Thuyết tưƠng đỐi einstein

Mọi chuyển động cơ học đều là tương đối. Muốn mô tả chuyển động cơ học của một vật ta phải so sánh vị trí vật đó tại mọi thời điểm với vật khác hoặc hệ khác được coi là đứng yên và gọi là hệ quy chiếu.

Cách chọn hệ quy chiếu là hoàn toàn tùy tiện và chỉ phụ thuộc vào sự thuận tiện của việc khảo sát chuyển động. Trong các hệ quy chiếu mà ta chọn, hệ cho phép ta mô tả chuyển động đơn giản nhất trong đại đa số các trường hợp đó là hệ quy chiếu quán tính - một hệ ở rất xa các vật khác và không chịu tác dụng của ngoại lực lên nó - trong các hệ quy chiếu thì định luật của Newton được nghiệm đúng. Các hệ quy chiếu quán tính hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều với nhau .

Một nguyên lý quan trọng trong cơ học Newton là nguyên lý Galileo (Galileo Galilei 1564 – 1642) cũng còn gọi là nguyên lý cổ điển: ”Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính”. Như vậy để mô tả các hiện tượng cơ học mọi hệ quán tính đều có giá trị như nhau. Mọi hệ quán tính đều là bình đẳng không hệ nào ưu tiên hơn .

Nguyên lý tương đối Galileo cũng còn phát biểu một cách khác: “Không thể bằng một thí nghiệm cơ học nào có thể xác định được hệ đang chuyển động quán tính hay đứng yên”.

Nếu ta dùng hệ quy chiếu khác nhau để xét chuyển động của một chất điểm thì tọa độ của chất điểm ở các hệ đó sẽ có giá trị khác nhau. Quy tắc cho phép ta suy ra tọa độ ở hệ này khi biết tọa độ ở hệ khác gọi là phép biến đổi tọa độ. Phép biến đổi tọa độ phù hợp với nguyên lý tương đối Galileo gọi là phép biến đổi Galileo.

t = invar

- Khoảng cách không gian: l = l’ = invar

- Vận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

hệ 0 hệ 0’

v’_x = v_{x -} v

v’_y = v_y

v’_z = v_z

Đây là các công thức cộng vận tốc cổ điển.

- Vận tốc tương đối.

Hai vật chuyển động có vận tốc , trong hệ 0. Trong hệ 0’ hai vật chuyển động có vận tốc ,

Theo định nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 :

Trong hệ 0 là: ; Trong hệ 0’ là:

- = -

=

Vận tốc tương đối là một lượng bất biến.

- Gia tốc: lượng bất biến.

- Tính bất biến của các định luật cơ học:

. Vế trái khối lượng m là một lượng bất biến, gia tốc cũng là một lượng bất biến.

Vậy vế trái là một lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo.

. Vế phải chứa lực F trong cơ học cổ điển ta chỉ biết tới ba loại lực :

. Lực phụ thuộc vào khoảng cách không gian (lực hấp dẫn).

. Lực phụ thuộc vào vận tốc tương đối (lực ma sát).

. Lực phụ thuộc vào thời gian (lực tác dụng lên mặt piston động cơ hơi nước).

Vì khoảng cách không gian, vận tốc tương đối, thời gian đều là những lượng bất biến nên lực trong cơ học cổ điển là một lượng bất biến. Vậy chuyển tọa độ bằng phép biến đổi Galileo nó vẫn giữ nguyên dạng toán học .

Các phương tình Maxwell về sóng điện từ cho thấy ánh sáng truyền theo mọi hướng bất kỳ trong chân không với cùng vận tốc . Đây là vận tốc giới hạn của mọi vận tốc.

Vấn đề đặt ra là ánh sáng lan truyền như thế nào trong một hệ qui chiếu quán tính đang chuyển động so với hệ qui chiếu đứng yên? Nếu ánh sáng truyền từ hệ 0’ dọc theo chiều dương 0x với vận tốc c, đồng thời hệ 0’ cũng đang chuyển động theo chiều dương 0x với vận tốc là u, thì người quan sát tại 0 sẽ thấy ánh sáng truyền đi với vận tốc là:

v = c + u > c ?. Nếu đúng như vậy thì c chưa phải là vận tốc giới hạn?

Cuối thế kỷ XIX đa số các nhà vật lý tin rằng vũ trụ được lấp đầy bởi một môi trường vật chất đặc biệt gọi là ether hỗ trợ cho sự lan truyền của sóng điện từ. Ðiều mà giả thuyết này dựa vào cơ sở là các sóng cơ học đều cần một môi trường trung gian để truyền tương tác. Ánh sáng đi qua ether với tốc độ là c bằng nhau theo mọi hướng.

Thí nghiệm thực hiện bằng giao thoa kế gồm:

M₁ O x

u.t M₁

LASER

M M₂ L ct ct L

M M



N

Hình 2.1
Nguồn đơn sắc laser có bước sóng , bản nửa phản xạ nửa truyền qua M, hai gương phẳng M₁, M₂ cùng đặt trong hệ qui chiếu 0’ (đó là một phòng thí nghiệm di động nằm trong môi trường ether) đang chuyển động với vận tốc u theo chiều dương 0x so với hệ qui chiếu đứng yên 0 – hình 2.1.

Ánh sáng sau khi qua bản M cho một tia phản xạ đến gương M₁ rồi phản xạ trở lại M, truyền qua M để vào kính ngắm N.

Tia khúc xạ sau khi qua bản M đến gương M₂ rồi phản xạ trở lại M, tại M nó phản xạ lần nữa để vào kính ngắm N.

Gọi khoảng cách từ M đến M₁ và M₂ là bằng nhau và bằng L.

Vì hệ qui chiếu 0’ đang chuyển động, M₁ cũng đang chuyển động nên tia sáng đi từ M đến M­₁ sẽ đi trên đường xiên có độ dài là:

Thời gian ánh sáng đi từ M đến M₁ và quay trở về là:

Tia sáng từ M đến M₂ có vận tốc tương đối là c-u còn khi nó quay trở lại có vận tốc tương đối là c+u. Vậy thời gian từ M đến M₂ và quay trở về là:

Thời gian chênh lệch khi hai tia đến và quay về M là:

Vì u << c nên:

Trong đó:

Và (2.6)

Như vậy ta có thể viết lại là:

Giả thuyết rằng công thức tổng hợp vận tốc Galileo là được thỏa mãn thì hai tia sáng đó khi đi vào ống ngắm N có hiệu quang lộ là và tương ứng lệch pha nhau một lượng:

Cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa (theo 1.11) là:

Trong đó I₀₁, I₀₂ lần lượt là cường độ của hai tia sáng thành phần cùng đi vào ống ngắm N. Thí nghiệm được làm lại nhiều lần trong điều kiện người ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau so với trục 0x nhưng vẫn giữ nguyên phương chuyển động của 0 so với 0’ là 0x.

Sự tính toán bằng công thức tổng hợp vận tốc Galileo cho ta kết quả là theo những góc khác nhau thì hiệu số pha của các tia sáng thành phần đi vào ống ngắm N là khác nhau. Tức là cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa khác nhau.

Theo tính toán thì cường độ sáng tổng hợp trong ống ngắm N sẽ thay đổi rất lớn, rất dễ quan sát khi mà ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau. Nhưng thực tế người ta không quan sát được sự thay đổi cường độ sáng khi quay dụng cụ thí nghiệm. Tức là hiệu số pha và hiệu thời gian truyền của hai tia sáng là như nhau.

Thí nghiệm này có thể chứng tỏ ánh sáng truyền theo mọi phương với cùng vận tốc là c chứ không tuân theo công thức cộng Galileo. Không thể có vận tốc lớn hơn c.

2.3. NHỮNG TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI - BIẾN ĐỔI LORENTZ

2.3.1. Những tiên đề của thuyết tương đối.

2.3.1.1. Tiên đề 1: Nguyên lý tương đối Einstein.

Theo nguyên lý tương đối Galileo ta không thể dùng các thí nghiệm cơ học để phát hiện ra các chuyển động quán tính. Như vậy có thể hy vọng dùng thí nghiệm không phải cơ học nhằm phát hiện ra chuyển động quán tính. Thí nghiệm Michelson nhằm mục đích đó và nhiều thí nghiệm khác cũng đã lần lượt thất bại. Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý tương đối Galileo ra đối với mọi hiện tượng vật lý khác.

Tiên đề một chính là sự mở rộng nguyên lý tương đối Galileo. Như vậy:

“Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ”

Các định luật vật lý là giống nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính; nói cách khác các phương trình mô tả các định luật vật lý là bất biến đối với phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác.

Đây là một tiên đề người ta không thể chứng minh, ta có thể dựa vào thực nghiệm, những hệ quả rút ra từ nguyên lý để thừa nhận mà không cần chứng minh.

Nghĩa là c không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn cũng như của người quan sát (máy thu).

Cơ học dựa trên thuyết tương đối Einstein gọi là cơ học tương đối. Cơ học này là nền tảng cho việc nghiên cứu chuyển động của các vật có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng. Nó bao trùm nội dung của cơ học cổ điển. Nói cách khác cơ học cổ điển là trường hợp đặc biệt của cơ học tương đối.
2.3.2. Phép biến đổi Lorentz.

Chúng ta gọi biến cố là một sự việc bất kỳ xảy ra tại một vị trí nhất định vào một thời điểm xác định. Mỗi biến cố được xác định bằng bốn tọa độ gồm ba tọa độ không gian (x,y,z) và một tọa độ thời gian (t). Một quá trình là một chuỗi biến cố nối tiếp nhau trong không gian và thời gian.

Giả sử một biến cố có tọa độ trong hệ 0 là (x,y,z,t), trong hệ 0’ là (x’,y’,z’,t’) các công thức biến đổi Galileo không thể dùng để xác định quan hệ giữa các tọa độ trên, vì chúng mâu thuẫn với hai tiên đề Einstein. Trong thuyết tương đối, c không tuân theo định luật cộng vận tốc cổ điển rút ra từ phép biến đổi Galileo.
2.3.3.1. Phép biến đổi Lorentz.

a. Điều kiện phép biến đổi Lorentz.

- Chúng phải phù hợp với hai tiên đề Einstein.

- Vì hai hệ là tương đương không hệ nào ưu tiên hơn hệ nào. Các công thức từ hệ 0 sang 0’ phải có cùng dạng toán học. Nếu một công thức chứa v công thức kia cũng phải chứa -v.

- Nếu một biến cố có tọa độ hữu hạn trong một hệ nó cũng phải có tọa độ hữu hạn trong hệ kia.

• 
  Khi v = 0 hệ 0 tương đương hệ 0’ các công thức biến đổi phải cho kết quả:
  

b. Thành lập công thức biến đổi.

Xét một hệ quy chiếu quán tính 0xyzt và 0’x’y’z’t’, 0’x’ trượt dọc theo 0x sao cho 0’y’ 0y và 0’z’ 0z.

Vì không gian đồng nhất và đẳng hướng theo các định nghĩa như trên, ta được:

y’ = y

z’ = z

Ta dùng hai hệ tọa độ không thời gian 0xt đứng yên và 0’x’t’ chuyển động đều đối với 0 theo phương x với vận tốc v.

Vì thời gian có tính tương đối t t’

phụ thuộc hệ quy chiếu nên: tt’ (1)

Giã sử tọa độ x’ liên hệ với x và t v

theo phương trình: x’ = f(x,t) (2)

Để tìm dạng f(x,t) ta áp dụng (2) cho điểm

gốc 0’ của 0’x’t’ :

Tọa độ của 0’ đối với 0xt là: x = vt. 0’ x’

Nghĩa là đối với điểm này tọa độ của điểm 0’

bao giờ cũng thỏa mãn: x – vt = 0 (3) 0 x

Hình 2.2.

Còn toạ độ của nó đối với hệ 0’x’t’ bao giờ cũng bằng 0: x’ = 0. Muốn phương trình (2) áp dụng đúng cho hệ 0’, nghĩa là khi thay x’ = 0 vào (2) ta phải được biểu thức (3) thì f(x,t) chỉ có thể khác một hệ số nhân  nào đó:

x’ = (x – vt) (4)

Tương tự : x = (x’ + vt) (5)

Theo tiên đề 1 mọi hệ quán tính tương nhau nghĩa là (4) (5) bằng cách thay

v = -v’; x’= x ; t’= t. Do đó :   .

Theo tiên đề 2: Nếu x = ct, thì x’ = ct’, thay (4) vào (5):

(4)  = = = (a)

(5)   =  = = = (b)

(a) (b) = =

Hay 

2.3.3.2. Hệ quả:

a. v << c, các công thức Lorentz trở thành các công thức Galilieo và khi đó:

1-v²/ c² 1 và t-(v/c²)x  t.

b. v > c, ảo: Khi đó cho phép biến đổi Lorentz mất ý nghĩa vật lý. Ở đây v là vận tốc hệ 0’ tức là vận tốc một hệ vật chất đang chuyển động, điều đó có nghĩa là không có vật thể vật chất nào chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.

Các vận tốc thông thường đạt được trong khoa học kỹ thuật và đời sống thì các công thức Galilieo vẫn có thể dùng thay công thức Lorentz được. Điều đó giải thích tại sao cho tới đầu thế kỷ XX trước khi có lý thuyết tương đối khoa học vẫn phát triển được trên cơ sở lý thuyết cổ điển và sau khi có thuyết tương đối những thành tựu của vật lý học cổ điển vẫn còn có giá trị.

Xét thanh AB không biến dạng nằm yên trong hệ 0’, chiều dài song song trục 0’x’, chiều dài của thanh:

v

x’

. Đo trong hệ 0’ tại đó thanh đứng yên gọi là chiều dài riêng của thanh: l’= x’_B – x’_A

. Trong hệ 0 thanh đang chuyển động muốn đo chiều dài của nó trong hệ 0 ta phải xác định x_A , x_B tại cùng thời điểm : t_A = t_B : l = x_B - x_A

Theo phép biến đổi Lorentz:

x’_B=  vì: t_B = t_A

x’_A=  nên x’_B – x’_A = 

Hay: l = l’ (2.9)

Khi xét một vật có thể tích V, thể tích của nó cũng có thể được viết:

V = V’

Như vậy khi chuyển động kích thước của nó theo phương chuyển động bị co lại theo tỉ lệ: 1/ .

 a. b.

Hình 2.3.

Hình 2.3.a: theo quan điểm người quan sát a.

Hình 2.3.b: theo quan điểm người quan sát b.

Phép co Lorentz của hai thanh đồng nhất có chiều dài riêng l’ = 1m chuyển động so với nhau với vận tốc v = 0,6c.

l = l’= 1= 0,80 m.

Xét hai thanh A, B có cùng chiều dài riêng l’ như nhau và chuyển động tương đối với nhau theo chiều dài riêng của chúng có thể coi A đứng yên, B chuyển động với vận tốc v do đó B co lại; cũng có thể coi A chuyển động với vận tốc -v, B đứng yên do đó A co lại; hai cách nói trên là tương đương như nhau.

Theo thuyết tương đối mỗi hệ chuyển động có không gian của nó và thời gian riêng của nó. Khi đo thanh A trong không gian của nó ta thấy chiều dài của nó là l < l’ số đo nhỏ hơn không phải vì A thực sự co lại mà là vì ta đã chuyển từ không gian này sang không gian khác để đo nó.

Đặt vấn đề xem thanh nào thực sự co lại là một việc vô nghĩa cũng như đặt vấn đề xem thanh nào chuyển động thực sự. Chuyển động của một vật phải được xem xét bằng sự so sánh vị trí của nó đối với vật khác coi như đứng yên. Cũng như vậy sự co lại của một vật cũng phải được xem xét bằng sự so sánh kích thước đối với vật được coi là đứng yên.

x

b. Nếu x_A x_B thì: t^’_A t^’_B: nghĩa là trong hệ 0 hai biến cố xảy ra đồng thời ở hai nơi khác nhau. Quan sát viên hệ 0^’ thấy hai biến cố đó xảy ra không đồng thời.

Nguyên nhân mà một người quan sát cho rằng chiều dài l ngắn hơn số đo người quan sát thứ 2 là như sau: Vấn đề là các biến cố đồng thời đối với một người quan sát, nhưng lại không đồng thời đối với người quan sát thứ hai.

Thí dụ: Xe chở hàng đo chiều dài l^’ (đứng yên). Người quan sát B đứng giữa xe và đo chiều dài xe thấy bằng l^’. Bây giờ người ta nghĩ cách cho người quan sát A đo chiều dài xe đang chuyển động và do đó xác nhận sự có mặt của phép co Lorentz.

Giả sử ở thời điểm khi B qua A theo ý kiến của A ở cả hai đầu xe đồng thời loé lên hai tia chớp. Đo khoảng cách giữa hai tia chớp để lại trên xe.

A xác nhận kết quả:

( l < l’)

y

B
A   B

A

Hình 2.4.

Người quan sát A (đo l) cho rằng các tia chớp không đồng thời đi tới hai đầu xe. Quan sát viên B chuyển động về phía tia chớp sáng bên phải và gặp nó trước theo ý kiến anh ta thì tia chớp mới đầu loé lên ở bên phải.

Xét một vật hình điểm đứng yên trong hệ 0^’ có toạ độ bằng x^’, trên đó xảy ra hai biến cố A và B vào những thời điểm t^’_A và t^’_B, khoảng thời gian giữa hai biến cố đo trong hệ 0^’ là:

Đó là khoảng thời gian đo trong hệ tại đó vật chứa các biến cố là đứng yên ta gọi là khoảng thời gian riêng giữa hai biến cố.

Trong hệ 0:

Trong hệ 0^’ hai biến cố xảy ra một chổ nên: x^’_A = x^’_B Khoảng thời gian hai biến cố đó trong hệ 0:

Khoảng thời gian riêng hai biến cố nhỏ hơn khoảng thời gian đo trong hệ chuyển động. Nói một cách khác khoảng thời gian trong hệ chuyển động trôi chậm hơn (lớn hơn) thời gian trong hệ đứng yên ( nhỏ hơn); đồng hồ đặt trong hệ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đặt trong hệ đứng yên và nói chung mọi quá trình trong hệ chuyển động diễn ra chậm hơn các quá trình tương ứng trong hệ đứng yên.

Thí dụ: meson  được tạo thành trên thượng tầng khí quyển do sự va chạm các hạt proton và neutron thật nhanh, thời gian sống trung bình ’ = 2,2.10^-8 s sau đó tự phân rã thành meson µ và neutrino :

  µ +

Meson  chuyển động với vận tốc v = 0,999 999 99c trong khoảng ’ = 2,2.10^-8 s nó đi được l = 6,5 m sau đó phân rã, không còn meson . Nhưng người ta quan sát được meson  ngang mặt biển và ngay cả dưới hầm mỏ tức là cách nơi phát sinh từ 40 đến 50 km.

. Thuyết cổ điển không giải thích được.

. Thuyết tương đối ’ = 2,2 10^-8 s là thời gian riêng gắn liền meson để đo nó.

Hệ gắn meson  với hệ gắn Trái đất chuyển động tương đối với nhau với vận tốc v = 0,999 999 99c do đó: . Nếu xét hiện tượng trong hệ gắn Trái đất thời gian sống:

Trong thời gian đó meson  di chuyển l^’ # 46 km.

Nếu xét hiện tượng trong hệ gắn meson  thì khoảng cách từ meson  đến mặt đất :

Hai cách xét hiện tượng đều giải thích sự có mặt của meson 

Hình 2.5. Sóng phát ra từ một nguồn

đang chuyển động từ phải sang trái
x S: nguồn

Sx: phương chuyển động

Hiệu ứng Doppler là một hiệu ứng vật lý, đặt tên theo Christian Andreas Doppler, trong đó tần số và bước sóng của các sóng âm, sóng điện từ hay các sóng nói chung bị thay đổi khi mà nguồn phát sóng chuyển động tương đối với người quan sát.

Đối với sóng chuyển động trong một môi trường, như sóng âm, nguồn sóng và người quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường. Hiệu ứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi hai chuyển động này.

Cụ thể, nếu nguồn di động trong môi trường phát ra sóng với tần số tại nguồn là f₀, một người quan sát đứng yên trong môi trường sẽ nhận được tần số f:

(2.11)

v

Hình 2.6. Tần số tăng lên khi nguồn tiến về phía người quan sát, và giảm đi khi nguồn đi ra xa người quan sát.

Tương tự, khi nguồn đứng yên còn người quan sát chuyển động:

(2.12)

Đối với sóng điện từ (ví dụ ánh sáng), lan truyền mà không cần môi trường, hiệu ứng Doppler được tính toán dựa vào thuyết tương đối.

Ứng Dụng

Hình 2.7. Một microphone cố định thu âm tiếng của xe cảnh sát tại độ ngân khác nhau tùy thuộc vào hướng tương đối của chúng

Một tiếng còi trên xe cấp cứu tiến đến ta sẽ có tần số cao hơn khi xe đứng yên. Tần số này giảm dần khi xe vượt qua ta và nhỏ hơn bình thường khi xe chạy ra xa.

Nhà thiên văn học John Dobson giải thích hiện tượng trên: "lý do mà tiếng còi giảm là do xe không tông bạn".

Nói cách khác, nếu chiếc xe đi theo phương thẳng tới bạn, tần số sẽ vẫn giữ nguyên (vì thành phần vận tốc v theo phương chỉ tới bạn không đổi) cho đến khi chúng vượt qua bạn, thì lập tức chuyển sang tần số thấp hơn. Sự khác biệt giữa tần số cao lúc tiến đến so với tần số chuẩn của còi đúng bằng sự khác biệt giữa tần số thấp lúc ra xa so với tần số chuẩn. Khi chiếc xe không tông vào bạn mà chỉ qua mặt bạn, thành phần vận tốc theo phương chỉ tới bạn không giữ nguyên do phương này luôn thay đổi tùy thuộc vị trí của xe:

Trong đó v là thành phần vận tốc của xe theo phương chỉ tới bạn, v₀ là tốc độ của xe và θ là góc giữa hướng di chuyển của xe và hướng nối từ xe đến bạn.

2.5. QUI TẮC TỔNG HỢP VẬN TỐC EINSTEIN

Xét một chất điểm chuyển động bất kì đang đi qua một điểm A trong không gian. Trong hệ 0 toạ độ của A là x, y, z thời điểm khi nó qua A là t. Vận tốc của chất điểm A là u với các thành phần:

u_x = dx / dt u_y = dy / dt u_z = dz / dt

Trong hệ 0^’ toạ độ của A là x^’ , y^’, z^’; thời điểm khi nó qua A là t^’. Vận tốc của chất điểm A là u^’ với các thành phần:

u^‘_x = dx^’/ dt^’ u^‘_y = dy^’ / dt^’ u ^‘_z = dz^’ / dt^'

Ta tìm sự liên hệ giữa u và u^’:

Lấy vi phân hai vế của công thức biến đổi Lorentz (2.8): dy = dy^’ dz = dz^’

Thực hiện phép tính :

hay

(2.13)

Ví dụ 1:

 u v 

Trái đất

Theo quan điểm của người quan sát máy bay bên phải máy bay bên trái bay lại gần anh ta với vận tốc u^’, theo quan điểm:

 Vật lý cổ điển: u^’ = u + v

 Einstein:

Ví dụ 2: Hạt neutrino chuyển động với vận tốc ánh sáng u = c. Quan sát viên chuyển động với vận tốc v theo phương tới neutrino. Theo quan điểm quan sát viên vận tốc neutrino bằng bao nhiêu ?

 Vật lý cổ điển: u^’ = c + v

 Einstein:

Qua đây ta thấy rằng ánh sáng (hay nói chung hạt tuỳ ý) chuyển động với vận tốc c cũng phải có vận tốc này theo quan điểm của người quan sát bất kỳ không tuỳ thuộc vào vận tốc chuyển động anh ta. Hệ quả trực tiếp của công thức tổng hợp vận tốc là không có vật nào chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng.

c + v = c

2.6. KHỐI LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH - HỆ THỨC EINSTEIN - ỨNG DỤNG

2.6.1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm.

Theo cơ học cổ điển khối lượng m là một đại lượng bất biến. Động lượng của chất điểm được định nghĩa p = m.v và phương trình biểu diễn định luật Newton 2:

với m = const

Trong cơ học tương đối, để mô tả chuyển động có một phương trình khác thay thế, dạng tổng quát sau:

với (2.14)

Với m khối lượng chất điểm đo trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v, được gọi là khối lượng tương đối tính. Vận tốc càng lớn thì khối lượng này càng lớn.

m₀ khối lượng chất điểm đo trong hệ mà nó đứng yên, được gọi là khối lượng nghỉ.

Phương trình (2.14) bất biến đổi với phép biến đổi Lorentz. Khi v<< c nó trở thành phương trình biểu diễn định luật thứ hai của Newton.

Với v = 0,5c khối lượng chỉ tăng 15,5 %.

2.6.2. Động lượng và khối lượng.

Từ (2.14):

Khi v << c thì .

Phương trình định luật Newton 2 được viết lại:

Biểu thức năng lượng:

theo định luật bảo toàn năng lượng: dW_đ = dA

Ta giả sử ngoại lực cùng phương với đoạn chuyển dời

dW_đ = dA = = F.ds

với F = d(mv) /dt = (dm/ dt) v + m(dv/dt)

Nên dW_đ = [(dm/dt)v + m( dv/dt)] ds = dmv (ds/dt) + mdv(ds/dt)

dW_đ = v² dm + mvdv

, nên (a)

Do đó d (b)

1. 
   và (b) suy ra:
   

dW_đ = c²dm

Động năng của vật:

Mối liên hệ giữa năng lượng và khối lượng:

Vì W_đ = W - W₀ nên đại lượng W = mc² là số đo của năng lượng toàn phần chứa trong vật có khối lượng m.

W₀ = m₀c² là năng lượng nghỉ, đó là năng lượng toàn phần khi vật đứng yên.

Trong trường hợp đó động năng bằng độ biến thiên năng lượng toàn phần.

W_đ = W = c² ( m – m₀ ) = c²m

Thực nghiệm chứng tỏ rằng một dạng năng lượng này có thể chuyển sang một dạng năng lượng khác. Do đó có thể mở rộng hệ thức giữa động năng và độ biến thiên năng lượng sang tất cả các dạng năng lượng khác và coi rằng ứng với một độ biến thiên năng lượng W của vật khối lượng biến thiên một lượng m = W / c².

Khi khối lượng vật biến thiên m thì năng lượng toàn phần của vật biến đổi:

W = mc²

2.6.3. Ứng dụng.

Ưu điểm của thuyết tương đối của Einstein.

- Thuyết tương đối hẹp phản ánh được quy luật của thế giới tự nhiên dưới một hình thức khách quan hơn trước đây.

- Trong thuyết tương đối của Einstein, các định luật vật lý được mang một bất biến, không phụ thuộc vào việc chọn hệ quy chiếu, dù nó là hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động bất kì. Nói cách khác các hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, chúng là những kết quả hoàn toàn không phụ thuộc vào việc quan sát.

- Thuyết tương đối của Einstein đã giải quyết được những vấn đề mà cơ học cổ điển của Newton không thể làm được bởi khi vận tốc chuyển động của vật chất xấp xỉ vận tốc ánh sáng thì các định luật cơ học Newton không còn đúng nữa.

- Thuyết tương đối ra đời đã mở ra những điều kiện thuận lợi cho rất nhiều ngành khoa học kĩ thuật phát triển mạnh mẽ.

Ứng dụng của Thuyết tương đối.

- Với những ưu điểm to lớn của mình, lý thuyết tương đối không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật như: vật lý hạt nhân, kĩ thuật máy gia tốc, vật lý thiên văn hiện đại.

- Qua phương trình nổi tiếng E = mc², các nhà bác học đã thấy được nguồn năng lượng khổng lồ của vật chất. Chỉ với một lượng vật chất rất nhỏ đã cho một năng lượng rất lớn. Việc chế tạo ra bom nguyên tử và hai quả bom ném xuống Hirosima, Nagasaki đã minh chứng điều này.

- Thuyết tương đối cho phép tiên đoán chính xác các hiện tượng thiên văn, vũ trụ, sự chính xác trong các tiên đoán đạt tới mức chính xác đáng kinh ngạc. Điển hình như tiên đoán về vị trí của các ngôi sao ở gần mặt trời trên bản đồ thiên văn trong các kì nhật thực, để từ đó xác định chính xác độ lệch của tia sáng khi nó đi qua gần mặt trời. Nhà thiên thể học Authur Eddington đã thấy ánh sáng từ những ngôi sao đến Trái đất muộn hơn so với tính toán. Nguyên nhân là do ánh sáng đó bị bẻ cong khi đi qua mặt trời, điều này có thể thấy được khi xảy ra hiện tượng nhật thực (do không bị ánh sáng mặt trời lấn át).

- Thuyết tương đối làm thay đổi quan niệm về vũ trụ dù c (vận tốc ánh sáng) dẫn tới những điều kì lạ. Chẳng hạn khối lượng của mặt trời làm biến dạng không gian xuyên qua cả quĩ đạo sao Thủy khi nó đi qua do đó làm thay đổi đường đi của sao này. Điều này khẳng định tính đúng đắn trong thuyết tương đối rộng của Einstein cho rằng không gian và thời gian tạo nên một cấu trúc mà sự có mặt của một vật thể sẽ khiến cấu trúc đó oằn xuống. Lý thuyết cũng ngụ ý một vật thể nặng khi quay sẽ kéo lê và vặn không gian xung quanh nó giống như kiểu con quay đặt trên đĩa mật – hiện tượng trên có tên gọi “Hiệu ứng Lense- Thirring” hay quen thuộc hơn là “Frame-Dragging”. Vì vậy khi các vật thể khác bay gần nó sẽ chịu ảnh hưởng mạnh mẽ.

- Thuyết tương đối giúp cho việc xác định khoảng cách giữa các vật thể, vận tốc chuyển động, quĩ đạo chuyển động của chúng trong vũ trụ được dễ dàng.

Ngoài ra thuyết tương đối còn ảnh hưởng mạnh đến nhiều ngành khoa học và xã hội khác.

Sự biến đổi khối lượng - năng lượng được mô tả bằng hệ thức nổi tiếng :

E = mc²

Hệ thức đó cho ta biết rằng mỗi một vật thể, mỗi một mẫu vật chất đều tương ứng với một năng lượng khổng lồ. Đó là năng lượng mà ta thu được khi nhân khối lượng của vật thể với bình phương của tốc độ ánh sáng c = 3.10⁸m/s

Theo phương trình này, nếu con người tìm ra được phép thần thì từ 1 kg nhiên liệu nào đó có thể rút ra một năng lượng tương đương với 25 triệu triệu kWh điện, nghĩa là bằng tổng lượng điện sản xuất thời bấy giờ của tất cả nhà máy phát điện tại Mỹ chạy liên tục trong một tháng. Hệ thức Einstein đã làm xáo động giới khoa học trên toàn thế giới. Nó cho thấy năng lượng khổng lồ chứa đựng trong nhân nguyên tử, và sau này khi chế tạo thành công bom nguyên tử người ta mới thấy hết ý nghĩa của lý thuyết Einstein.

Nhờ hệ thức Einstein người ta mới có thể giải thích tại sao mặt trời và các vì sao khác luôn luôn phát ra ánh sáng và năng lượng hằng bao tỉ năm nay mà không bị cạn. Ngày nay cùng với sự phát triển của vật lý học, các nhà vật lý hạt nhân và thiên văn đã xác nhận bằng thực nghiệm sự đúng đắn của hệ thức đó: năng lượng của mặt trời và các vì sao sinh ra bởi các phản ứng tổng hợp hạt nhân và năng lượng được xác định theo hệ thức năng lượng và khối lượng của Einstein. Dự báo thiên tài của Einstein về một nguồn năng lượng mới vô cùng lớn đã được thể hiện trong cuộc sống hơn nửa thế kỷ nay. Hiện nay trên toàn thế giới đã có hàng trăm nhà máy điện chạy bằng năng lượng hạt nhân, bổ sung cho nhiều quốc gia một lượng điện quí giá. Einstein đã làm rạng rỡ giới vật lý và ngành vật lý với Einstein, Fermi, Curie, Bohr và Hans… đã dâng tặng nhân loại một món quà lớn nhất của mình trong thế kỷ XX - đó là điện hạt nhân.

Thực khó mà nhìn thấy hết ảnh hưởng sâu sắc của thuyết tương đối lên các lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm vật lý trong mấy năm qua. Minkopxki giải động lực học của thuyết tương đối hẹp theo quan điểm hình học mới, tìm thấy sự thống nhất của không gian 4 chiều. Luis de Broglie phát hiện sóng vật chất, Dirac tiên đoán sự tồn tại của các phản hạt, sự xuất hiện của cơ học lượng tử tương đối tính, vũ trụ học tương đối tính… tất cả những điều đó là những bằng chứng cụ thể về ảnh hưởng của thuyết tương đối lên sự phát triển của vật lý học. Nhưng điều quan trọng hơn cả có lẽ là ảnh hưởng đối với tư duy của các nhà vật lý đương thời, cho họ thấy những hạn chế của vật lý cổ điển, nhưng vẫn không vứt bỏ những thành tựu của cơ học cổ điển. Các phương trình của cơ học tương đối tính tới giới hạn (đối với các v
2.7. SƠ LƯỢT VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

Lý thuyết tương đối rộng, còn được gọi là lý thuyết tương đối tổng quát, là một lý thuyết vật lý cơ bản về hấp dẫn. Nó có thể coi là phần bổ sung và mở rộng của lý thuyết hấp dẫn Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn.

Thuyết tương đối rộng được Einstein công bố vào năm 1916 (trước đó đã nằm trong loạt bài giảng tại Viện Khoa học Thổ ngày 25 tháng 11 năm 1915). Tuy nhiên, nhà toán học người Đức David Hilbert đã viết và công bố các phương trình hiệp biến trước Einstein. Có nhiều lý do cả Einstein và Hilbert được xem như đồng phát minh ra thuyết tương đối rộng. Lý thuyết này giới thiệu các phương trình thay cho định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Nó sử dụng hình học vi phân và tensor để mô tả trọng trường.

Lý thuyết này cũng dựa trên một tiên đề duy nhất: "mọi định luật vật lý là giống nhau trong mọi hệ quy chiếu (gồm cả những hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc thay đổi so với nhau)". Trong lý thuyết này, trọng lực không tồn tại như lực riêng (như theo quan niệm của Newton), mà chẳng qua là lực quán tính, hay khái quát hơn là hệ quả của độ cong trong không-thời gian. Về mặt trực quan, cảm giác về lực hấp dẫn khi ngồi trên mặt đất giống cảm giác lúc trong thang máy đi lên (hoặc tương tự trong xe khi đang tăng tốc/giảm tốc). Lý thuyết tương đối rộng đã dẫn đến một kết quả là mọi vật chất (hay khối lượng hay năng lượng) đều làm cong không-thời gian, và độ cong này tác động đến đường rơi tự do của các vật chất khác (kể cả đường đi ánh sáng).

Hiện tượng vật chất bẻ cong đường đi ánh sáng đã được kiểm chứng lần đầu tiên đối với Mặt Trời (nơi tập trung nhiều vật chất nhất trong hệ mặt trời). Trong vũ trụ, đã quan sát thấy có nơi (ví dụ ở gần trung tâm các thiên hà) tập trung nhiều vật chất đến mức ánh sáng đến gần bị hút vào và không ra được nữa, gọi là các lỗ đen vì chúng không phát ra ánh sáng (hay không cho phép ánh sáng thoát ra).

Lý thuyết này mô tả hấp dẫn tương tự như sự biến dạng địa phương của không-thời gian. Cụ thể là một vật có khối lượng sẽ làm cong không gian xung quanh nó. Độ cong của không gian chính bằng lực hấp dẫn. Nói một cách khác, hấp dẫn là sự cong của không gian. Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết tương đối rộng đã chưa bao giờ thất bại trong việc giải thích các kết quả thực nghiệm.

Lý thuyết tương đối rộng là cơ sở nghiên cứu của các ngành thiên văn học, vũ trụ học và vật lý thiên văn. Nó giải thích được rất nhiều các hiện tượng mà vật lý cổ điển không thể làm được với độ chính xác và tin cậy rất cao, ví dụ như hiện tượng ánh sáng bị bẻ cong khi đi gần Mặt Trời, hoặc tiên đoán được sự tồn tại của sóng hấp dẫn, hố đen và sự giãn nở của vũ trụ.
Khác nhau cơ bản giữa cơ học cổ điển Newton và cơ học tương đối của Einstein



Hình 2.9. Trong lý thuyết tương đối rộng không có lực hấp dẫn mà chỉ có việc các vật thể làm cong không gian xung quanh nó. Hệ quả của sự cong này giống như hệ quả của hai vật thể hút nhau bằng lực hấp dẫn.




Hình 2.8.Trong cơ học Newton