SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
|
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
|
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
|
Hướng dẫn chấm và biểu điểm
Câu 1 (2,0 điểm)
-
Giải phương trình:
-
Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
a) (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
|
0,25đ
|
|
0,25đ
|
|
0,25đ
|
Phương trình có nghiệm
|
0,25đ
|
b) (1,00 điểm)
Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được
|
0,25đ
|
Phương trình đầu có dạng
|
0,25đ
|
Phương trình thứ hai có dạng
|
0,25đ
|
Phương trình thứ ba có dạng
Thử lại thỏa mãn. Vậy
|
0,25đ
|
Câu 2 (2,0 điểm)
Phép toán T được định nghĩa như sau: với a và b là các số thực khác 0
tùy ý. Thí dụ: . Tính giá trị biểu thức:
-
Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
Chứng minh rằng:
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
a) (1,00 điểm)
Theo định nghĩa phép toán T, ta có:
|
0,25đ
|
|
0,25đ
|
Suy ra
|
0,25đ
|
Vậy
|
0,25đ
|
b) (1,00 điểm)
Ta ký hiệu các điều kiện như sau
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.
Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b2 ta được
|
0,25đ
|
Từ (1), (3) và (4) suy ra và là hai nghiệm khác nhau của phương trình
Theo định lí Vi-ét:
|
0,25đ
|
Từ đó
|
0,25đ
|
Suy ra điều phải chứng minh.
|
0,25đ
|
Câu 3 (2,0 điểm)
-
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương.
-
Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516...9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
a) (1,00 điểm)
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho
Suy ra
|
0,25đ
|
Hay
Vì và là các số có cùng tính chẵn lẻ và nên chỉ xảy ra hai trường hợp
|
0,25đ
|
Trường hợp thứ nhất
Thỏa mãn.
|
0,25đ
|
Trường hợp thứ hai
Không thỏa mãn.
Vậy
|
0,25đ
|
b) (1,00 điểm)
Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3,...,9 là các số có 01 chữ số.
90 số tiếp theo: 10,11,12,...,99 là các số có 02 chữ số.
|
0,25đ
|
900 số tiếp theo: 100,101,102,...,999 là các số có 03 chữ số.
Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có:
chữ số.
|
0,25đ
|
Vì nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số có 03 chữ số.
|
0,25đ
|
Ta có số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số thứ 609 là do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8.
|
0,25đ
|
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
-
Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc đường thẳng OB là phân giác trong của góc Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
-
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
-
Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.
|
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
a) (1,00đ)
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với các cạnh của hình vuông góc 45o.
Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra
|
0,25đ
|
Suy ra
Vậy OA là phân giác trong của góc
|
0,25đ
|
Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc
|
0,25đ
|
Mặt khác, hay E, O, F thẳng hàng. Điều phải chứng minh.
|
0,25đ
|
b) (1,00đ)
Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên
|
0,25đ
|
Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên
|
0,25đ
|
Suy ra
|
0,25đ
|
Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
|
0,25đ
|
c) (1,00đ)
Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).
Ta có nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của đường tròn đường kính AB.
|
0,50đ
|
Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường thẳng AB).
Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối xứng với O qua đường thẳng AB).
|
0,50đ
|
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
Xét đồ thị của hàm số
Trên mỗi miền (gồm 05 miền), là các hàm số bậc nhất.
|
0,25đ
|
Đồ thị hàm số là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp nhau. Mặt khác nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của trên và giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng.
|
0,50đ
|
Nói cách khác:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 8, đạt được khi
|
0,25đ
|
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.
|
|
................................ HẾT .................................
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |