Phụ lục. Bảng phân phối F (df1: bậc tự do của tử số và df2: bậc tự do của mẫu số)

Ví dụ 1: Ta có 1 mẫu gồm 6 trẻ từ 1-6 tuổi, có cân nặng như bảng sau:

Nối các cặp (x,y) này ta thấy có dạng 1 phương trình bậc nhất: y=2x+8

(trong đó 2 là độ dốc và 8 là điểm cắt trên trục tung y khi x=0). Trong thống kê phương trình đường thẳng (bậc nhất) này được viết dưới dạng:
y= x +  [1]

Đây là phương trình hối qui tuyến tính, trong đó  gọi là slope (độ dốc) và  là intercept (điểm cắt trên trục tung)

Thực ra phương trình hồi qui tuyến tính này chỉ có trên lý thuyết, nghĩa là các trị số của x_i (i=1,2,3,4,5,6) và y_i tương ứng liên hệ 100% (hoặc hệ số tương quan R=1)

Trong thực tế hiếm khi có sư liên hệ 100% này mà thường có sự sai lệch giữa trị số quan sát y_i và trị số y_i’ ước đoán nằm trên đường hối qui.

Ví dụ 2: Ta có 1 mẫu gồm 6 trẻ em khác có cân nặng theo bảng sau:

Khi vẽ đường thẳng hồi qui, ta thấy các trị số quan sát y₃, y₄, y₅, y₆ nhưng y₁ và y₂ không nằm trên trên đường thẳng này và sự liên hệ giữa x_i và y_i không còn là 100% mà chỉ còn 97% vì có sự sai lệch tại y₁ và y₂. Sự sai lệch này trong thống kê gọi là phần dư (Residual) hoặc Errors.

Gọi y₁, y₂, y₃, y₄, y₅, y₆ là trị số quan sát và y’₁, y’₂, y’₃, y’₄, y’₅, y’₆ là trị số ước đoán nằm trên đường hồi qui, ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆ là phần dư.

Như vậy ₁= y₁ –y’₁

₂ = y₂ –y’₂

₃ = y₃ –y’₃

₄ = y₄ –y’₄

₅ = y₅ – y’₅

₆ = y₆ –y’₆

Khi đó phương trình hồi qui tuyến tính được viết dưới dạng tổng quát như sau:

y’= βx_i + _i+ _i [2]

Như vậy nếu phần dư _i càng nhỏ sự liên hệ giữa x,y càng lớn và ngược lại. Phần liên hệ còn đượi gọi là phần hồi qui. Mô hình hồi qui tuyến tích được mô tả:

Ví dụ 3: Nếu chúng ta chọn một mẫu thực tế gồm 30 em từ 1-6 tuổi và kết quả cân nặng tương ứng của 30 em được vẻ trong biểu đồ sau:

Lúc này ta không thể nối 30 điểm trên biểu đồ mà phải vẽ 1 đường thẳng đi càng gần với tất cả các điểm càng tốt. Như vậy 3 đường thẳng ở biểu đồ ta chọn đường thẳng nào?. Nguyên tắc chọn đường thẳng nào đi gần cả 30 điểm, có nghĩa làm sao để tổng các phần dư _i nhỏ nhất:

 _i=  (y_i- βx – α)

và tổng bình phương của phần dư:

 (_i)²=  (y_i- βx – α)²

Đây là phương trình bậc 2 theo x. Trong toán học, muốn tìm trị cực tiểu của 1 phương trình bậc 2, người ta lấy đạo hàm và cho đạo hàm triệt tiêu (bằng 0) sẽ tím được trị cực tiểu của x. Giải phương trình này, ta sẽ tính được 2 thông số  và  và từ 2 thông số này ta sẽ vẽ được đường thẳng hồi qui. Phương pháp này trong toán học gọi là phương pháp bình phương nhỏ nhất (least square method).

Giải phương trình trên ta có:

 = r

r =  (  ) (  )

= y - x

và phương trình hồi qui tuyến tính của y theo x (bình phương nhỏ nhất) là:

y’ = βx_i + 

Dùng phần mềm SPSS để vẻ đường hồi qui đồng thời tính phần hồi qui và phần dư của mô hình. Nhập số liệu tuổi và cân nặng cân được của 30 trẻ 1-6 tuổi vào SPSS:

Nhập số liệu vào SPSS

Vào menu >Analyze> Regression> Linear

Bảng 1. Tóm tắt mô hình

Hệ số tương quan R=0,918 và R²=0,843

Tổng bình phương phần hồi qui (Regression)=336,14

Tổng bình phương phần dư (Residual)=62,8

Trung bình bình phương hồi qui: 336,14/ 1 (bậc tự do)=336,14

Trung bình bình phương phần dư: 62,8/ 28(bậc tự do=n-2)=2,24

F=  = 149,8 và p<0,000
Bảng 3. thông số  và 

Kết quả bảng 3 cho biết độ dốc = 1,96 và điểm cắt tại trung tung là =7.773

Phương trình đường thẳng hồi qui là:
Cân nặng= 1,96 x tuồi + 7,77
Như vậy khi em bé tăng lên 1 tuổi thì cân nặng tăng lên 1,96 kg

Vẽ đường thẳng hồi qui trong SPSS

7 tuổi  Cân nặng= 1,96 x7 + 7,77 = 21,49 kg

8 tuổi  Cân nặng= 1,96 x8 + 7,77 = 23,45 kg
TS Nguyễn Ngọc Rạng, bvag.com.vn

Tài liệu tham khảo:

McClave J T and Sincich T. 2000. Simple linear regression in Statistics, 8^th edition, Prentice-Hall, USA, pp. 505-557.