TÍch phân và Ứng dụng tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa họC
tải về 0.83 Mb.
|
|
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này. Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình.
Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân. Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2. Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm. Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy. Chương 3: Các bài toán khác Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức. Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn. Em xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM
.
Nếu và có nguyên hàm thì .
Nếu và có nguyên hàm thì .
.
Cho và .Nếu thì .
Sử dụng biến đổi Ví dụ: ; ; .
Ví dụ 1.1.1. ([1]) . Ví dụ 1.1.2. ([1]) . Ví dụ 1.1.3. ([1]) . Ví dụ 1.1.4. ([1]) . Ví dụ 1.1.5. . Ví dụ 1.1.6. . Ví dụ 1.1.7. . Ví dụ 1.1.8. .
.
Mọi đa thức với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức , tức là ta có trong đó: là các nghiệm thực phân biệt của ; là các số thực thỏa mãn .
+ + + + + với Đặt Với , ta sẽ tính theo 2 cách sau đây:
Đặt Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác.
Đặt
và Vậy thay vào ta có .
thì
Ví dụ 1.2.1. ([4]) Ta có Giả sử
Do đó Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt) Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Ví dụ 1.2.2. ([4]) Tính Ta có
Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Ví dụ 1.2.3. ([4]) Tính Ta có Giả sử Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Thay vào suy ra: Ví dụ 1.2.4. ([4]) Tính Ta có
Tính Ta có Giả sử Ví dụ 1.2.6. ([4]) Tính Giả sử
Xét . Đặt
Tính Giả sử
Xét . Đặt Do đó
.
Giả sử có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm). Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên hàm đơn giản hơn nguyên hàm .
Nguyên hàmudv Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1. ([1]) Tính . Cách làm chậm: Đặt . Khi đó ta có
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng Ví dụ 1.3.2. ([3]) Tính Ta có
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần. Ví dụ 1.3.3. ([1]) Tính Đặt
Tính . Ví dụ 1.3.5. ([3]) Tính .
Gọi là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số . Khi đó ta có: . Đặt .
(với m, n,..,r,s nguyên dương). Đặt: Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các số . Đặt .
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường
Ví dụ 1.4.1. ([4]) Tính Đặt Ví dụ 1.4.2. ([4]) Tính Đặt Ví dụ 1.4.3. ([4]) Tính . Gọi . Đặt . . Ví dụ 1.4.4. ([4]) Tính Đặt .
Tính Đặt
Tính Đặt ;
Tính Đặt ;
Tính Đặt ; .
Tính Đặt ; .
Tính Đặt ; .
Tính Đặt ; .
; ; ;
Dạng 1. ; Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo ý dưới đây. Nếu , n lẻ (n = 2p+1) thì thực hiện biến đổi: Dạng 2. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên + Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. + Nếu m chẵn, n lẻ thì biến đổi:
+ Nếu m lẻ , n chẵn thì biến đổi: + Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn. Trường hợp 2: m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt ta có Dạng 3. Sử dụng công thức nguyên hàm: Dạng 4. + Nếu n chẵn thì biến đổi . + Nếu n lẻ , m chẵn thì biến đổi . + Nếu n lẻ , m lẻ . Dạng 5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.5.1. ([3]) Tính . Ví dụ 1.5.2. ([3]) . Ví dụ 1.5.3. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.4. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.5. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.6. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.7. ([3]) Tính . Ví dụ 1.5.8. ([3]) Tính . Ví dụ 1.5.9. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.10. ([4]) Tính . Ví dụ 1.5.11. ([3]) Tính Ví dụ 1.5.12. ([3]) Tính .
Đặt vấn đề: Xét tích phân dạng Đổi biến số tổng quát Đặt Khi đó . Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng cách khác để làm hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn. + Nếu là hàm lẻ theo sin: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến . + Nếu là hàm lẻ theo cos: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến . + Nếu thỏa mãn điều kiện: thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến .
Tính Đặt
Giả sử Thay vào (*) thì Ví dụ 1.5.14. ([4]) Tính Đặt Ta tính được
Tính Каталог: files -> ChuaChuyenDoi ChuaChuyenDoi -> ĐẠi học quốc gia hà NỘi trưỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Thị Hương XÂy dựng quy trình quản lý CÁc công trìNH ChuaChuyenDoi -> TS. NguyÔn Lai Thµnh ChuaChuyenDoi -> Luận văn Cao học Người hướng dẫn: ts. Nguyễn Thị Hồng Vân ChuaChuyenDoi -> 1 Một số vấn đề cơ bản về đất đai và sử dụng đất 05 1 Đất đai 05 ChuaChuyenDoi -> Lê Thị Phương XÂy dựng cơ SỞ DỮ liệu sinh học phân tử trong nhận dạng các loàI ĐỘng vật hoang dã phục vụ thực thi pháp luật và nghiên cứU ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Hà Linh ChuaChuyenDoi -> ĐÁnh giá Đa dạng di truyền một số MẪu giống lúa thu thập tại làO ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiêN ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Văn Cường tải về 0.83 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|