Phương trình lượng giác cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A.Phương trình lượng giác cơ bản :

1. sinx = sina 2. cosx = cosa

3. tanx = tana

Chú ý : sinx = 0 ; cosx = 0

Bài tập :

1. Giải các phương trình sau :

a. cos⁴x + sin⁴x = b. ( sinx + cosx)² = 1 +

c. 8cos³xsinx – 8sin³xcosx = 1 d. ( sinx – cosx)² = 1

2. Giải các phương trình sau :

a. sinx + sin2x + sin3x = 0 b. cosx – 2cos2x + cos3x = 0

c. 4cos3xcosx – 2cos2x = d. 2sinxsin3x + sin=1

B. Phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng : asin²x +bsinx + c = 0 , acos²x +bcosx + c = 0 , atan²x + btanx +c = 0

Cách giải : Đặt t = sinx , cosx ( -1 t 1) hoặc t = tan x

Bài tập :

1.Giải các phương trình sau :

a.2cos²x – sinx – 1 = 0 b. 2sin²2x – cos2x – 1 = 0

c.cos2x + 9cosx +5 = 0 d.cos4x +7sin2x – 6 = 0

e. cos6x – 7cos3x + 4 = 0 f. cos4x +2cos2x – 3 = 0

2. Giải các phương trình lượng giác sau

a. 4sin⁴x +12cos²x = 7 b.2cos⁴x + 3sin²x – 2 = 0

c. 2sin⁴x = cos2x + 3 d. 4sin⁴x + 3cos2x = 1

3. Giải các phương trình lượng giác sau :

a. 2cos²2x + 6sin²x – 1 =0 b. 2cos²2x – 6cos²x + 5 = 0

c. sin3xsinx + cos2x – 1 = 0 d.. cos4x + 14cos²x – 3 = 0

e..cos3xcosx – 2cos2x +1 = 0

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx :

Cách giải : Chia vế cho . Khi đó ( 1) sin(x+) =

Bài tập:

a. sinx +cosx = 2 b.cos2x +sin2x = 1

c. cos4x – (sin2x +cos2x)² = 0 d. 2cos²x + sin2x = 3

2. Giải các phương trình sau :

c. 2cos6x +2cos4x - cos2x = sin2x + d. (2cos²x +cosx – 2 ) + (3 – 2cosx)sinx = 0

e. 2cos²x +2sinxcosx + 1 = 3sinx +3cosx

3. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx :

Bài tập :

1. Giải các phương trình sau :

a. sin² x – (+1)sinxcosx + cos²x = 0 b. 2sin²2x + 3sin4x – 8cos²2x = 0

2. Giải các phương trình sau :

a. 6sin²x +sinxcosx – cos²x = 3 b. 2cos³x +sinx – 3sin²xcosx = 0

c.sin²x + sinxcosx + 2cos²x = 1 d. (+1)sin²x - sinxcosx = 1

C. Các phương trình lượng giác khác

Phương pháp chung : các bài tóan giải phương trình lượng giác trong các đề thi tuyển sinh ta hay gặp cách giải là : biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số bằng 0 , từ đó có các nhân tử bằng 0 , mỗi nhân tử có thể là phương trình lượng giác cơ bản hay phương trình lượng giác thường gặp ở trên.

Ví dụ 1.Giải các phương trình sau

1. (2sinx – 1)(2sin2x +1) = 3 – 4cos²x

Giải :

a. 2sinx – 1 = 0 ( giải tiếp)

b.2sin2x + 1 = 2sinx + 1 sin2x = sinx 2sinxcosx – sinx = 0 sinx(2cosx – 1) = 0 (giải tiếp)

Ví dụ 2:Giải phương trình sau :

Giải : đk : 2cosx – 1 0

Ta có (1)

So với điều kiện ta nhận

Ví dụ 3: Giải phương trình sau :sin²3x – cos²4x = sin²5x – cos²6x

Giải : (1)

Bài tập

a. b.. c. tan²x = d. 2cos³x + cos2x + sinx = 0

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

a. cotx – 1 = b.cotx – tanx +4sin2x =

c. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan²x d. (2cosx – 1)(2sinx +cosx) = sin2x – sinx

e. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx f. .

Bài 3 :Giải các phương trình sau :

a.cos2x +cosx (2tan²x – 1) = 2 b.3 – tanx(tanx +2sinx) + 6cosx = 0

c. d.tan⁴x + 1 =

e.tanx +cosx – cos² x = sinx(1+tanx.tan) f.

Bài 4 :Giải các phương trình sau :

a. cotx = tanx + b. cos2x +2sinx – 1 – 2sinxcos2x = 0

f.

Bài 5 :Giải các phương trình sau

a. b. ( khối A-2009)

c. . sinx + cosxsin2x +cos3x = 2(cos4x + sin³x) (khối B-2009)

d.. cos5x – 2sin3x.cos2x – sinx = 0 (khối D -2009)

e. . ( 1+2sinx)² cosx = 1 +sinx +cosx f . 2sin²2x + sin7x – 1 = sinx

g. 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 +2cosx h. sin3x - cos3x = 2sin2x

k. sin³x + cos³x = cos2x(2cosx – sinx)

Bài 6 : Giải các phương trình sau :

a. b .

c. d.