| 5.2.2. Chéo hóa một ma trận vuông
Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông
khả nghịch T cấp n sao cho là ma trận chéo.
Chéo hóa ma trận A nghĩa là tìm các ma trận T và D sao cho
Cách chéo hóa ma trận
Để chéo hóa ma trận A ta tìm các véctơ riêng độc lập tuyến tính của A.
- Nếu số véctơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được.
- Nếu A có đủ n véctơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Ma trận T cần tìm
là ma trận mà các cột của T là các véctơ riêng độc lập tuyến tính của A.
Ví dụ 2
Cho ma trận . Hãy xem A có chéo hóa được không?
Giải
Lập đa thức đặc trưng
Vậy A có 2 giá trị riêng là
Với :Giải hệ phương trình .
Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Ta được hệ tương đương
Vậy véctơ riêng ứng với giá trị riêng là
Chọn các véctơ riêng
Với : Giải hệ phương trình .
Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Ta được hệ tương đương
Vậy véctơ riêng ứng với giá trị riêng là
Chọn véctơ riêng
,
Các véctơ độc lập tuyến tính, do đó A chéo hóa được vì số véctơ riêng
độc lập tuyến tính là 3.
Lập ma trân T là ma trận mà các cột là các véctơ
T chính là ma trận làm chéo hóa A. Dạng chéo của A là
* Lưu ý: ma trận T không duy nhất
Ví dụ 3. Cho ma trận . Hãy xem A có chéo hóa được không
Giải
Lập đa thức đặc trưng
Với giải hệ phương trình .
Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Ta được hệ tương đương
Vậy véctơ riêng ứng với giá trị riêng là
Chọn véctơ riêng
Với : Giải hệ phương trình .
Giải hệ bằng phương pháp Gauss
Ta được hệ tương đương
Vậy véctơ riêng ứng với giá trị riêng là
Chọn véctơ riêng
Do đó A không chéo hóa được vì số véctơ riêng độc lập tuyến tính là 2 < 3.
Phép biến đổi tuyến tính trong
Ánh xạ
xác định bởi được gọi là phép biến đổi tuyến tính trong
Ma trận được gọi là ma trận của phép biến đổi tuyến tính T.
T có thể viết dưới dạng như sau:
* Tính chất của phép biến đổi tuyến tính T
, ta có
* Tổng quát
- Nếu A là ma trận khả nghịch thì T có phép biến đổi ngược, ký hiệu , xác định bởi
Ánh xạ
Chia sẻ với bạn bè của bạn: | 
