PHÒng giáo dụC ĐÀo tạo thành phố ĐÀ LẠT ĐỀ chính thứC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ thi học sinh giỏi thành phố



tải về 50.81 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu13.08.2016
Kích50.81 Kb.
#17879

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 1 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011


Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = .
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( aZ )
Câu 3 : (1,5đ) Cho ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .
Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.

Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.


Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.
Câu 6 :(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn:

Hãy tính tổng: S =


Câu 7 : (2đ) Moät tam giaùc coù soá ño dieän tích ( ñôn vò cm2) baèng soá ño chu vi ( ñôn vò cm). Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñoù .
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b, 8a+13b) = (a, b) với a, b là các số nguyên.
Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.
Câu 11 : (2đ) Cho ABC. M là một điểm thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng:

MA.BC < MC.AB + MB.AC


Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số không tối giản. ().
----------- HẾT ----------

HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................


Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................



PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT


KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011



HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN


Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = .

A 0,5đ

A 0,5đ

A = 0,5đ


Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( aZ )

A = a3 - 6a2 – 7a + 12  A = a3 – a - 6a2 – 6a + 12 0,5đ



A = a(a – 1)(a+1) – 6a2 – 6a + 12

Do a(a – 1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1)  6 0,5đ

Mặt khác - 6a2 – 6a + 12 6 nên A 6 0,5đ
Câu 3 : (1,5đ) Cho ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Gọi I là trung điểm của DC,suy ra IM là đường trung

bình tam giác BDC IM//BD và IM =BD 0,5đ

* c/m cân tại M (1)

*IM//BD (2) 0,5đ

Từ (1) (2)

cân tại K KA = KD 0,5đ

Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.

Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.

*HN//AB (1) 0,5đ

* (2)

Từ (1) ,(2) 0,5đ

BC2= AB2 + AC2 = c2+ b2

0,5đ



Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.

Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.

*NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè

*NÕu p 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k N*. 0,5đ

+) NÕu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè

+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) (p + 2) 3 vµ (p + 2) > 3. Do ®ã

p + 2 lµ hîp sè. 0,5đ

+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) (p + 4) 3 vµ( p + 4 ) > 3. Do ®ã

p + 4 lµ hîp sè.

VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè. 0,5đ


Câu 6:(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn : Hãy tính tổng: S =

0,5 đ

0,5 đ

Vậy S = 1+1 = 2 0,5 đ



Câu 7 : (2đ) Moät tam giaùc coù soá ño dieän tích ( ñôn vò cm2) baèng soá ño chu vi ( ñôn vò cm). Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñoù .

Gọi O là tâm cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giác



Ta có SABC = SOAB + SOBC + SOAC 0,5đ

= (AB+AC +BC) 0,5đ

vì soá ño dieän tích baèng soá ño chu vi

(AB+AC +BC)= (AB+AC +BC) 0,5đ

(cm) 0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c

* a2+b2+c2 = ab + ac + bc a2+b2+c2 - ab - ac – bc = 0 0,5đ



2a2+2b2+2c2 - 2ab - 2ac – 2bc = 0 (a – b)2+ (a – c)2+ (b – c)2 = 0 0,5đ

0,5đ

Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b,8a+13b) = (a,b) với a,b là các số nguyên.
Ta có : 8a+13b = 2(3a+5b)+(2a+3b) 0,5đ

3a+5b = 1(2a+3b) +(a+2b) 0,5đ

2a+3b = 2(a+2b) – b 0,25đ

Do đó: (8a+13b,3a+5b) = (3a+5b,2a+3b) 0,25đ

= (2a+3b, a+2b) 0,25đ

= (a+2b, b) = (a,b) 0,25đ



Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

Từ giả thiết ta có :



0,5đ
0,5đ




0,5đ


Nếu a+b =0 và a + b + c = 2012 thì c = 2012

Nếu c+b =0 và a + b + c = 2012 thì a = 2012

Nếu a+c =0 và a + b + c = 2012 thì b = 2012 0,5đ
Câu 11 : (2đ) ChoABC. M là một điểm thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng:

MA.BC < MC.AB + MB.AC

Vẽ MN// AB, (N AC) ; TrongAMN có AM < MN+NA (1) 0,5đ

MN// AB (2)



(3) 0,5đ


Từ (1) (2) (3) AM <+ 0,5đ

AM.BC < MC.AB + MB.AC 0,5đ


Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số không tối giản. ().
*1+ n2+ n7= 1+n+ n2+ n7- n = (1+n+ n2)+ n(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n(n3- 1) (n3+1)

= (1+n+ n2)+ n(n - 1) (1+n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n(n - 1)(n3+1)] 0,5đ
*1+ n+ n8 = 1+n+ n2+ n8- n2 = (1+n+ n2)+ n2(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n2(n3- 1) (n3+1)

= (1+n+ n2)+ n2(n - 1) (1+ n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n2(n - 1)(n3+1)] 0,5đ

Với phân số đã cho có thể ước lược cho 1+ n+ n2 , (1+ n+ n2 >1)



phân số không tối giản. 0,5đ

----------- HẾT ----------


Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm

tải về 50.81 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2024
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương