Định nghĩa sác xuất Bài 1



tải về 39.34 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu07.07.2016
Kích39.34 Kb.
Định nghĩa sác xuất

Bài 1.  Gieo 3 lần liên tiếp một đồng xu cân đối, đồng chất. Ký hiệu  S là biến cố "mặt sấp xuất hiện" và N là biến cố "mặt ngửa xuất hiện".

a- Hãy miêu tả không gian mẫu.

b- Ký hiệu Bi, i=0,1,2,3 là biến cố " mặt sấp xuất hiện i lần”.  Dãy   có tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố  không?

Đáp số:          b-  Dãy  tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố

Bài 2. Cho  là một tập khác rỗng và  là - đại số các tập  con của  . Với  hàm tập P nào dưới đây là một độ đo xác xuất

   a- = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và

b-

Đáp số:            a-  P là độ đo xác suất ;     b- P không là độ đo xác suất

Bài 3.  Cho A, B là 2 biến cố bất kì xác định trên cùng không gian mẫu. Chứng minh

  .

Bài 4. Cho các biến cố A, B, C xác định trên cùng không gian mẫu. Từ P(A) + P(B) + P(C) = 1 có thể kết luận A, B, C là các biến cố  xung khắc không? Cho ví dụ minh hoạ.

            Đáp số:  Chưa thể kết luận A, B, C là các biến cố xung khắc. Xây dựng ví dụ từ việc rút ngẫu nhiên một quân bài từ bộ bài Túlơkhơ.

Bài 5. Tại một thành phố có 7 siêu thị khác nhau. Có 3 khách du lịch, mỗi ng­ười ngẫu nhiên đi đến một siêu thị để mua sắm. Tính xác suất để

a- ba ng­ười đến 3 siêu thị khác nhau.

b- ba ng­ười không cùng đến một siêu thị.

c- có ít nhất 2 ng­ười cùng đến một siêu thị.



Đáp số:         a.    30/49;     b.    48/49;      c.    19/49

Bài 6.  Chọn ngẫu nhiên 2 số x, y . Tính xác suất để tổng của chúng không lớn hơn 1 còn tích của chúng không lớn hơn

            Đáp số:          

Bài 7.  Lấy ngẫu nhiên ra 4 quả bóng từ hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 4 quả bóng xanh. Tính xác xuất để trong 4 quả bóng được chọn ra này có ít nhất 2 quả bóng xanh.   

            Đáp số:             9/14

Bài 8. Xếp ngẫu nhiên 7 quyển sách lên giá sách có 3 ngăn. Tính xác xuất để ngăn nào cũng có ít nhất một quyển sách.

Đáp số:           0,826      

Bài 9.  Có n thẻ đánh số từ 1 đến n được xếp ngẫu nhiên thành một hàng. Thẻ mang số k được gọi là “nằm đúng vị trí” nếu nó nằm đúng ở vị trí thứ k. Tính xác suất để khi xếp ngẫu nhiên n thẻ trên, ta có ít nhất một thẻ “nằm đúng vị trí”.

            Đáp số:          

Bài 10. Gieo đồng thời hai xúc xắc liên tiếp. Tính xác suất để biến cố “tổng số chấm trên hai xúc xắc là 5” xuất hiện trước biến cố  “tổng số chấm trên hai xúc xắc là 7”.

            Đáp số:     0,4

Các công thức sác xuất

Bài 1.  Cho các biến cố A, B, C xác định trên cùng không gian mẫu. Biết  Tính

Đáp số:       

Bài 2. A và B mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắn trúng đích của A và B lần lượt là 0, 7 và 0,4.

a- Biết có đạn trúng đích, tính xác xuất để B bắn trúng.

b- Giả sử có đúng một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của B.

Đáp số:            a-  0,488 ;     b- 0,222

Bài 3.  Một hộp có 3 bút đỏ và 3 bút đen.

a- Hai bạn A và B mỗi người lần lượt lấy ra một chiếc bút (bút đã lấy không trả lại vào hộp). Giả sử A lấy trước, tính xác suất để A lấy được bút đỏ trước B.

b- Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 chiếc bút. Ký hiệu Ei là biến cố ”bút thứ i được lấy ra là bút đỏ”, i = 1,2. Tính  và .

Đáp số:            a-  13/20 ;     b-  = 3/5 và  = 3/8

Bài 4. Chứng minh rằng nếu các biến cố A, B, C độc lập thì

a- Các biến cố A và  cũng độc lập.

b- Các biến cố  và C cũng độc lập.

Bài 5. Một hộp chứa 5 bút bi xanh và 7 bút bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra một chiếc bút, xem đó là bút màu gì rồi trả lại bút vào hộp cùng với một chiếc bút khác cùng màu. Tiếp tục làm như vậy 3 lần. Tính xác suất để trong 3 lần lấy bút này ta nhận được 2 bút xanh

Đáp số:    0,288        

Bài 6.  Để hoàn thành một môn học, mỗi sinh viên phải qua 3 lần thi và để được dự lần thi tiếp theo, người đó phải thi đỗ lần trước đó. Biết xác suất thi đỗ ở lần 1, 2 và 3 tương ứng là 0,9; 0,8 và 0,7. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên thấy sinh viên đó không hoàn thành môn học. Tính xác suất để sinh viên đó bị trượt ở lần thi thứ 2.

            Đáp số:           0,3629

Bài 7.  Có hai túi hàng. Túi I có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu còn túi II có 4 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu.

a- Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ túi I cho sang túi II rồi từ túi II ta lại lấy ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra này ta có 2 sản phẩm tốt.

b- Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Các sản phẩm  còn lại được dồn vào túi III và từ túi III ta lấy ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm chọn ra này là sản phẩm tốt.

            Đáp số:             a-  0,48;      b-    0,59

Bài 8. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất tương ứng là  và  Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu pn là xác xuất mà người chơi có được n điểm.

a- Tính p1 và p2.

b- Chứng minh

Đáp số:          a-  p1 = 5/8 và p2 = 59/64;    b- Dùng phương pháp quy nạp      

Bài 9.  Có ba hộp bút: hộp 1 có 4 bút xanh và 3 bút đỏ; hộp 2 có 5 bút xanh và 2 bút đỏ; hộp 3 có 1 bút xanh và 3 bút đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chiếc bút thấy có 2 bút xanh và 1 bút đỏ. Tính xác suất để bút được lấy ra từ hộp 1 là bút xanh    

Đáp số:           68/83

Bài 10. Một hộp chứa r bút đỏ và b bút đen. Chọn ngẫu nhiên ra một chiếc bút, xem là bút màu gì rồi trả lại vào hộp cùng với c chiếc bút khác cùng màu.

a- Tiếp tục chọn ngẫu nhiên ra một chiếc bút thấy đó là bút đỏ. Tính xác suất để chiếc bút chọn ra ở lần đầu là bút đen.

b- Giả sử ta lặp lại quá trình nêu trong đề bài nhiều lần. Tính xác suất để ở lần lấy thứ n, ta lấy được bút đỏ, .

            Đáp số:     a-   b/ b+r+c;      b-    r/ b+r

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Bài 1.  Giả sử W là một không gian nào đó và  là họ tất cả các tập con của W, Chứng minh rằng mỗi hàm Xw) xác định trên W là biến ngẫu nhiên.

     Nếu  = {W, Æ} thì chứng tỏ rằng X(w) chỉ là biến ngẫu nhiên khi nó là hằng số.



Bài 2. Hai người bạn A và B hẹn đến gặp nhau tại điểm nào đó trong khoảng thời gian [0;T]. Giả sử u, v lần lượt là các thời điểm A và B tới điểm hẹn. Chứng minh X(w) =  với w = (u, v) là một biến ngẫu nhiên. Xác định hàm phân phối của X.

Đáp số:           

Bài 3.  Gieo 2 lần đồng tiền cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 2 lần gieo. Hãy xây dựng không gian xác suất tương ứng với phép thử trên và chứng minh X là biến ngẫu nhiên. Viết hàm phân phối của X.

Đáp số:           F(x) =

Bài 4. Cho hàm



a- Tìm k để  p(x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.

b- Tính

Đáp số:   a-  k = 3/4;      b-   63/64  và 1/4.

Bài 5. Điểm thi của 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp hạng theo thứ tự từ cao xuống thấp. Giả sử điểm thi của 10 người là khác nhau. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ thứ hạng cao nhất của một học sinh nữ. Tìm phân phối xác suất của X.

Đáp số:                           

                        ;           



Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Bài 1.  Một hộp chứa N quả bóng mang số lần lượt từ 1 đến N. Chọn ngẫu nhiên ra n quả bóng . Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số lớn nhất trên các bóng trong số n quả bóng được chọn. Tìm phân phối xác suất của X và tính EX.

Đáp số:    .

Bài 2. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần gieo một xúc xắc cho đến khi mặt 6 chấm xuất hiện 2 lần.

            a- Tính P(X > 6) và xác định phân phối xác suất của X.

            b- Giả sử nếu trong vòng 10 lần gieo đầu tiên mặt 6 chấm xuất hiện 2 lần , bạn sẽ được  điểm và bạn sẽ không có điểm trong các trường hợp khác. Tính số điểm trung bình nhận được.

 

Đáp số:           a-  P(X > 6) = 0,7368;   

b-   EY = 1,34

Bài 3.  Một hộp chứa m bút xanh và n bút đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp  lần lượt từng chiếc bút. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số bút đã được lấy ra cho đến khi lấy được chiếc bút xanh đầu tiên. Tính EX.

Đáp số:           

Bài 4. Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối Rayleigh nếu hàm mật độ có dạng



            Xác định hàm phân phối  FX(x) và tính EX; DX.

Đáp số:   ;     EX = ;    .

Bài 5. a- Cho biến ngẫu nhiên liên tục Y. Chứng minh



            b- Cho biến ngẫu nhiên liên tục X không âm. Chứng minh



Hướng dẫn:  b- sử dụng kết quả ở câu a cho biến ngẫu nhiên Y = Xn.

Bài 6.  Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng thời gian từ 6h đến 7h. Giả sử thời điểm hai người đi tới chỗ hẹn là ngẫu nhiên. Hỏi trung bình người đến trước phải chờ người đến sau trong bao lâu?

Đáp số:           1/3 giờ

Bài 7.  Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ



Chứng minh median m của X thoả mãn phương trình

Hướng dẫn:  Tính ra k = 2e-1 và từ đó suy ra

Bài 8. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ



Tìm xmod.

Đáp số:     xmod = m với


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương