Một số bài tập lương giác khó Bài 1 : Chứng minh



tải về 54.26 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu23.08.2016
Kích54.26 Kb.
Một số bài tập lương giác khó

Bài 1 : Chứng minh :

( cos 7r + cos 5r )(2 cos 4r +1 ) = -1

11 11 11 2

Gỉai

1/ Bài toán phụ : ta luôn luôn có :


cos r + cos 3r + cos 5r + cos7r + cos 9r = 1

11 11 11 11 11 2

Gỉai bài toán phụ : Đặt A= cos r + cos 3r + cos 5r + cos 7r + cos 9r = 1

11 11 11 11 11 2

Ta có : A .sin r = cos r . sin r + cos 3r . sin r + cos 5r . sin r + cos 7r. sin r + cos 9r .sinr

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

= 1sin 2r + 1 (sin 4r –sìn 2r )+ 1 (sin 6r -sin 4r) +1 (sin8r- sin 6r)

2 11 2 11 11 2 11 11 2 11 11

+ 1 ( sin 10 r - sin 8r ) = 1 . sin 10 r = 1 . sin r => A = 1

2 11 11 2 11 2 11 2

Áp dụng bài toán phụ ,ta có :

Cos r + cos 3r + cos 5r + cos 7r + cos 9r + cos 11r = -1

11 11 11 11 11 11 2

=> 2cos 2r .cos r + 2cos 6r . cos r + 2cos10r .cos r = -1

11 11 11 11 11 11 2

=> 2cos r ( cos 2r + cos 10r + cos 6r ) = -1

11 11 11 11 2

=> 2cos r [ 2 (cos 6r.cos 4r ) + cos 6r ] = -1

11 11 11 11 2

=> 2cos r . cos 6r ( 2cos 4r + 1) = -1

11 11 11 2

=> 1. ( cos 7r + cos 5r) ( 2 cos 4r + 1 ) = -1. ( ĐPCM)

11 11 11 2

Bài 2 : Chứng minh công thức phức tạp của lượng giác :

Sin10 x + cos10x = 63 + 15 .cos 4x + . 5 .cos 8x

128 32 128

Gỉai

Ta luôn luôn có : sin4x+cos4x = 1 -2sin2x.cos2x



Sin6x +cos6x = 1 – 3sin2x.cos2x ( Đề nghị các bạn tự chứng minh )

Ta cần có vài phép biến đổi cụ thể :

Sin8x + cos8x = ( sin8x+cos8x) ( cos2x + sin2x ) = sin10x + cos10x + sin2x.cos2x (sin6x+cos6x) => sin10x+cos10x = sin8x+cos8x – sin2x.cos2x( sin6x+cos6x)

=>sin10x+ cos10x = ( sin4x+cos4x )2 – 2sin4x.cos4x –sin2x.cos2x ( sin6x+cos6x)

= ( 1-2sin2x.cos2x)2 -2sin4x.cos4x –sin2x.cos2x( 1-3sin2x.cos2x)

= 1-4sin2x.cos2x+4 sin4xcos4x -2 sin4x.cos4x– sin2x.cos2x+ 3sin4x.cos4x

=1 + 5sin4x.cos4x – 5 sin2x.cos2x ( *)

Ta có : sin2x.cos2x = sin22x = ( 1 - cos 4x)

4 8

Sin4x.cos4x = sin4 2x = (1-cos4x)2 = 1 – 2cos4x + cos24x = 1-2cos4x+(1+cos8x)



16 . 2 . 64 . 2 .

16 64


=2 – 2cos4x+1+ cos8x = 3 + cos8x – 2cos4x

  1. 128

Do đó : (*)  sin10x +cos10x = 1+ 15 + 5cos8x -10cos4x - 5 – 5cos4x

128 8


= 63 + 15 .cos4x + . 5 .cos 8x ( ĐPCM )

128 32 128

Bài 3 : Cho sinx+ cosx = m .Tính sin7x + cos7x theo m

Gỉai


Ta có : ( sin4x+cos4x)(sin3x+cos3x) = sin7x+cos7x + sin3x.cos3x ( sinx+cosx)

sin7x + cos7x = ( sin4x+cos4x)(sin3x+cos3x) – sin3x.cos3x ( sinx+cosx)

Ta có : sinx+ cosx =m => 1 + 2 sinx.cosx = m2 => sinx.cosx = m2 -1

2

Sin4x+cos4x = 1- 2sin2x.cos2x = 1 – 2 ( m2 -1)2 = 2 – m4+2m2 -1 = 2m2 + m4 -1



2 2 2

Sin3x+cos3x = (sinx+cosx)(1 – sinx.cosx) = m ( 1 – m2 -1) = m ( 3-m2 )

2 2

Do đó : sin7x+cos7x = ( 2m2+m4-1 )(3-m2).m - (m2- 1)3.m



2 2 2

=2 ( 2m2 +m4-1)(3-m2) –m(m2-1)3 =2m ( 6m2+3m4 -3 -2m4 –m6+m2)-m(m6-3m4+3m2-1)



  1. 8

=12m3+ 6m5-6m – 4m5 -2m7 +2m3 – m7+3m5-3m3+m

8

= -3m7 + 5m5+11m3 -5m ( Đây là đáp số cuối cùng )



8

Bài 4 : Thành lập công thức nhân 5 đối với sin

Áp dụng : cho sinx = 1/3 .Tính sin 5x

Gỉai


Ta có : sin 5x =sin(3x+2x) =sỉn3x.cos2x+cos3x.sìn2x

=(3sinx -4sin3x)(1-2sin2x) + ( 4cos3x – 3cosx)2sinx.cosx (*)

Ta lại có : sin2x = 1-cos2x  sin4x = (1-cos2x)2 = 1-2cos2x+cos4x

=>cos4x = sin4x + 2cos2x -1 = sin4x + 2(1 –sin2x) -1 = sin4x -2sin2x+1

Do đó (*) sin5x = 3sinx – 4sin3x -6sin3x+8sin5x +8sinx.cos4x – 6sinx.cos2x

=3sinx-4sin3x-6sin3x+8sin5x +8sinx( sin4x-2sin2x+1) – 6sinx(1-sin2x)

=16sin5x -20 sin3x+5sinx

Đến đây thế số vào tính là ta có kết quả

Bài 5 : Chứng minh công thức lượng giác sau:

Bẳng cách đặt a = sin3x ,b=sin5x

Chứng minh :sìn10x.cos5x =16a4-16a3b+16a2b2-16ab3+16b4-20a2-20b2+20ab+5

Sỉn4x.cosx

Gỉai

Áp dụng công thức nhân 5 ờ bài 4 :



Sin5x =16sin5x -20sin3x+5sinx

Ta có : sin15x =16sin53x-20sin33x+5sin3x

Sin25x=16sin55x-20sin35x+5sin5x

=>sin15x+sịn5x= 16sin53x-20sin33x+5sin3x +16sin55x-20sin35x+5sin5x

=> 2sin10x.cos5x = 16(sin53x+sin55x)-20 ( sin33x+sin35x)+5(sỉnx+sịnx)

=16(a5+b5) -20 (a3+b3) +5 (a+b) (*)

Áp dụng hằng đẳng thức : a5+b5= (a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

A3+b3 = (a+b)(a2+b2-ab)

Ta có : (*) 2sin10x.cos5x =16(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) -20 (a+b)(a2+b2-ab) + 5(a+b) = (a+b)(16a4-16a3b+16a2b2-16ab3+16b4-20a2-20b2+20ab+5)

=>2sin10x.cos5x = 2sĩn4x.cosx(16a4-16a3b+16a2b2-16ab3+16b4-20a2-20b2+20ab+5)

=> sin10x.cos5x = 16a4-16a3b+16a2b2-16ab3+16b4-20a2-20b2+20ab+5 (ĐPCM)

Sin4x.cos4x

Nhận xét : Đây là 1 bài toán khó ,đòi hỏi nhiều kĩ năng biến đổi

Bài 6 : Định m đẻ giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

1/cos2x – msin2x+3cos2x

2/sin6x+cos6x+m(sin4x+cos4x)+2sin22x

Gỉai

Ta biến đổi : cos2x –msin2x + 3cos2x = 2cos2x-1 –m(1-cos2x) +3cos2x



= -m +(5+m).cos2x -1

Để biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x => 5+m=0 => m=-5

2 / Ta có : sin6x+cos6x+m(sin4x+cos4x)+2sin22x = 1-3sin2x.cos2x+m(1-2sin2x.cos2x)

+8sin2x.cos2x = ( -3-2m+8)sin2x.cos2x +1+m

Ta phải có : 5 -2m= 0 => m=5/2

Ghi chú : đối với loại bài tập trên ý nghĩa của bài toán là ta tìm các giả trị của m để sau khi rút gọn ta chỉ còn số chứ không còn biến x

Bải 7 : Thành lập công thức nhan 5 với cos

Giải


Ta có : cos5x =cos(2x+3x)=cos2x.cos3x-sin2x.sin3x

=(2cos2x-1)(4cos3x-3cosx)- 2sinx.cosx( 3sinx – 4sin3x)

= ( 2cos2x-1)(4cos3x-3cosx) – 2sin2x.cosx + 8sin4x.cosx

Theo như trên ta đã chứng minh được : sin4x = 1-2cos2x+cos4x

: cos5x = 8cos5x – 6cos3x -4cos3x+3cosx-6cosx ( 1-cos2x) + 8cosx( 1-2cos2x+cos4x)

=16cos5x – 20cos3x + 5cosx

Bài 8 : Cho cosx = 1/3 .Tính cos10x

Gỉai


Ta có : cos10x=2cos25x -1 = 2( 16cos5x -24cos3x+9cosx)2 – 1

=2[16. 1 -20. 1 +. 1 .5]2 -1 = -0.97

243 27 9

Nhận xét : Nhờ công thức nhân 5 mới vừa thành lập mà ta ra kết quả khá đẹp , nếu ta đổi sang tính sin sẽ phức tạp hơn vì chưa biết dâu + hoặc – của sin

Bài này hay ở chỗ nhiều học sinh sẽ tỏ ro lúng túng khi thấy hàm bậc cao như vậy

Nhận xét : Ta đã thành lập công thức nhân 5 với sin và cos ,thế còn công thức nhân 4 ?

Bài 9 : Thành lập công thức nhân 4 với sin và cos

Gỉai


Ta có : sin4x=2sin2x.cos2x = 2sin2x ( 1-2sin2x) = 2sin2x – 4sin2x.sìn2x

= 4sinx.cosx – 8sin3x.cosx

Công thức này không được tổng quát vì công thức nhân 2 cũng bị dính cos

Cos4x = 2cos22x -1 = 2(2cos2x -1)2 -1 = 8cos4x – 8cos2x +1

Bài 10 : Hãy rút gọn các biểu thức sau :

Sin4 r + cos4 r

12 12

Gỉai


Nếu áp dụng công thức sin4x + cos4x = 1-2sin2x.cos2x thì sẽ không cho ta kết quả trực tiếp mà ta muốn vậy ta cần biến đổi tí xíu

Từ trên ta có : sin4x+cos4x = 1-2sin2x.cos2x = 1 –sin22x = 1 - (1-cos4x) = 3cos4x

2 . 2 . 4 4

2

=Do đó : sin4 r + cos4 r = 3 – cos r/3 = 3 – ½ = 5



12 12 4 4 8

Bài 11 : Cho biết và (02-1).Tính sin5x+cos5x theo m

Gỉai

Theo công thức nhân 3 ta có : sin3x = 3sinx – 4sin3x



Cos3x=4cos3x-3cosx

=>sin3x = 3sinx- sin3x và cos3x = cos3x+3cosx

4 4

=>sin3x.cos3x = (3sinx – sin3x)(cos3x+3cosx)



16

=>2sin32x = 3sinx.cos3x+9sinx.cosx –sỉn3x.cos3x – 3cosx.sỉn3x


=>2sin32x = 3sinx.cos3x +9 sin2x – sin6x -3cosx.sin3x

2 2


=>4sin32x=6sinx.cos3x +9sin2x – sin6x – 6cosx.sỉn3x

=>sin2x ( 4 sin22x – 9) = 6sinx ( 4cos3x-3cosx) – 6cosx ( 3sinx – 4sin3x)-sin6x

=> -sin22x(4cos22x+5) = 24sinx.cosx ( sin2x+ cos2x) - 36sinx.cosx-sin6x

=>-16sin24x – 5sin22x = 24sinx.cosx. – 36sinx.cosx –sin6x=-12sinx.cosx – sin6x

=>8 (1-cos8x) + 5( 1-cos4x) = 12sinx.cosx +sin6x

2

=>16 -16cos8x +5 – 5cos4x = 24sinx.cosx +2sin6x



=> 21 -16cos8x-5cos4x = 24sinx.cosx +2sin6x

=> sinx.cosx = 21-16cos8x –5cos4x -2sin6x = 12(m2 -1)= m2 - 1

24 24 2

Ta có : (sinx+cosx)2 = 1 + 2sinx.cosx = m2



Do 0 sinx+cosx > 0 => chọn sinx+cosx=m

Đến đây ta thực hiện tương tự như bài 3 :

Sin3x+cos3x= (sin3x+cos3x)(sin2x+cos2x) = sin5x+cos5x+sin2x.cos2x ( sinx+cosx)

=>sin5x+cos5x = sin3x+cos3x –sin2x.cos2x (sinx +cosx)

=(sinx+cosx)(1 – sinx.cosx) – sin2x.cos2x ( sinx+cosx)

=(sinx+cosx)(1-sinx.cosx –sin2x.cos2x)

=m[1- m2 -1 - (m2 – 1)2 ]

2 2


= m [4 -2m2+2 – m4 +2m2 -1 ] = m ( m4 +5)

4 4


NHận xét : Đây là 1 bài toán khó

Bài 12 :Cho cosx = a .Tính tan9x . tanx theo a

2 2

Gỉai


Áp dụng công thức nhân 4 và nhân 5 với cos đã chứng minh ở các câu trên

Cos4x =8cos4x -8cos2x+1

Cos5x =16cos5x -20cos3x+5cosx

=>cos4x+cos5x = 16a5+8a4-20a3-8a2+5a+1

=>2cos 9x .cosx =16a5+8a4-20a3-8a2+5a+1 (1)

2 2


Mặt khác ta lại có : 2sin9x .sinx = cos4x – cos5x = 8a4-8a2+5cosx-16a5-8a4+20a3-5a-1

2 2


=> tan 9x .tanx =-16a5-8a4+20a3-8a2+5a-1

2 2 16a5+8a4-20a3-8a2+5a+1

Nhận xét : Đây là 1 bài toán khá thú vị

Bài 13 : Chứng minh rằng trong 1 tam giác ta luôn có

1/Sina.sinb.sinc = sina.cosb.cosc +sinb.cosa.cosc+sinc.cosa.cosb

2Trong 1 tứ giác lồi không lõm ta có :

sina.cosb.sinc.sind+cosa.sinb.sinb.sind+sina.sinb.sinc.cosd+sina.sinb.cosc.sind =

sina.cosb.cosc.cosd +cosa.sinb.cosc.cosd+cosa.cosb.sinc.sind+cosa.cosb.cosc.sind

Gỉai

Ta có : sin [(a+b)+c] = sin (a+b).cosc + cos(a+b).sinc


= (sina.cosb+cosasinb).cosc + sinc (cosa.cosb – sina.sinb)

=sina.cosb.cosc+sinb.cosa.cosc+sinc.cosa.cosb – sina.sinb.sinc (1)

Sin [(a+b)+(c+d)] = sin(a+b)cos(c+d) + cos(a+b).sin(c+d)

(sin a.cosb+cosa.sinb)(cosc.cosd-sinc.sind)+(cosa.cosb –sina.sinb)(sinc.cosd+cosc.sind)

=sina.cosb.cosc.cosd-sina.cosb.sinc.sind +cosa.sinb.cosc.cosd – cosa.sinb.sinc.sind

+ cosa.cosb.sinc.sind+cosa.cosb.cosc.sind-sina.sinb.sinc.cosd- sina.sinb.cosc.sind (2)

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Từ 1 ta có : sin (a+b+c) = sin r =0

Từ 2 ,ta có sin (a+b+c+d) =sin2r =0

Chuyển vế ta có điều phải chứng minh

Bài 14 :Chứng minh rằng trong 1 tam giác ta có :

5sin2A.sin2B.sin2C-cos2A.cos2B.cos2C= sin2A.sin2B+sin2B.sin2C+sin2C.sin2A+2cosA.cosB.cosC+1

Gỉai

Bổ đề : Ta cần có 3 bổ đề phụ :



Trong 1 tam giác ta luôn có :

1/ cota+cotb+cotc = sin2A+sin2B+sin2C

2sinA.sinB.sinC

2/ cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA = 1

3/sin2A+sin2B+sin2C = 2 (1+cosA.cosB.cosC)

Chứng minh bổ đế 1 : TA luôn có trong 1 tam giác

cosA = b2+c2-a2 (1) S=bc.sinA => sinA = 2S (2)

2bc 2 bc


=>từ (1)và (2) suy ra cotA =cosA = b2+c2-a2

sinA 4S


Tương tự ,ta có : cotb = a2+c2 – b2 cotC = a2+b2 – c2

4S 4S


Cộng vế theo vế : ta có : cotA+cotB+cotC = a2+b2+c2 = R (a2+b2+c2)

4S abc

= R .(4R2.sin2A+4R2.sin2B+4R2.sin2C)=4R3(sin2A+sin2B+sin2C)=sin2A+sin2B+sin2C

2R.sinA.2R.sinB.2R.sinC 8R3.sinA.sinB.sinC 2sinA.sinB.sinC

Chứng minh bổ đề 2 : Ta có : A+B+C= r

=>A+ B = r –C => cot (A+B) = cot (r-C) = -cotC

=> cotA.cotB -1 = - cotC

cotB+cotA


  • cotA.cotB -1 = -cotB.cotC –cotA.cotC => cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA = 1

Chứng minh bổ đề 3 ta có :

Sin2A+sin2B+sin2C = 1- cos2A + 1-cos2B+sin2C

2

= 1 -1 ( cos2A+cos2B) + sin2C ( r –[A+B])



2

=1 – cos (A+B).cos(A-B) +sin2 (A+B)

=1 –cos (A+B).cos (A-B) + 1 –cos2 (A+B)

= 2 –cos(A+B)[cos(A-B) – cos(A+B)]

=2 – 2cos [r – C] .cosA . cos (-B) = 2 + 2cosC.cosA.cosB (DPCM)

Áp dụng 3 bổ đề : TA có :

(cotA+ cotB+cotC)2 = cot2A+cot2B+cot2C + 2cotA.cotB+2cotB.cotC+2cotC.cotA

= 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 +2 = 5 - 1 - 1 - 1

Sin2A sin2B sin2C sin2A sin2B sin2C

Mặt khác : (cotA+cotB+cotC)2 = (sin2A+sin2B+sin2C)2 = ( 2 + 2cosA.cosB.cosC)2

4sin2A.sin2B.sin2C 4sin2A.sin2B.sin2C

=> 4+8cosA.cosB.cosC+4cos2A.cos2B .cos2C + 1 + 1 + 1 = 5

4sin2A.sin2B.sin2C sin2A sin2B sin2C

=>4+8cosA.cosB.cosC+4cos2A.cos2B.cos2C +4sin2A.sin2B+4sin2B.sin2C+4sin2C.sin2A=

20sin2A.sin2B.sin2C=>5sin2A.sin2B.sin2C –cos2A.cos2B.cos2C

= 2cosA.cosB.cosC +sin2A.sin2B+sin2B.sin2C+sin2C.sin2A +1 (ĐPCM )

Nhận xét : Đây là 1 bài toán đòi hỏi biến đổi phức tạp

Bài 15: Tìm m và n nguyên thõa mãn hệ sau :

Sin2x+cos4x = m (1)

Cos2x+sin4x=n (2)

Gỉai

Xét hệ lấy (2) – (1) vế theo vế ta có :



Cos2x –sin2x +sin4x –cos4x = n-m

=>cos2x-sin2x + (sin2x+cos2x)(sin2x –cos2x) = n-m

=> 0 = m-n => m=n

Xét hệ trên lấy (1) nhân vời (2) ,ta có :

mn = (sin2x+cos4x)(cos2x+sin4x) = sin2x.cos2x+sin6x +cos6x +cos4x.sin4x

=sin2x.cos2x + 1-3sin2x.cos2x +cos4x.cos4x = 1 +cos4x.cos4x -2sin2x.cos2x

= (sin2x.cos2x-1)2 =mn =m2

=> sin2x.cos2x =m +1

Sin2x.cos2x = 1-m

Lấy (1+2) sin2x+cos2x +cos4x+sin4x = m+n

=>m+n = 1 + 1 – 2sin2x.cos2x = 2 -2sin2x.cos2x

=>sin2x.cos2x = 2 –m-n = 2 -2m = 1 - m

2 2 2

Xét trường hợp nếu 1-m =m+1 => m = -1 (loại)



2 3

Nếu 1-m = 1-m => m= 1 (nhận)





Chọn m=1 ta có n =1

Kiểm tra lại nghiệm nếu m =1 => sin2x.cos2x=0 ( tồn tại góc x thỏa mãn)

Bài 16 : CHứng minh rằng không tồn tại góc x làm cho giá trị thức A lớn hơn 15

A =cosx ( 20cos2x -3) -5cos3x

Gỉai

Ta có : cos5x=cos3x.cos2x =( cos3x+3cosx)(1+cos2x)



4 2

=>8cos5x = cos3x +cos3x.cos2x+3cosx + 3cosx.cos2x

Nhưng theo công thức nhân 5 của cos ,ta lại có :

Cos5x =16cos5x – 20cos3x + 5cosx

=>8cos5x = cos5x+20cos3x -5cosx

2


  • cos5x+20cos3x -5cosx = 2cos3x+2cos3x.cos2x+6cosx +6cosx.cos2x

= 2cos3x + cos5x +cosx+6cosx + 3cos3x + 3cosx

=> cosx (20cos2x -3) -5cos3x = 15cosx



Ta thấy cosx nằm trong khỏng [1;-1] nên 15cosx nằm trong khoảng [-15;15]

=> A cũng nằm trong khoảng [-15;15] nên A không thể lớn hơn 15




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương