PHÒng giáo dụC ĐÀo tạo thành phố ĐÀ LẠT ĐỀ chính thứC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ thi học sinh giỏi thành phố



tải về 50.81 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu13.08.2016
Kích50.81 Kb.

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 1 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011


Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = .
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( aZ )
Câu 3 : (1,5đ) Cho ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .
Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.

Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.


Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.
Câu 6 :(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn:

Hãy tính tổng: S =


Câu 7 : (2đ) Moät tam giaùc coù soá ño dieän tích ( ñôn vò cm2) baèng soá ño chu vi ( ñôn vò cm). Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñoù .
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b, 8a+13b) = (a, b) với a, b là các số nguyên.
Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.
Câu 11 : (2đ) Cho ABC. M là một điểm thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng:

MA.BC < MC.AB + MB.AC


Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số không tối giản. ().
----------- HẾT ----------

HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................


Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................



PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT


KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011



HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN


Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = .

A 0,5đ

A 0,5đ

A = 0,5đ


Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( aZ )

A = a3 - 6a2 – 7a + 12  A = a3 – a - 6a2 – 6a + 12 0,5đ



A = a(a – 1)(a+1) – 6a2 – 6a + 12

Do a(a – 1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1)  6 0,5đ

Mặt khác - 6a2 – 6a + 12 6 nên A 6 0,5đ
Câu 3 : (1,5đ) Cho ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Gọi I là trung điểm của DC,suy ra IM là đường trung

bình tam giác BDC IM//BD và IM =BD 0,5đ

* c/m cân tại M (1)

*IM//BD (2) 0,5đ

Từ (1) (2)

cân tại K KA = KD 0,5đ

Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.

Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.

*HN//AB (1) 0,5đ

* (2)

Từ (1) ,(2) 0,5đ

BC2= AB2 + AC2 = c2+ b2

0,5đ



Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.

Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.

*NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè

*NÕu p 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k N*. 0,5đ

+) NÕu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè

+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) (p + 2) 3 vµ (p + 2) > 3. Do ®ã

p + 2 lµ hîp sè. 0,5đ

+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) (p + 4) 3 vµ( p + 4 ) > 3. Do ®ã

p + 4 lµ hîp sè.

VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè. 0,5đ


Câu 6:(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn : Hãy tính tổng: S =

0,5 đ

0,5 đ

Vậy S = 1+1 = 2 0,5 đ



Câu 7 : (2đ) Moät tam giaùc coù soá ño dieän tích ( ñôn vò cm2) baèng soá ño chu vi ( ñôn vò cm). Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñoù .

Gọi O là tâm cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giác



Ta có SABC = SOAB + SOBC + SOAC 0,5đ

= (AB+AC +BC) 0,5đ

vì soá ño dieän tích baèng soá ño chu vi

(AB+AC +BC)= (AB+AC +BC) 0,5đ

(cm) 0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c

* a2+b2+c2 = ab + ac + bc a2+b2+c2 - ab - ac – bc = 0 0,5đ



2a2+2b2+2c2 - 2ab - 2ac – 2bc = 0 (a – b)2+ (a – c)2+ (b – c)2 = 0 0,5đ

0,5đ

Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b,8a+13b) = (a,b) với a,b là các số nguyên.
Ta có : 8a+13b = 2(3a+5b)+(2a+3b) 0,5đ

3a+5b = 1(2a+3b) +(a+2b) 0,5đ

2a+3b = 2(a+2b) – b 0,25đ

Do đó: (8a+13b,3a+5b) = (3a+5b,2a+3b) 0,25đ

= (2a+3b, a+2b) 0,25đ

= (a+2b, b) = (a,b) 0,25đ



Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

Từ giả thiết ta có :



0,5đ
0,5đ




0,5đ


Nếu a+b =0 và a + b + c = 2012 thì c = 2012

Nếu c+b =0 và a + b + c = 2012 thì a = 2012

Nếu a+c =0 và a + b + c = 2012 thì b = 2012 0,5đ
Câu 11 : (2đ) ChoABC. M là một điểm thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng:

MA.BC < MC.AB + MB.AC

Vẽ MN// AB, (N AC) ; TrongAMN có AM < MN+NA (1) 0,5đ

MN// AB (2)



(3) 0,5đ


Từ (1) (2) (3) AM <+ 0,5đ

AM.BC < MC.AB + MB.AC 0,5đ


Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số không tối giản. ().
*1+ n2+ n7= 1+n+ n2+ n7- n = (1+n+ n2)+ n(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n(n3- 1) (n3+1)

= (1+n+ n2)+ n(n - 1) (1+n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n(n - 1)(n3+1)] 0,5đ
*1+ n+ n8 = 1+n+ n2+ n8- n2 = (1+n+ n2)+ n2(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n2(n3- 1) (n3+1)

= (1+n+ n2)+ n2(n - 1) (1+ n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n2(n - 1)(n3+1)] 0,5đ

Với phân số đã cho có thể ước lược cho 1+ n+ n2 , (1+ n+ n2 >1)



phân số không tối giản. 0,5đ

----------- HẾT ----------


Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương