Bµi 33 :
T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph¬ng tr×nh Èn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0
cã nghiÖm nguyªn.
Gi¶i :
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi = m4 - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph¬ng
Ta l¹i cã: m = 0; 1 th× < 0 (lo¹i)
m = 2 th× = 4 = 22 nhËn
m 3 th× 2m(m - 2) > 5 2m2 - 4m - 5 > 0
- (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4
m4 - 2m + 1 < < m4
(m2 - 1)2 < < (m2)2
kh«ng chÝnh ph¬ng
VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
-
Cho ph¬ng tr×nh . Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña th× ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ? Khi ®ã gäi vµ lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña ®Ó .
®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th×
Khi ®ã ta cã x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=31 ap dông hÖ thøc vi Ðt ta ®îc
(-3)2-2m=31 tháa m·n ®iÌu kiÖn m<9/4
Bµi 34:
Cho ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña , biÕt r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn .
Ta cã :®Ó PT cã 2 nghiÖm x1x2th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ :
Theo gi¶ thiÕt c¶ hai gi¸ trÞ nµy cña m ddeuf tháa m·n ®iÒu kiÖn vËy c¸c gi¸ trÞ cña m tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ m =
Bµi 35:
Cho phương tr×nh x2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0 với m lµ tham số víi x lµ ẩn số.
a) Giải phương tr×nh với m = 1.
b) T×m m để phương tr×nh cã hai nghiệm ph©n biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của c©u b h·y t×m m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt gi¸ trị nhỏ nhất.
Cho phương tr×nh x2 - 2mx + m2 -m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thi (1) trở thành:
x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 x = 1.
b) (1) cã hai nghiệm ph©n biệt x1, x2
Δ’ = m - 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) cã hai nghiệm ph©n biệt x1, x2 m > 1.
c) Khi m > 1 ta co:
S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1
Do đã : A = P - S = m2 -m + 1 - 2m = m2 -3m + 1 = − ≥ –.
Bµi 36: Cho phư¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m2 - 7 = 0.
a, Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 2.
b, T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
a. Víi m = 2 thay vµo ®îc x2 - 2x - 3 = 0
cã d¹ng a - b + c = 0 ( HoÆc tÝnh )
x1 = -1 ; x2 = 3 vµ kÕt luËn nghiÖm
b. TÝnh
Suy ra m < 4 vµ kÕt luËn m < 4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
Bài 37.): Cho phương trình ẩn x: (1) (m là tham số)
-
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
-
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao c, c, cho biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.
TÝnh suy ra PT cã hai nghiemj ph©n biÖt x1x2
A =(x1.x2+6) theo ®Þnh lý vi Ðt ta cã
A =x1x2=-6 vËy Amax=0 khi vµ chØ khi
VËy m =0 ; m =2 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m
Bµi 38: Cho Ph¬ng tr×nh bËc hai , x lµ Èn, tham sè m:
-
Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m.
-
Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Chøng tá M = x1 + x2 - x1x2 kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .
Gi¶i :
-
= [-(m+1)]2-2m = m2 +2m +1 -2m = m2 + 1 > 0
Nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m
-
Nªn kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .
Bài 39 :
T×m số thực a để phương tr×nh sau cã nghiệm nguyªn
.
®iÒu kiÖn ®Î ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
Gäi x1.x2Lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh gi¶ sö x1>x2
Theo ®Þnh lý vi Ðt ta cã :
ho¨c do x1-1
Suy ra a=6 hoÆc a=-2 tháa m·n ddieuf kiÖn
Bµi 40 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2 - 4x + m + 1 = 0
1. GiaØ ph¬ng tr×nh khi m = 3
2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiªm.
3. T×m gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = 10
Gi¶I :
-
Khi m = 3, ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : x2- 4x + 4 = 0 (x - 2)2 = 0 x = 2 lµ nghiÖm kÐp cña ph¬ng tr×nh.
-
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ’ ≥ 0 (-2)2 -1(m + 1) ≥ 0 4 - m -1 ≥ 0 m ≤ 3.
VËy víi m ≤ 3 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
-
Víi m ≤ 3 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 .Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã : x1 + x2 = 4 (1), x1.x2 = m + 1 (2). MÆt kh¸c theo gt : x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 = 10 (3). Tõ (1), (2), (3) ta ®îc :16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 < 3(tho¶ m·n) . VËy víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = 10.
Bµi 41 : Cho PT x4-2mx2+m2-4 = 0
A, Gi¶i PT víi m= -1
B , T×m m ®Ó PT cã 4 nghiÖm ?
Gi¶i a, Khi m = -1 ta cã PT x4+2x2-3=0 ®Æt x2=t ®/k t
Ta cã PT t2+2t -3 =0 t1=1 t2 =-3 lo¹i
Gi¶i ra ta ®îc x=
B, t= x2 (tt cã PT : T2-2m +m2-4 =0 (2)
®Ó (1) cpos 4 nghiÖm th× (2) ph¶i cã 2 nghiÖm d¬ng ph©n biÖt
vËy víi m>2 th× PT cã 4 nghiÖm
Bµi 42 : cho PT : x2-(2m+2)x +m2+2m = 0
A, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m
B, gäi x1x2 lµ hai nghiÖm cña PT t×m m ®Ó 2x1+x2 = 5
Gi¶ a, vËy PT cã nhiÖm víi mäi m
B, x1x2 lµ hai nghiÖm cña PT
X1+x2= 2m + 2 (1)
X1x2 = m2+2m (2)
Mµ 2x1+x2 = 5 x1 +x1+x2 =5 suy ra x1+2m +2 =5 suy ra x1= 3 – 2m
Thay x1 vµo suy ra x2 = 2m-2 –x1 = 4m -1thay vaof (2) ta ®îc
9m2 -12m+3 = 0 suy ra m1= 1, m2= 1/3
Bµi 43 : cho PT x2 - (3m -1)x +2m2-m = 0
A, GPT khi m = 1
b. t×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ,x1 mµ
Gi¶I a, khi m =1 PT trë thµnh x2-2x +1 = 0 s uy ra (x-1)2 = 0
Suy ra x = 1
B, khi m
Th× x)2 = 4Bµi44 : Cho pT x2 -2(m+4) x +m2-8 = 0
A, gi¶i PT víi m =-3
B, T×m m ®Ó PT cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,,x2 mµ x12+x2 –x1x2 =121
Giai a, khi m = -3 ta cã x2-2x+1=0 suy ra x = 1
X12+x22-x1x2= 121 suy ra 4(m+4)2-3( m2-8) =121
m+32m -33=0 suy ra m1 = 1 m2=-33 lo¹i vËy víi m= 1 th× PT tháa m·n
Bµi 45 : Cho PT x2 +(m2+1)x +m+2 = 0 m lµ tham sè
A, Chøng minh r»ng víi mäigi¸ trj cña m th× PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt
B , Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña PT t×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña m sao cho
Gi¶I a, (m2+1)2-4(m-2)=m4+2m2+1 -4m +8= m4-2m2+1+4m2-4m +1+7=(m2-1)2+(2m-1)2+7 >0víi mäi m vËy PT lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
B , (2x1-1)x1+(2x2-1)x2 = x12x22+55suy ra 2x1-x1+2x22-x2-x12x22-55=0
2(x1+x2)2-4x1x2-(x1+x2)-(x1x2)2-55 =0 (2) ¸p dông ®Þnh lý vi Ðt
Ta cã : x1+x2=- (m2+1) x1x2 = m-2 thay vµo (2) ta cã
2m4+4m2+2+8+1-4-55-4m +4m =0 suy ra 2m4+4m2-48 =0
®Æt m2 = t 2t2+4t – 48 = 0,= 100 >0 suy ra t1=4 . t2= -6 ( lo¹i)
Thay t = 4 suy ra m2 =4 vËy m= xÐt ®iÒu kiÖn suy ra m =- 2
Bµi 46 : Cho PT (m+1)x2 -2(m-1)x+m-3 = 0 Èn x m lµ tham sè (m
A, Chøng minh PT cã nghiÖm víi mäi x ?:
B, T×m m ®Ó PT cã cã hai nghiÖm cïng dÊu :
C,T×m m ®Ó PT cã nghiÖm nµy gÊp ®«I nghiÖm kia ?
Gi¶I : a, =(m-1)2-(m+1)(m-3) = m2-2m +1-m2+3m-m+3=4>0
Vëy PT cã nghiÖm víi mäi m
B, §Ó PT cã hai nghiÖm cïng dÊu th× ;
víi m>3 th× PT cã hai nghiÖm cïng dÊu
C, x1 =
X2=
Gi¶ sö : Trêng hîp 1 : 1=2 suy ra m+1=2m-6
TH2 : 2.1=
Bµi 46 : Cho PT : x2-2(m+1)x+2m+10 = 0
T×m m sao cho hai nghiÖm x1,x2 cña PT tháa m·n 10x1x2+x12+x22 ®¹t gi¸ trj NN
Gi¶I : 10x1x2+x12+x22=8x1x1+2x1x2+x2+x22=8x1x2+(x1x2)2=8(2m+10)+
=16m +80 +4m2+8m +4 = 4m2+24m+84=(2m+6)2+48
Vëy gi¸ trj nhá nhÊt khi m= -3 lµ 48
Bµi 47 : Cho PT : 2x2+2(m+1)x+m2+4m +3 = 0
Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña PT : t×m GTLN cña A =
Gi¶I : A =
Bµi 47 : Cho PT x2-2(m+4)x+m2-8 = 0
A, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt ?
B, t×m m ®Ó A = x22+x22-x1-x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ?
Gi¶I : §Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th×
8m+24
B, A= (x1+x2)2-2x1x2-(x1+x2)=
= 4m2+16m+64-2m2+16+2m+8=2m2+18m+88=2
=2(m+ vËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = khi x=-
Bµi 48 : Cho PT x2 –(m+1)x +m2-2m+2=0
A, gi¶I PT víi m=2
B, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm cïng dÊu cã mét nghiÖm x1=2 t×m nghiÖm x2=?
C, Gäi x1, x2lµ hai nghiÖm cña PT t×m m ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc
A= x12+x22-x1-x1 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ?
Gi¶I a, víi m=2 th× PT x2-3x+4-4+2 =0
X2-3x+2=0x1=1 x2=2
B,
®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 cïng dÊu th× P >0 thuéc ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh
thay x1=2 vµo PT ta cã m2-4m+4 =0
M=2 tháa ,m·n §/K x1x2==1
C, th× PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 khi ®ã
A = (x12+x22-x1x2=(x1+x2) -3x1x2=(m+1)2-3(m2-2m+2)
A= -2m2+8m-5=3-2(m-2)
Ba× 49 : Cho PT ; x2-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
A, gi¶I PT víi m=1
B, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m
C, gäi x1,x2 lµ 2 nghiÖm cña PT (1) CMR K=x1(!-x2)+x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m
Gi¶I a, m=1 ta cã x1=2+ x2=2-
B, x=
C, PT cã hai nghiÖm x1,x2 K =x1-x1x2+x2-x1x2=10
VËy biÓu thøc ®óng víi mäi m
Bµi 50 : Cho PT x2-2mx+m2-+m+1= 0
A, Gi¶I PT víi m=1
B, t×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt
c. T×m m ®Ó biÓu thøc A= x1x2-x1-x2 ®Ët GTNN
Gi¶I : a, Víi m=1 th× PT trë thµnh x2-2x+1 =0
VËy x = 1
B, = m-1 ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th×
C, Víi §/K m>1 ¸p dông ®Þnh lý vi Ðt ta cã
X1+x2= 2m x1x2=m2-m+1
A = x1x2-x1-x2=x1x2-(x1+x2)=m2-m+1-2m suy ra m2-3m+1
VËy gi¸ trÞ NN khi m=3/2 th× A= -5/4
Bµi 51 : Cho PT x2 -2(m-1)x+2m-4 = 0
A, Gi¶I PT víi m=2
B, T×m gi¸ trÞ NN cña M = x12+x22 víi x1, x2 lµ nghiÖm
Gi¶I : a, víi m=2 PT trë thµnh x2 -2x =0 vËy x= 0 x=2
B,
(m-2)2+1>0 víi m
M= x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=
4m2-8m +4-4m +8 =4m2-12m +12= 4m2-12m +9 +3=(2m-3)2+3
VËy ®Ó M nhá nhÊt th× 2m-3 = 0 suy ra m = 3/2 vµ GTNN lµ 3
Bµi 52 : Cho PT x2 -2mx +m2-1 = 0
A, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m
B, T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1, x2 cña PT ®éc lËp víi m
C T×m m ®Ó
Gi¶I : a,
VËy PT cã nghiÖm víi moi m
B, x1+x2=-(-2m)=2m = S thay vao (1) x1x2==m2-1=P (1)
-(
C,x12+x22) = -5x1x2=2x12+2x2+4x1x2+x1x2=0
= 2(x12+x22+2x1x2)+x1x2=0 2(2m)2+m2-1 =0 9m2-1=0
m =
Bµi 53 ; Cho PT x2-2(m1)x+2m+3= 0
A, gi¶I PT víi m= -3
B, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n (x1-x2)2= 4
A, x1,2=
B, §Ó PT cã hai nghiÖm th×
M2 -2 m
(x1-x2)2 = 4x12+x22-2x1x2=4 x12+2x1x2+x22 = 4
4m2+8m+4-8m-12=4 suy ra 4m2-8=4
Tháa m·n ®iÒu kiÖn
Bµi 54 : Cho PT x2-5mx -4m = 0
A, Gi¶I PT víi m=-1
B, trong trêng hîp PT cã hai nghiÖm x1 ,x2 chøng minh r»ng
X12-5mx2-4m >0
Gi¶I : Víi m=-1 PT cã hai nghiÖm x1=-1 , x2=-4
B víi mPT cã hai nghiÖm ph©n biÖt lóc ®ã
X1+x2=5m suy ra x2=5m-x1
X1.x2=-4m
XÐt x12-5mx2-4m (1) thay x2=5m –x1 vµo (1)
Ta cã x12+5m(5m-x1)-4m = x12+25m2-5mx1-4m =(x12-5mx1-4m)+25m2 vi x1
Lµ nghiÖm cña PT x12-5mx -4m =0 nªn x12-5mx1-4m=0
Mµ m nªn 25m2>0 vËy (x1-5mx1-4m ) +25m2 >0 ta cã ®pcm
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |