Đề số Thời gian: 150 phút. Bài 1

1. 
   Chứng minh rằng nếu thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta có .
   

2. 
   Giải phương trình
   

KL: Phương trình vô nghiệm.

3. 
   Giải hệ phương trình :
   

Thế vào một trong hai phương trình ta sẽ tìm ra x và y.

1. 
   Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
   

Phương trình có 3 nghiệm khi xảy ra 1 trong hai trường hợp sau:

TH1: 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình có nghiệm kép khác hai nghiệm của phương trình kia.

Để ý phương trình (2) có – 2 < 0 nên ko thể có nghiệm kép.

Phương trình (1) có nghiệm kép khi m = 1, khi đó nghiệm kép là 1 và cũng là nghiệm của (2) (Không thỏa)

TH2: Hai phương trình có hai nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm chung.

Phương trình có nghiệm chung khi m = - 2 và m = 1. Thế trực tiếp vào phương trình thì phương chỉ có 2 nghiệm.

KL: Không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

2. 
   Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa a + b + x + y < 2. Nếu và , chỉ ra rằng a = x, b = y
   

Mà , suy ra

Giả sử . Ta có phương trình

1. 
   Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE không đổi và tính giá trị đó theo R.
   
2. 
   Tìm vị trí của M sao cho khoảng cách từ A đến DE là lớn nhất.
   
3. 
   Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, ADE và AMF thẳng hàng.
   

a) Học sinh tự giải.

b)Vẽ MH vuông góc DE. Gọi M₀ là giao của AO và (O). Vì MF là tiếp tuyến nên F thuộc đoạn AM₀. Từ đó ta có . Dấu “=” xảy ra khi và khi .

c) Chứng minh 3 đường tròn cùng đi qua một điểm khác A. Gọi N là giao điểm của (ADE) và (ABC), ta chứng minh N thuộc (AMF). ( kí hiệu (XYZ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ).

Gọi K là giao điểm của (ADE) và (ABC). Ta chứng minh tứ giác AKMF nội tiếp. Ta có

, suy ra , suy ra KM là phân giác góc .

Từ đó

Từ đó ta có: .

Từ đó ta có tứ giác AKMF là nội tiếp.

Với n = 3, ta chọn 3 điểm là 3 đỉnh của tam giác vuông, n = 3 thỏa đề bài.

Với n = 4, ta chọn 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật, n = 4 thỏa đề bài.

Chứng minh n > 4 thì không tồn tại n điểm thỏa đề bài.

Ta chọn 2 điểm có khoảng cách là lớn nhất là A, B. Khi đó các điểm còn lại cùng với 2 điểm này tạo thành một tam giác vuông nên phải thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó có ít nhất 2 điểm cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB, gọi là C, D. Khi đó tam giác ACD không phải là tam giác vuông. (Vô lý)

Vậy các giá trị của n là 3, 4.