+ (2m-1)x + m 1= 0 (1) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có

Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x² – 2(m + 1)x + m² – 1 = 0

Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện :

x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 1

’ = b’² – a.c = (m+1)² – 1. ( m² – 1)

= m² + 2m + 1 – m² + 1 = 2m + 2.

Để pt có hai nghiệm x₁ , x₂ thì ’  0

 2m + 2  0

• 
  m  -1 .
  

Theo đề bài ta có: x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 1.

 2m + 2 + m² – 1 = 1

 m² + 2m = 0.

 m(m + 2 ) = 0.

 m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)

Vậy m = 0.

Bài 19:

Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x² – 2(m + 1)x + m² – 1 = 0

Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện :

x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 1

’ = b’² – a.c = (m+1)² – 1. ( m² – 1)

= m² + 2m + 1 – m² + 1 = 2m + 2.

Để pt có hai nghiệm x₁ , x₂ thì ’  0

 2m + 2  0

• 
  m  -1 .
  

Theo đề bài ta có: x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 1.

 2m + 2 + m² – 1 = 1

 m² + 2m = 0.

 m(m + 2 ) = 0.

 m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)

Cho phương trình (x là ẩn số)

1. 
   Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
   
2. 
   Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = .
   

a)

Suy ra phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Ta có x₁ + x₂ = 3m + 1 và x₁x₂ = 2m² + m – 1

A=

Do đó giá trị lớn nhất của A là : . Đạt được khi m =

x² - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)

1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 2.

2. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó x = -2 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1).

a) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x² – 3x + 2 = 0 (*)

Vì phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0

Nên phương trình (*) có hai nghiệm là x₁ = 1 v à x₂ = 2.

b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta được:

Bài 22:

Giải : phương trình với m=-3

Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn (x-x)=4

Với m=-3 phương trình trở thành x-2(-3+1) +2(-3)+3=0

Giải ra ta có x=-2+ x= -2-

B, ( x- x)= 4

Đen ta lơn hơn hoặc bằng không

Theo định lý vi ét x+x= 2( m+1)

x.= 2m +3

vì PT có hai nghiệm thỏa mãn (x-x)=4

x-2x.x + x=4 (x+x)- 4x.x=44(m+1)- 4(2m+3)=4

Cho ph­­¬ng tr×nh: (m² + 2m + 2)x² – (m² – 2m + 2)x – 1 = 0

Gäi x₁, x₂ lµ hai nghiÖm cña ph­­¬ng tr×nh ®· cho.

1. 
   T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó : x₁² + x₂² = 2x₁x₂(2x₁x₂ – 1)
   
2. 
   T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = x₁ + x₂
   

1. 
   dÔ cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
   

2. 
   S =.
   

a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.

b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x₁; x₂ tho¶ m·n =50

giải: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

a,Ph­¬ng tr×nh ct² + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t₁ vµ t₂.

b,Chøng minh: x₁ + x₂ + t₁ + t₂ 4

giải : a. V× x₁ lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ax² + bx + c = 0 nªn ax₁² + bx₁ + c =0. .

V× x₁> 0 => c. Chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: ct² + bt + a = 0; t₁ = V× x₂ lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

ax² + bx + c = 0 => ax₂² + bx₂ + c =0

v× x₂> 0 nªn c. ®iÒu nµy chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ct² + bt + a = 0 ; t₂ =

VËy nÕu ph­¬ng tr×nh: ax² + bx + c =0 cã hai nghiÑm d­¬ng ph©n biÖt x₁; x₂ th× ph­¬ng tr×nh : ct² + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t₁ ; t₂ . t₁ = ; t₂ =

b. Do x₁; x₁; t₁; t₂ ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d­¬ng nªn

t₁+ x₁ = + x₁ 2 t₂ + x₂ = + x₂ 2

Do ®ã x₁ + x₂ + t₁ + t₂ 4

 m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)

Vậy m = 0.

Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó ta có S = và P = x₁x₂ = –1.

Do đó  S² – 3P = 7  (2m)² + 3 = 7  m² = 1  m =  1.

Vậy m thoả yêu cầu bài toán  m =  1.

Bài 27:

a) Cho phương trình x² – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂. Tính giá trị của biểu thức

S = + .

Giải:

a) Tính được x₁ + x₂ = 2 và x₁.x₂ = – 1.

Biến đổi:

S = = = – 6.

Cho phương trình ẩn x: x⁴ – 2mx² + m² – 3 = 0

a) Giải phương trình với m = .

b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

a) khi m = ,phương trình : x⁴ – 2mx² + m² – 3 = 0 trở thành:

x⁴ - 2x = 0 x² (x² - 2) = 0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :

x₁ = 0 , x₂ = x₃ = -

b) Đặt t = x² , điều kiện t 0 .Phương trình đã cho trở thành:

t² – 2mt + m² – 3 = 0 (1)

Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

*)Phương trình (1) nhận t = 0 là nghiệm m² – 3 = 0 m =

+)Khi m = , phương trình (1) trở thành: t² - t = 0

v ậy m = ,là giá trị cần tìm

+)Khi m = - , phương trình (1) trở thành : t² + 2t = 0

(không thích hợp)

Vậy m = - không thoả mãn loaị

Tãm l¹i ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt m =

Vậy hệ có nghiệm là :

Tìm giá trị của a để phương trình :

(a² – a – 3)x² + (a + 2)x – 3a² = 0

nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình?

Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:

x₂ =

+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là

x₂ = -2

+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là

x₂ = -

Bµi 30:

Cho phương trình : x² – 2mx + m² - = 0 (1)

1. 
   Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
   
2. 
   Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3
   

Câu a)

=> x₁ = x₂ hoặc x₁ = - x₂

a) Nếu x₁ = x₂ => = 0 => = = 0 (vô lý)

b) Nếu x₁ = - x₂ => x₁ + x₂ = 0 => 2m = 0 => m = 0

=> phương trình đã cho trở thành : x² - = 0 x =

=> phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau

=> m = 0 là giá trị cần tìm

Câu b)

=> x₁ > 0 ; x₂ > 0 và x₁² + x₂² = 9

Cho phương trình: _ (x là ẩn số)

a) Giải phương trình khi a=1

b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm _. Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của:

Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:



a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:







b) Mỗi phương trình _, _ có nhiều nhất là 2 nghiệm. Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0. Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

_

*Với _ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:



Như thế:





Tuy nhiên _ và không đạt được giá trị _ nên S không có giá trị lớn nhất!

a. Chứng minh rằng PT cã nghiÖm víi mäi k .

b. T×m k ®Ó A = x -2x- 2xcã gi¸ trÞ b»ng 6

a. TÝnh = k-4k + 5 = ( k -2 ) + 1 > 0 víi mäi k

b . Theo hÖ thøc Viet cã x + x=2 ( k-1)= 2k -2

x x = 2k -5

A= (x+ x)- 2xx- 2 (x+ x)

= ( 2k – 2 )- 2( 2k -5) – 2( 2k – 2)

= 4k-16k + 18

KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0)