Ví dụ 3.2.23. ([4])
Cho .Tìm giá trị lớn nhất của
Giải
Xét hàm số . Ta có
Suy ra liên tục và tăng trên , sử dụng Mệnh đề 3, ta có
.
Vậy khi .
Ví dụ 3.2.24. ([4])
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Giải
Xét hàm số và liên tục và tăng
Sử dụng Mệnh đề 4, ta có
Từ đẳng thức và
Ta nhận được
hay .
Vậy khi .
-
Tính tổng.
-
Lý thuyết
-
Công thức tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân.
+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .
Đặt .
Khi đó
+ Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội .
Đặt .
Khi đó .
-
Công thức nhị thức Newton.
Đặc biệt
Một số kết quả
-
Từ lần lượt thay ta được các kết quả sau
-
-
-
-
-
Lấy hai vế của ta được
-
Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3.3.1. ([5])
Tính các tổng sau:
-
.
-
Giải
-
Ta có với thì
.
Lấy đạo hàm 2 vế ta được
Vậy
Với thì .
Với thì .
-
Trong đó
+) Với thì
hay . Lấy đạo hàm 2 vế ta có
.
+) Với thì .
Ví dụ 3.3.2. ([5])
Tính các tổng sau:
-
.
-
.
-
-
-
Giải
-
Xét tích phân
Ta có
Mặt khác
.
Vậy .
-
Xét tích phân
Ta tính Đặt
Mặt khác
.
Vậy .
-
Ta có .
Mặt khác nên
Vậy .
-
Ta có .
Mặt khác nên
.
-
Xét tích phân
Ta có
Mặt khác
.
Vậy .
-
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Chứng minh rằng: .
Bài 2. Chứng minh rằng: .
Bài 3. Chứng minh rằng: .
Bài 4. Không dùng bảng số chứng minh rằng .
Bài 5. Chứng minh rằng: ; .
Bài 6. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.
Bài 7. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Bài 9. Tính tổng .
(Đại học Đà Nẵng năm 2001)
Bài 10. Tính tổng theo n.
(Đại học Sư Phạm TP. HCM năm 2000).
Bài 11. Chứng minh rằng
(Đại học và Cao đẳng, khối A, năm 2007).
Bài 12. Chứng minh rằng
Bài 13. Cho . Tính .
Bài 14. Cho . Tính .
Bài 15. Cho . Tính .
KẾT LUẬN
Nội dung luận văn “ Tích phân và ứng dụng” bao gồm các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và một số ứng dụng của tích phân xác định. Luận văn đã đạt được một số kết quả:
-
Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp từng dạng tính nguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định bằng công thức Newton – Leipnitz.
-
Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bài toán thực tế và giải một số dạng toán phổ thông như tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 ban cơ bản và ban nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2]. Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định và các ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm.
[3]. Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[4]. Trần Phương (2006), Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất bản Tri Thức.
[5]. Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán Giải tích 12, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[6]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích một biến số), Nhà xuất bản Giáo dục.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |