1. Teylor formulasi. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi
tải về 10.5 Kb.
|
- Điều hướng trang này:
- 4. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi tushunchalar.
- 3.2. Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi.
- 3.3. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi.
- Eyler almashtirishlari
|
Reja teylor formulasi 3-Mavzu: Teylor formulasi. Ba’zi-bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulasi. REJA 1. Teylor formulasi. 2.Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. 3. Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi. 4. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi tushunchalar. Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. 3.1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini f(x0)=f’(x0)x+o(x), ya’ni f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0) ko‘rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (1) ko‘phad mavjud bo‘lib, xx0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad P1(x0)=f(x0), P1’(x0)=b=f’(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo‘lsa, u holda f(x)=Pn(x)+ o((x-x0)n) (2) shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan Pn(x) ko‘phad mavjudmi?1 Bunday ko‘phadni Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3) ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), Pn’’(x0)=f’’(x0), ..., Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (4) shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz: Pn’(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ ... +nbn(x-x0)n-1, Pn’’(x)=21b2+32b3(x-x0)+ ... +n(n-1)bn(x-x0)n-2, Pn’’’(x)=321b3+ ... +n(n-1)(n-2)bn(x-x0)n-3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Pn(n)(x)=n(n-1)(n-2)...21bn. Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x0 ni qo‘yib barcha b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: Pn(x0)=f(x0)=b0, Pn’(x0)=f’(x0)=b1, Pn’’(x0)=f’’(x0)=21b2=2!b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n(n-1)...21bn=n!bn Bulardan b0=f(x0), b1=f’(x0), b2=f’’(x0), . . ., bn=f(n)(x0) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va Pn(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... +f(n)(x0)(x-x0)n, (5) ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi. Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini Rn(x) orqali belgilaymiz: Rn(x)=f(x)-Pn(x). (4) shartlardan Rn(x0)=Rn’(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 bo‘lishi kelib chiqadi. Endi Rn(x)=o((x-x0)n), ya’ni =0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar xx0 bo‘lsa, ifodaning 0/0 ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda , demak xx0 da Rn(x)=o((x-x0)n) o‘rinli ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: Teorema. Agar y=f(x) funksiya x0 nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda xx0 da quyidagi formula f(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... +f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n) (3.6) o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda Rn(x)=o((x-x0)n) Peano ko‘rinishidagi qoldiq had deyiladi. Agar (6) formulada x0=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo‘ladi: f(x)=f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... +f(n)(0)xn+o(xn). (7) Bu formula Makloren formulasi deb ataladi. 3.2. Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasi Rn(x) qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz. Qaralayotgan f(x) funksiya x0 nuqta atrofida n+1 –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi g(x)=(x-x0)n+1 funksiyani kiritamiz. Ravshanki, g(x0)=g’(x0)=...= g(n)(x0)=0; g(n+1)(x0)=(n+1)!0. Ushbu Rn(x)=f(x)-Pn(x) va g(x)=(x-x0)n+1 funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda Rn(x0)= Rn’(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 e’tiborga olib, quyidagini topamiz: bu yerda c1(x0;x); c2(x0;c1); ... ; cn(x0;cn-1); (x0;cn) (x0;x). Shunday qilib, biz (ekanligini ko‘rsatdik, bu yerda x0;x). Endi g(x)=(x-x0)n+1, g(n+1)()=(n+1)!, Rn(n+1)()=f(n+1)() ekanligini e’tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo‘lamiz: Rn(x)=, (x0;x). (8) Bu (8) formulani Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi. Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni Rn(x)= (9) ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu yerda birdan kichik bo‘lgan musbat son, ya’ni 0<<1. Shunday qilib, f(x) funksiyaning Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi kuyidagi shaklda yoziladi: f(x)=f(x0) + f’(x0)(x-x0) + f’’(x0)(x-x0)2 + ... + f(n)(x0)(x-x0)n + , bu yerda (x0;x). Agar x0=0 bo‘lsa, u holda =x0+(x-x0)=x, bu yerda 0<<1, bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi f(x)=f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... +f(n)(0)xn+ (10) shaklida yoziladi. 3.3. Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko‘rinishlariga misol tariqasida Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin.Buning uchunyordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x0;x] segmentda uzluksiz, (x0;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo‘lgan biror (t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llasak, (11) ko‘rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin. Agar (11) formulada (t) funksiya sifatida (t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz: MAVZU:OSTROGRADSKIY METODI REJA: Ostrogradskiy metodi haqida. 2.Ostragradskiy metodinining integrallarga tadbiqi. va ikkinchi turdagi barcha kasrlarning integrallari quyidagi shaklda ifodalanadi: Ushbu barcha natijalarni birlashtirgandan so'ng (jamlash) biz shaklning tengligini olamiz: bu yerda integralning ratsional qismi P 1 (x): Q 1 (x) yuqorida olingan ratsional qismlarni qo‘shish orqali olinadi va maxrajli oddiy kasrdir. Kasr P 2 (x): Q 2 (x) integral belgisi ostida qolgan, shakldagi kasrlarni qo'shishdan olinadi. va shuning uchun ham bir nechta omillarga (ildizlarga) ega bo'lmagan maxraj bilan ham to'g'ri bo'ladi , ya'ni bu Q 2 (x) maxraji dastlabki kasrning Q (x) maxraji kabi barcha bir xil omillarni (ildizlarni) o'z ichiga oladi, lekin faqat. birinchi darajada. Shubhasiz, Ostrogradskiy integral hisoblash usullaridan foydalanmasdan, sof algebraik usulda muntazam ratsional kasrlar integrallarining P 1 (x): Q 1 (x) ratsional qismini ajratish usulini topdi . Avvalo, Q (x) funksiya va uning hosilasi Q '(x) ning umumiy eng katta bo'luvchisi sifatida Q 1 (x) ni topamiz (masalan, Evklid algoritmidan foydalangan holda); belgilab Q 1 (x) , biz topish Q 2 (x) : = Q (x) Q 1 (x) . Shundan so'ng, Ostrogradskiy tengligida (formula) ikkita P 1 (x) va P 2 polinomini aniqlash qoladi.(x) . Istalgan darajali ko'phadlar P 1 (x) va F 2 (x) mos ravishda Q 1 (x) va < Q 2 (x) polinomlarining pastki darajalarini topdi . keyin ularni aniqlanmagan koeffitsientlar bilan Ostrogradskiy tengligiga yozamiz va keyin bu tenglikning ikkala tomonini farqlab, biz quyidagi o'ziga xoslikni olamiz: Umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, ushbu o'xshashlikning chap va o'ng tomonlari sonidagi x ning bir xil darajalaridagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirgandan so'ng, biz P 1 (x) kerakli polinomlarning aniqlanmagan koeffitsientlari uchun tenglamalar tizimini olamiz. ) va P 2 (x) . Ushbu tizimni yechish orqali biz noma'lum koeffitsientlarni topamiz (demak, ko'phadlarning o'zi ham). Endi, dastlab oldindan aniqlangan F (x) kasrning integralini olish uchun: Q (x) F 2 (x) : < Q 2 (x) kasr ustida integrallanadi , u allaqachon transsendental funktsiyalar (logarifmlar va arktangentlar) orqali ifodalangan. . Demak, Ostrogradskiy tengligida (formulada) bizda: P (x): Q (x), P1 (x) : Q1 (x) va F 2 (x) (x): < Q 2 (x) - to'g'ri ratsional kasr, Q 1 (x) - Q (x) va Q '(x) ning eng katta umumiy bo'luvchisi. ), va Q 2 (x) = Q (x): Q1 (x). P 1 (x) va P 2 (x) - aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topilgan ko'phadlar. Biz ba'zi ratsional kasrlarni integrallash ko'pincha zerikarli ekanligini ko'rdik. Ostrogradskiy usuli bu fraksiyalarning integrallashini ancha qisqartiradi va soddalashtiradi, bu esa bu usulni qimmatli qiladi. Ushbu usul quyidagi Ostrogradskiy formulasiga asoslanadi: , To'g'ri qaytarilmas ratsional kasr qayerda ; - hosilasining ko'phadning umumiy eng katta bo'luvchisi ; - bo'linish bo'linma tomonidan ; - har birining darajasi mos keladigan maxrajdan kamida bitta past bo'lgan noma'lum ko'phadlar; bu holda integralning ratsional qismi deyiladi. Muntazam ratsional kasrlarni integrallash Ostrogradskiy usuli yordamida amalda qanday amalga oshirilganligini biz misol bilan ko'rsatamiz: 6.6.60-misol. ; Biz Ostrogradskiy usulini qo'llaymiz. Bu yerda ; Shuning uchun eng katta umumiy omil: va bo'ladi ; Keyin ; Shunday qilib, Ostrogradskiy formulasiga ko'ra, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: bu yerda va eng ko'p ikki darajali ko'phaddir. Keling, ularni aniqlanmagan koeffitsient bilan yozamiz Ushbu tenglikning ikkala tomonini farqlab, biz quyidagilarni topamiz: ; O'zimizni maxrajdan ozod qilib, biz o'ziga xoslikni olamiz: ... Ushbu o'ziga xoslikning o'ng va chap tomonidagi x ning bir xil darajadagi koeffitsientlarini tenglashtirib, biz tenglamalar tizimini olamiz: Uni hal qilib, biz topamiz: , , , , ... Shuning uchun ... ; ; va hokazo. Eyler almashtirishlari Shaklning integrallari Qaerda nisbatan ratsional va funktsiya; ; Eyler almashtirishlari deb ataladigan maxsus ratsionalizator almashtirishlar yordamida hisoblash mumkin. Umuman olganda, ushbu turdagi integrallarni hisoblash uchun juda ko'p turli xil usullar mavjud, masalan, yuqorida muhokama qilingan trigonometrik almashtirishlar va boshqalar. http://fayllar.org tải về 10.5 Kb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|