TRƯỜng thpt chuyên hùng vưƠng đề đề nghị thi Olympic 30/04 lần thứ 15 khối lớp 10 Câu hỏi 1: ( điểm)

Đề đề nghị thi Olympic 30/04 lần thứ 15 khối lớp 10

Giải hệ phương trình:

Ta có

Đặt . Hệ (*) trở thành

Hệ () có nghiệm khi và chỉ khi .

Với thay vào () ta có . Suy ra .

Với thay vào () ta có . Suy ra .

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1 ;0 ;2) ; (-1 ; 0 ; 2).

Câu hỏi 2: ( ... điểm)Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

.
Đáp án câu 2:

Xét phương trình (*).

Do vai trò bình đẳng của nên có thể giả sử

Từ (*) suy ra .

Từ đó suy ra (1).

Nếu thì .

Suy ra .

Suy ra vô lý vì .

Nếu từ (1) ta có (2).

Mặt khác (3).

Từ (2) và (3) ta có (4).

Nếu thì suy ra mâu thuẫn với (4).

Vậy . Khi đó (4) trở thành (5)

Nếu thì mâu thuẫn với (5).

Vậy .

Nếu thì .

Nếu thì (vì ).

Nếu thì vô lý .

Thử lại thấy (x,y,z,t) bằng (1,1,1,3) và (1,2,3,1) thoả phương trình đã cho.

Hoán vị vai trò của x,y,z ta thu được kết quả phương trình đã cho có 7 nghiệm (1,1,1,3); (1,2,3,1); (1,3,2,1); (2,1,3,1); (2,3,1,1); (3,1,2,1); (3,2,1,1).

Các bộ có 5 số có tổng chia hết cho 3 là : (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5),

(0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6),(0; 3; 4; 5; 6),(1, 2, 3, 4, 5),(1, 2, 4, 5, 6).

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng là 0 hay 5.

Có 4 bộ có đúng một trong hai số 0 hoặc 5 nên có 4.4!=96 số chia hết cho 5.

Có 3 bộ có cả hai số 0 và 5.

Nếu tận cùng là 0 thì có 4!=24 cách chọn số chia hết cho 5.

Nếu tận cùng là 5 thì có 3.3!=18 cách chọn số chia hết cho 5.

Nên có 3(4!+3.3!)=126 số.

Vậy có 96+126=222 số.

.

Suy ra .

Vì nên .

Dođó .

Vậy . Suy ra .

Chứng minh rằng : .

Đặt .

Nếu thì .

Nếu thì đặt ta được .

Xét phương trình

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

hoặc .

Vì nên .

Cho tam giác ABC và các điểm K, L, M lần lượt nằm trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng : Nếu các bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau thì các bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác ấy cũng bằng nhau.

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam ABC.

Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam AKM,BLK,CML.

Ta có KL = 2 sinB A

LM = 2 sinC K

MK = 2 sinA.
B M

L

C

Ta có nên .