) chia cho (x – 2) dư 5. Tìm đa thức dư r(x) trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 3x + 2.
Đáp số: r(x) = 2x + 1
Gợi ý: Đa thức f(x) chia cho (x – 1) dư 3 và f(x) chia cho (x – 2) dư 5 nên f(1) = 3; f(2) = 5. Nếu r(x) là dư … thì f(x) = (x2 – 3x + 2).g(x) + r(x) và r(x) có dạng ax + b r(x) = 2x + 1.
|
2.0
|
5c
|
Gọi r(x) là đa thức dư trong phép chia đa thức x81 + x49 + x25 + x9 + x + 1 cho đa thức x3 – 1. Tính r(). Đáp số: r() = 224,2208732
|
1.5
|
Bài 6
(5điểm)
|
|
Cho dãy số u1 = 1; (nN; n > 1). Tính u8; u9; u10 (ghi kết quả với đủ 10 chữ số). Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính un theo un – 1. Tính S = u1 + u2 + u3 + … + u2010 + u2011.
- Đáp số: u8 –3,732050808 u9 – 0,267949192; u10 1.
|
1,5
|
- Quy trình: Yêu cầu nói rõ quy trình viết cho loại máy nào? Với máy 570MS có thể viết như sau: 1 SHIFT STO A 1 SHFIT STO B ALPHA A ALPHA = ALFHA A + 1 ALPHA : ALPHA C ALPHA = ( 3 + ALPHA B) (1 – ALPHA B 3) ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALFHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ( 3 + ALPHA C) (1 – ALPHA C 3) = = = …
|
2.0
|
|
- Ta có u4 = u1; u5 = u2; u6 = u3; …; u2010 = u3; u2011 = u1. Vậy S = u1 + u2 + u3 + … + u2010 + u2011 = (u1 + u2 + u3) + (u4 + u5 + u6) + .. + (u2008 + u2009 + u2010) + u2011 = 670(u1 + u2 + u3) + u1 Vậy S = – 2009.
|
1.5
|
Bài 7
(5điểm)
|
7a
|
Hình bên là các tam giác đều lần lượt có cạnh bằng 1; 2; 3 que diêm. Theo mẫu như thế, để xếp được một tam giác đều có cạnh bằng 7 que diêm thì cần có tất cả bao nhiêu que diêm? Vì sao?
|
|
1.0
|
Đáp số: 84
|
Cách tính: Số que diêm được tính theo công thức S1 = 3; Sn = Sn–1 + 3n
|
1.0
|
7b
|
Tìm 3 chữ số cuối cùng của số 20113762012. Nêu sơ lược cách giải.
Đáp số: Số 20113762012 có 3 chữ số cuối cùng là 376
|
0.75
|
Sơ lược cách giải: Nếu số a = và số b =
thì ab = (M.103 + 376)(N.103 + 376) trong đó M = , N = .
Suy ra ab = (M + N)103 + 376(M + N).103 + 376
|
0.75
|
7c
|
Gọi S(a) là tổng các chữ số của số a . Cho a = . Tính S(a2).
Đáp số: S(a2) = 18109
Ta có a2 = a2 – 4 + 4 = (a – 2)(a + 2) + 4 = + 4
Vậy s(a2) = 9. 2011 + 6 + 4 = 18109
|
2.0
|
Bài 8
(4điểm)
|
8a
|
Biết rằng .
Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e.
Đáp số: a = 9991; b = 1; c = 9; d = 1; e = 2
|
2.0
|
8b
|
Cho M = ; N = . Hãy tính tỷ số % của hai số M và N.
Đáp số: Tỷ số % của hai số M và N gần bằng 23,45%
|
2.0
|
Bài 9
(6điểm)
|
9a
|
Tìm x biết:
Đáp số: x =
(Nếu lưu ý thì tìm x nhanh hơn)
|
1.5
|
Bài 9
|
9b
|
Cho đa thức f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 12. Biết rằng f(1) = f(–2) = 0. Tìm a; b và phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Đáp số: a = – 4; b = – 10; f(x) = 2(x – 1)(x + 2)(x –3)
|
1.5
|
9c
|
Trong số các số tự nhiên có 5 chữ số, có bao nhiêu số chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5? Tính tổng S của tất cả các số đó.
Đáp số: Trong số các số tự nhiên có 5 chữ số, có 24000 số chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5.
|
1.0
|
Tổng S của tất cả các số đó bằng 1320030000
|
1.0
|
Gợi ý giải: Từ 10000 đến 99999 có (99999 – 10002):3 + 1 = 30000 số chia hết cho 3. Tổng của các số này bằng 30000. 1002 + = 1650015000.
Từ 10000 đến 99999 có (99999 – 10002):15 + 1 = 6000 số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Tổng của các số này bằng 329985000
Như vậy: Trong số các số tự nhiên có 5 chữ số, có (30000-6000) = 24000 số chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5. Tổng S của tất cả các số đó bằng (1650015000 – 329985000) = 1320030000
|
1.0
|
Bài 10
(5điểm)
|
10
|
Hùng mua một máy tính trị giá 10 triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 1,1% tháng. Hùng thanh toán cho chủ hàng theo phương thức sau: Tháng đầu tiên Hùng thanh toán cho chủ hàng 300000 đồng, các tháng tiếp theo (kể từ tháng thứ 2 trở đi) Hùng thanh toán cho chủ hàng nhiều hơn tháng trước 50000 đồng. Theo phương thức đó thì sau bao nhiêu tháng Hùng mới thanh toán xong cho chủ hàng? Tháng cuối cùng Hùng cần thanh toán bao nhiêu? Nêu sơ lược cách giải và cách bấm máy.
– Đáp số:
+ Sau 17 tháng thì Hùng thanh toán xong cho chủ hàng.
+ Tháng cuối cùng Hùng phải trả 249644 đồng.
|
2.0
|
– Sơ lược cách giải: Tháng thứ nhất, sau khi trả góp thì còn nợ A = 10.000.000 – 300.000 = 9.700.000 đồng. Số tiền tháng sau góp là B = B + 50.000 do đó còn nợ A = 1,011A – B.
|
1.5
|
– Thực hiện quy trình bấm phím (máy 570MS) như sau:
9700000 SHIFT STO A 300000 SHFIT STO B 1 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALFHA D + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + 50000 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 1,011 ALPHA A – ALPHA B = = …
Bấm = liên tiếp cho đến khi D = 16 thì còn nợ 246.928 (đồng). Như vậy ở tháng thứ 17 Hùng chỉ cần thanh toán 1,011 x 246928 = 249644 đồng.
|
1.5
|
......... Hết .........