ĐỀ BÀi thu hoạch ở nhà HÀm phứC Đề số: 15 Câu 1

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA ĐỀ BÀI THU HOẠCH Ở NHÀ

- Cho hàm số f(z) xác định trên miền D, f(z) được gọi là khả vi tại điểm nếu tồn tạo giới hạn

và ta nói rằng hàm f có đạo hàm tại điểm , kí hiệu

- Hàm f được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm .

Hàm khả vi tại , nhưng không giải tích tại .

Thật vậy

- Ta có

Tại , ta có

Vậy f khả vi tại .

- Tuy nhiên, lấy sao cho thuộc . Khi đó

còn

tức là f không khả vi tại thuộc .

Vậy f không giải tích tại .

Xét số hạng tổng quát của chuỗi

Do chuỗi hội tụ, suy ra hội tụ.

Vậy hội tụ tuyệt đối với

Bây giờ ta xét chuỗi trong hình tròn

Chuỗi hội tụ (từ chứng minh trên). Vậy theo dấu hiệu Weierstrass chuỗi hội tụ đều trong hình tròn đó.

Theo công thức ta có:

Vậy .

a) b)

a)

Đặt

Đặt

b)

Tính

Đặt

Tính

Đặt

Suy ra

Vậy .

Tìm bán kính hội tụ. Suy ra tập hợp tất cả các điểm z sao cho chuỗi đã cho hội tụ.

Suy ra tập hợp các điểm z sao cho thì chuỗi hội tụ.