ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGÔ THỊ SINH
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGÔ THỊ SINH
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113
TÓM TẮT
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG
Hà Nội – Năm 2015
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này.
Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015
Học viên
Ngô Thị Sinh
MỞ ĐẦU
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình và số.". Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân... Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng.
Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…
Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân.
Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Nguyên hàm
Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2.
Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng
Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm. Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy.
Chương 3: Các bài toán khác
Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức.
Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM
-
Định nghĩa nguyên hàm
-
Giả sử hàm liên tục trên khoảng . Khi đó hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi
.
-
Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số là tập và tập này còn được ký hiệu là: .
-
Các tính chất của nguyên hàm
-
Nếu là hàm số có nguyên hàm thì
-
Nếu có đạo hàm thì .
-
Phép cộng
Nếu và có nguyên hàm thì .
-
Phép trừ
Nếu và có nguyên hàm thì .
-
Phép nhân với một hẳng số khác 0
.
-
Công thức đổi biến số
Cho và .Nếu thì
.
-
Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số
-
Một số phương pháp tính nguyên hàm
-
Phương pháp ghép vi phân thích hợp
-
Phương pháp
Sử dụng biến đổi
Ví dụ: ;
; .
-
Một số ví dụ
Ví dụ 1.1.1. ([1])
.
Ví dụ 1.1.2. ([1])
.
Ví dụ 1.1.3. ([1])
.
Ví dụ 1.1.4. ([1])
.
Ví dụ 1.1.5.
.
Ví dụ 1.1.6.
.
Ví dụ 1.1.7.
.
Ví dụ 1.1.8.
.
-
Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ
-
Các định nghĩa
-
Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng với là các đa thức với các hệ số thực.
-
Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ với .
-
Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:
.
-
Định lý tổng quát về phân tích đa thức
Mọi đa thức với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức , tức là ta có
trong đó: là các nghiệm thực phân biệt của ; là các số thực thỏa mãn
.
-
Phương pháp tính
-
Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản:
+
+
+
+
+ với
Đặt
Với , ta sẽ tính theo 2 cách sau đây:
Cách 1 ( Phương pháp lượng giác)
Đặt
Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác.
Cách 2 ( Phương pháp tích phân từng phần)
với
Đặt
và
Vậy thay vào ta có .
-
Nguyên hàm hàm phân thức với và
thì
-
Một số ví dụ
Ví dụ 1.2.1. ([4])
Ta có
Giả sử
Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định)
Do đó
Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt)
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Ví dụ 1.2.2. ([4])
Tính
Ta có
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Ví dụ 1.2.3. ([4])
Tính
Ta có
Giả sử
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Thay vào suy ra:
Ví dụ 1.2.4. ([4])
Tính
Ta có
Ví dụ 1.2.5. ([4])
Tính
Ta có
Giả sử
Ví dụ 1.2.6. ([4])
Tính
Giả sử
Xét .
Đặt
Ví dụ 1.2.7. ([4])
Tính
Giả sử
.
Xét . Đặt
Do đó
.
-
Nguyên hàm theo từng phần
-
Công thức tính nguyên hàm từng phần
Giả sử có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau
Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm).
Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên hàm đơn giản hơn nguyên hàm .
-
Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u, dv
Nguyên hàmudv Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.3.1. ([1])
Tính .
Cách làm chậm: Đặt . Khi đó ta có
. Đặt . Khi đó ta có
. Đặt
.
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng
Ví dụ 1.3.2. ([3])
Tính
Ta có
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần.
Ví dụ 1.3.3. ([1])
Tính
Đặt
Ta có
.
Ví dụ 1.3.4. ([1])
Tính
.
Ví dụ 1.3.5. ([3])
Tính
.
-
Nguyên hàm hàm số có căn thức
-
Nguyên hàm dạng với m, n, p hữu tỉ.
-
Nếu thì gọi là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m, n. Khi đó đặt
-
Nếu thì gọi s là mẫu số của p và đặt .
-
Nếu thì gọi s là mẫu số của p và đặt .
-
Nguyên hàm dạng với là nguyên dương.
Gọi là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số . Khi đó ta có:
. Đặt .
-
Nguyên hàm dạng
(với m, n,..,r,s nguyên dương).
Đặt: Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các số . Đặt .
-
Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường
-
Dạng nguyên hàmĐổi biến sốĐiều kiện biến số Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.4.1. ([4])
Tính
Đặt
Ví dụ 1.4.2. ([4])
Tính
Đặt
Ví dụ 1.4.3. ([4])
Tính
. Gọi .
Đặt .
.
Ví dụ 1.4.4. ([4])
Tính
Đặt .
Ví dụ 1.4.5. ([4])
Tính
Đặt
Ví dụ 1.4.6. ([4])
Tính
Đặt ;
Ví dụ 1.4.7. ([4])
Tính
Đặt ;
Ví dụ 1.4.8. ([4])
Tính
Đặt ; .
Ví dụ 1.4.9. ([4])
Tính
Đặt ; .
Ví dụ 1.4.10. ([4])
Tính
Đặt ; .
Ví dụ 1.4.11. ([4])
Tính
Đặt ; .
-
Nguyên hàm hàm lượng giác
-
Các công thức nguyên hàm hàm lượng giác
-
Một số công thức lượng giác thường dùng
; ;
;
-
Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác
Dạng 1. ;
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.
Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo ý dưới đây.
Nếu , n lẻ (n = 2p+1) thì thực hiện biến đổi:
Dạng 2.
Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
+ Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
+ Nếu m chẵn, n lẻ thì biến đổi:
+ Nếu m lẻ , n chẵn thì biến đổi:
+ Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn.
Trường hợp 2: m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt ta có
Dạng 3.
Sử dụng công thức nguyên hàm:
Dạng 4.
+ Nếu n chẵn thì biến đổi
.
+ Nếu n lẻ , m chẵn thì biến đổi
.
+ Nếu n lẻ , m lẻ
.
Dạng 5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.5.1. ([3])
Tính
.
Ví dụ 1.5.2. ([3])
.
Ví dụ 1.5.3. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.4. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.5. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.6. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.7. ([3])
Tính
.
Ví dụ 1.5.8. ([3])
Tính
.
Ví dụ 1.5.9. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.10. ([4])
Tính
.
Ví dụ 1.5.11. ([3])
Tính
Ví dụ 1.5.12. ([3])
Tính
.
-
Các dạng nguyên hàm lượng giác sử dụng các phép đổi biến số cơ bản
Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng
Đổi biến số tổng quát
Đặt
Khi đó .
Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng cách khác để làm hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn.
+ Nếu là hàm lẻ theo sin: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến .
+ Nếu là hàm lẻ theo cos: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến .
+ Nếu thỏa mãn điều kiện: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến .
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.5.13. ([4])
Tính
Đặt
Giả sử
Thay vào (*) thì
Ví dụ 1.5.14. ([4])
Tính
Đặt
Ta tính được
Ví dụ 1.5.15. ([3])
Tính
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |