Ôn thi học phần môn giải tích hàm nhiều biếN 1)Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của hàm số (tr 67)



tải về 44.41 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu07.07.2016
Kích44.41 Kb.
ÔN THI HỌC PHẦN MÔN GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

1)Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của hàm số (tr 67)

Định lí. Điều kiện cần và đủ để chuỗi (U) hội tụ đều trên E là:

Với một >0 bất kỳ, tìm được một số nguyên dương ( chỉ phụ thuộc vào ) sao cho khi n>và bất kỳ m=1,2,3…bất đẳng thức (1)

thỏa mãn đồng thời với mọi .

Chứng minh.

Điều kiện cần. Giả sử chuỗi hàm (U) hội tụ đều, tức là có một số >0 bất kỳ, tìm được ( không phụ thuộc vào x) sao cho n>thì với mọi x. Khi đó:



Điều kiện đủ: Giả sử chuỗi hàm thỏa mãn (1). Chú ý rằng:

Do đó theo (1)

Với . Do >0 bất kỳ, chuỗi (U) hội tụ đều.

2). Dấu hiệu Weierstrass (tr 68)

Nếu với mọi : (2)

trong đó Cn là số hạng của một chuỗi hội tụ thì chuỗi (U) hội tụ đều trên E

Chứng minh. Từ (2) suy ra (với mọi x):

hội tụ nên theo điều kiện của chuỗi số, tổng ở vế phải



theo dấu hiệu Cauchy chuỗi (U) hội tụ đều

Áp dụng:

Xét sự hội tụ đếu của chuỗi hàm :

Ta có là chuỗi số dương hội tụ nên hội tụ theo tiêu chuẩn Weierstrass.



3). Định lí 2 trang 87 (định lí về sự hội tụ đều của chuổi lũy thừa)

Nếu r là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa thí, với bất kỳ số q sao cho 0

Chứng minh.

Do q hội tụ.

Mặt khác : ta có :

Nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hội tụ đều trên đoạn [-q,q]



4. Định lí về đạo hàm riêng của hàm số hợp Tr 183

Cho hàm f(x,y) xác định trên tập mở và có các đạo hàm riêng tại mọi điểm . Giả sử x(t), y(t) là các hàm số xác định trên khoảng I=(a,b) sao cho vói mọi và có các đạo hàm , . Khi đó, hàm số hợp: có đạo hàm tại t0 (hay viết tắt )



Chứng minh. Ta có:

Hàm số f(x,y(t))có đạo hàm trên đoạn có đầu mút là x(t0), x(t) nên theo định lí Lagrange:





trong đó c thuộc khoảng có đầu mút là x(t), x(t0).

Tương tự:



trong đó d thuộc khoảng có đầu mút l

Nên



Cho và sử dụng giả thiết có đạo hàm tại t0 và hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trên G.

Công thức được chứng minh

Áp dụng.

trong đó Tính

(SV tự giải )

5) Định lí Svac ( Schwarz) trang 287

Nếu f(x,y) liên tục trên miền mở có đạo hàm cấp hai liên tục tại điểm thì



Chứng minh.

Đặt: (1)

H, k đủ nhỏ để đoạn thẳng nối hai điểm nằm trong v(P0) (V(P0) là lân cận của P0)

(2)

Khi đó (3)

Từ (2) ta có

Áp dụng công thức số gia hữu hạn vào (3)

Áp dụng công thức số gia hữu hạn, ta được:



trong đó . (4)

Mặt khác nếu đặt



(5)

Ta cũng thấy (6)

Tương tự (7) trong đó

Từ (4) và (7) suy ra

Cho , theo giả thiết liên tục của tại suy ra

6.Định lý về giá trị trung bình của tích phân bội trang 287

Giả sử D là tập đo được trong R2 là hàm số khả tích trên D. Khi đó, nếu m và M là hai số thực sao cho với mọi thì tồn tại sao cho .



Chứng minh.

Nếu kết luận hiển nhiên đúng. Giả sử theo 3.3 ta có

Do đó :

Số thực thỏa mãn kết luận của định lí.



7. Định lí Phubini trên một tập đo được trang 288

Định lí. Giả sử là hai hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và ,

Nếu f là hàm liên tục trên D thì f khả tích trên D và



(1)

Chứng minh.
Theo 1.6b, D là tập đo được. Hiển nhiên D là tập đóng. Do đó hàm số f(x,y) khả tích trên D. Vì liên tục trên [a,b] nên chúng bị chăn trên đoạn này. Giả sử c và d là hai số thực sao cho với mọi Khi đó D chứa trong hình chữ nhật đóng . Theo định nghĩa 2.4 của tích phân hai lớp trên một tập đo được, hàm số xác định bởi:

Khả tích trên R và (2)

Theo định lý 4.1 ta có :

(3)

Vì mỗi ta có

Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh

8. Định lí cơ bản của tích phân đường (tr 391)

Định lý. Giả sử C là cung trơn từng khúc với phương trình vec tơ

là hàm số thuộc lớp C1 trên một tập mở trong R3 chứa C (tức là f có đạo hàm riêng liện tục trên . Khi đó



Tức là :



Chứng minh. Ta cần chứng minh cho trường hợp C là cung trơn.

Theo định nghĩa tích phân đường ta có



= (2)

Đặt

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được:

Từ (2) ta có:



9) Định lý Green trang 395

Giả sử D là miền đó bị chặn trong một mặt phẳng có biên là đường cong kín đơn trơn từng khúc C định hướng dương. Nếu P và Q là hai hàm số thuộc lớp C1 trên tập mở U trong mặt phẳng chứa D thì:



(1)

Công thức trên gọi là công thức Grin.



Chứng minh

10 Giả sử D nêu trong định biểu diễn đồng thời dưới hai dạng







Trong đó là hai hàm số liên tục trên [a,b] và là hai hàm số liên tục trên [c,d]



,

Ta gọi miền D như vậy gọi là miền đơn giản.

Để chứng minh (1) ta cần chứng minh hai biểu thức sau:

Thật vậy đường cong kín C được chia thành 4 cung: C1, C2, C3, C4 do đó:



Cung C1 có phương trình là: x=x,

Do đó :

Cung C3 được định hướng từ phải sang trái ( từ C đến D). Cung –C3 được định hướng từ trái sang phải (từ D đến C), cung –C3 có phương trình là: x=x, .

Do đó

Cung C2 là đoạn thẳng định hướng BC, C4 là đoạn thẳng định hướng DA. Vì hai cung này tham số x lấy giá trị không đổi nên

Do đó

Mặt khác

(5)

Từ (4) và (5) suy ra

Tương tự ta có :

20 Xét miền D là miền đơn liên bất kỳ, ta luôn có thể chia miền D thành hữu hạn các miền đơn giản. Chẳng hạn ta có thể chia miền D thành hai miền đơn giản D1 và D2 bởi đoạn thẳng AB.

Cung C, biên của miền D được chia thành 2 cung C1 và C2. Biên của D1 là cung định hướng gồm hai cung: C1 có điểm đầu là B điểm cuối là A và đoạn thẳng định hướng AB (định hướng từ B đến A)

Theo 10, ta có :

Tương tự :

Công hai đẳng thức trên ta có



Vì hai tích phân đượng dọc theo đoạn thẳng định hướng AB và BA triệt tiêu lẫn nhau và





10. Định lý bốn mệnh đề tương đương

Định lý. Giả sử hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên D. Khi đó bốn mệnh đề sau đây tương đương nhau:

(1)

(2) , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong D

(3), trong đó cung nằm trong miền D chỉ phụ thuộc vào 2 đầu A, B mà không phụ thuộc vào hình dạng cung

(4) Biểu thức là vi phân toàn phần của u(x, y) nào đó trong miền D

Chứng minh.

Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau:



: Gọi D1 là miền giới hạn bởi L, suy ra . Áp dụng công thức Green cho miền D1 ta có:

Suy ra



Lấy suy ra đường cong kín. Theo (2): hay

Suy ra

Chứng tỏ tích phân không phụ thuộc vào hình dạng cung .



Ta xây dựng hàm u(x,y) dưới dạng sao cho .

Lấy A(x0,y0) cố định thuộc D và điểm M(x,y) chạy trên miền D

Xét hàm số:



với , C là hằng số tùy ý.

Rõ ràng tích phân này phụ thuộc vào M(x,y) chứ không phụ thuộc vào hình dạng cung . Ta chứng minh . Thậy vậy, theo định nghĩa đạo hàm riêng tại (x,y) ta có:



Trong đó M và M­1 cùng có tung độ là y, còn hoành độ của M1 là x+h với h đủ bé để

Theo (3) có thể lấy cung gồm cung và đoạn thẳng nằm ngang MM1. Vậy

Đoạn MM1 vuông góc với trục oy và hướng từ M(x,y) đến M1(x+h,y) suy ra dy=0

Vậy:

Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân xác định thì:



Trong đó , từ đó ta có :



Do tính liên tục của hàm P(x,y) vậy

Tương tự ta chứng minh được

Vậy tồn tại hàm u(x,y) để



: để hay . Suy ra:

Do đạo hàm riêng của P,Q liên tục trên miền D nên các đạo hàm hỗn hợp cũng liên tục trên D. Theo định lý Schwarz, ta có hay là








Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương