Phân dạng các bài toáN ĐẠi số TỔ HỢp trong chưƠng trình toán trung học phổ thôNG’’



tải về 0.6 Mb.
trang3/3
Chuyển đổi dữ liệu18.08.2016
Kích0.6 Mb.
1   2   3

Bài tập tự giải

Bài 1: Giải phương trình .

Bài 2: Giải phương trình .

Bài 3: Giải phương trình .

2.3.2. Giải bất phương trình

Bài 1. Giải BPT: .

Giải:


Điều kiện: k .





(*).

Với thì bất phương trình (*) vô nghiệm.

Với thì (*) .

Do nên ta chọn .

Tương tự với .

.

Chọn .

Với thì .

Chọn

Với thì (*) .

Chọn .

Vậy BPT có 5 bộ nghiệm (n,k) là (0;0), (1;0), (1;1), (2;2),(3;3).

Bài 2. Tìm các số hạng dương của dãy: .

Giải:


Điều kiện : .















.

Vậy các số hạng dương là: .



Bài 3. Cho tập hợp có 18 phân tử, tìm sao cho số tập con gồm phần tử của là lớn nhất.

Giải :


Có số tập con của có phần tử là .

Xét (với ).





( do )



.

Do

Xét (với )

.

Do .

Như vậy .

Vậy .

Vậy số tập con có 9 phần tử của tập hợp là lớn nhất.

Bài tập tự giải

Bài 1: Giải bất phương trình .

Bài 2. Tìm các số hạng âm của dãy: .

Bài 3. Giải bất phương trình  .

Bài 4 : Giải bất phương trình  .

2.3.3. Giải hệ bất phương trình

Bài 1. Tìm biết .

Giải :


Điều kiện: .









(thỏa mãn).

Vậy nghiệm của hệ là = .



Bài 2: Giải hệ

Giải:


Điều kiện: .

Đặt

Có hệ : (thỏa mãn),



(loại)

Vậy



Bài 3: Giải hệ (I)

Giải:


Điều kiện : .

Có hệ (I)







.

Thế vào (2) ta được :









(do .

Do (loại).

Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Bài tập tự giải

Bài 1: Tìm sao cho :

.

Bài 2. Tìm sao cho : .

Bài 3 : Giải hệ phương trình:

Bài 4: Giải hệ phương trình

2.4. Bài toán đếm

Bài toán đếm là bài toán đặc trưng trong các dạng bài toán đại số tổ hợp và là bài toán thường xuất hiện trong cuộc sống thực tiễn.

Để thực hiện bài toán đếm ta thường sử dụng:


  • Mô phỏng bài toán bằng tập hợp.

  • Sử dụng định nghĩa hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp.

  • Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản.

Chú ý: Khi thực hiện bài toán đếm ngoài cách đếm trực tiếp theo yêu cầu bài toán ta có thể đếm gián tiếp thông qua kiểu đếm bù.

  1. Bài toán lập số

Bài 1: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được:

  1. Bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một.

  2. Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một và là số tiến( chữ số sau lớn hơn chữ số đứng trước nó).

Giải:

Gọi số cần lập là = , , .



  1. là số chẵn nên .

Trường hợp 1: Nếu có 1 cách chọn.

Khi đó là một bộ phân biệt có thứ tự được chọn từ X\{0} do đó nó là một chỉnh hợp 7 chập 4.



cách chọn.

=840 số.

Trường hợp 2: Nếu được chọn từ {2, 4, 6} Có 3 cách chọn.



được chọn từ tập X\{0, } có 6 cách chọn.

là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ X\{ } do đó nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 cách chọn.

Vậy có 3.6. =2160 số.

Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ là:

840+2160=3000 số.

b) Vì là số tiến nên và do



.

Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn.

Vậy số số cần tìm là số cách chọn ra 5 chữ số từ tập .

Vậy có =21 số thỏa mãn điều kiện.



Bài 2: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

Giải:


* Xét cả trường hợp .

Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách .

Chọn 3 số trong và sắp xếp vào 3 vị trí còn lại có cách .

Vậy có =2100 số.

* Chỉ xét .

Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách .

Chọn 2 số trong và sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có cách.

Vậy có . =180 số.

Vậy có 2100-180=1920 số thỏa mãn điều kiện.

Bài 3: , từ tập có thể lập được:

a) Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.

b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.

Giải:


a) Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là 100008, 100017, 100026, 100035, …, 999999.

Trong đó các số lẻ là 100017, 100035, …, 999999 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là = 100017, công sai d = 18, = 999999.

Ta có: .

Số các số hạng .

Vậy có 50000 số thỏa mãn điều kiện.

b) Xét 1 số có 4 chữ số tùy ý . Để là số lẻ ta có 2 khả năng:

Nếu tổng ( ) là số chẵn thì ta có thể chọn {1,3,5,7,9}.

Nếu tổng ( ) là số lẻ thì ta có thể chọn {0, 2, 4, 6,8}.

có 9 cách chọn ( 0).



có 10 cách chọn ( =2, 3, 4).

Mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số mà tổng của 5 chữ số này là số lẻ.

Vậy có tất cả 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện.

Bài 4: Cho , có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần. Tính tổng tất cả các số đó.

Giải:


Xét trường hợp các số lập được từ có 6 chữ số (cả trường hợp số 0 đứng đầu).

số.

Ta thấy các số trong tập đều xuất hiện 120 lần trên các hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị.

Vậy tổng tất cả các số lập được trong trường hợp này là:

Xét trường hợp số 0 đứng đầu , .

= 5!= 120 số.

Ta thấy các số 1, 2, 3, 4, 5 đều xuất hiện 24 lần trên các hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị.

Vậy tổng các số lập được trong trường hợp này là:

.

Tổng các số lập được có 6 chữ số là: số.

Tổng tất cả các số đó là:



.

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số và lớn hơn 685000 lập từ

Giải:


Gọi số cần tìm là:

, .

Trường hợp 1: Số có dạng ( ).



có thể nhận 3 giá trị 5, 7, 9 có 3 cách chọn.

là một bộ 4 số có thứ tự lập từ .

cách chọn bộ 4 số có kể thứ tự.

Có 3. số.

Trường hợp 2: Số có dạng .



là một bộ 5 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử.

số.

Trường hợp 3: số có dạng với .



có 3 cách chọn là 7, 8, 9.

là một bộ 6 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử.

số.

Vậy có số.

Bài tập tự giải

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần.

Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng trước.

Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa mãn.

a) Là số đối xứng.

b) Chữ số 3 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần và các chữ số khác xuất hiện không quá 1 lần.

Bài 4: Từ được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.

2.4.2. Bài toán chn vật, chn người, sắp xếp.

Bài 1: Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Giải:


cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó.

cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học.

cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc.

cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa.

Vậy có ( + + )=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện.

Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng.



Số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách.

Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa mãn điều kiện (cách giải trực tiếp).

Bài 2: Đội thanh niên xung kích của trường có 12 học sinh, gồm 5 học sinh khối lớp 10, 4 học sinh khối lớp 11 và 3 học sinh khối lớp 12.

  1. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh thuộc không quá 2 khối lớp.

  2. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 người sao cho tổ nào cũng có học sinh khối lớp 12 và có ít nhất hai học sinh khối lớp 10.

Giải:

a) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là .

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 em được tính như sau:

- Khối lớp 10 có 2 học sinh, các khối lớp 11, 12 có 1 học sinh có =120 cách.

- Khối lớp 11 có 2 học sinh, các khối lớp 10, 12 có 1 học sinh có =90 cách.

- Khối lớp 12 có 2 học sinh, các khối lớp 10, 11 có 1 học sinh có =60 cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 học sinh là 120+90+60=270.

Số cách chọn thỏa mãn là 495-270=225.

b) Ta chọn 6 học sinh thỏa mãn đề bài vào tổ 1, 6 học sinh còn lại tạo thành tổ 2.

cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 3 học sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12.

cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12.

cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12.

cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 1 học sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12.



Vậy có + + + = 600 cách chia tổ thỏa mãn đề bài.

Bài 3: nam, nữ. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) người ngồi quanh một bàn tròn.

b) người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện.

Giải:


Người thứ nhất có 1 cách chọn chỗ ngồi vì chỗ ngồi nào cũng không phân biệt so với bàn tròn.

Sau khi có chuẩn của người thứ nhất thì người còn lại có cách xếp chỗ ngồi.



Vậy có Cách.

b) Xếp nam vào 1 dãy ghế có cách.

Xếp nữ vào 1 dãy ghế có cách.

Đổi chỗ cặp nam nữ đối diện có 2.2…2= cách.



Vậy có cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau.

Bài 4: Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên lấy ra không đủ cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau.

Giải:


  • cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng.

  • cách chọn 4 viên không có màu vàng.

  • cách chọn 4 viên không có màu trắng.

  • cách chọn 4 viên không có màu đỏ.

Trong cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng.

Trong cách chọn 4 viên không có bi đỏ có chứa cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng.



Vậy có + + + - - =105 cách chọn.

Bài tập tự giải

Bài 1: Có 20 học sinh (8 nữ trong đó có Lan, 12 nam trong đó có Nam và Tí ).

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 7 người trong đó có nhiều nhất 2 trong 3 bạn Tí, Nam và Lan.

b) Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc sao cho Lan đứng đầu và các bạn nam luôn đứng cạnh nhau nhưng Tí và Nam không đứng cạnh nhau.

Bài 2: (ĐH Thăng Long, 1999) Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4.

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số.

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số?

Bài 3: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu hỏi ít nhất 5 điểm.

Bài 4: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giới tính.

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính.

2.4.3. Các bài toán khác

Bài 1: Cho điểm trong không gian trong đó có điểm đồng phẳng. Số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong điểm đó.

a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?

b) Có bao nhiêu tứ diện.

Giải:


Mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không đồng phẳng. Trong điểm sẽ có mặt phẳng ( nếu điểm này không có 4 điểm nào đồng phẳng).

Do trong điểm có điểm đồng phẳng tức là q điểm này chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng.



Số mặt phẳng cần tìm là .

b) Một tứ diện có 4 đỉnh tương ứng với 4 điểm không đồng phẳng trong điểm. Chọn 4 điểm bất kỳ trong điểm trên có cách.

Trong có chứa không là tứ diện.

Số tứ diện cần tìm là .

Bài 2: Trong mặt phẳng cho 3 điểm . Từ dựng m đường thẳng, từ dựng đường thẳng, từ dựng đường thẳng. Trong đó các đường thẳng vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳng nào song song. Tìm số các tam giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳng trừ 3 điểm .

Giải:


Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ .

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ là .

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ .

Tổng số giao điểm là: .

Mỗi bộ 3 giao điểm không thẳng hàng sẽ tạo ra 1 tam giác.



Số tam giác tạo ra là

Bài 3: Cho tập phần tử, tập phần tử. Có bao nhiêu:

  1. Ánh xạ .

  2. Đơn ánh khi .

  3. Toàn ánh khi .

Giải:

  1. Mỗi phần tử của cách chọn phần tử tương ứng trong làm ảnh.

Do X có phần tử số ánh xạ cách.

  1. Để là đơn ánh thì 2 phần tử khác nhau bất kỳ của sẽ tương ứng 2 ảnh là 2 phần tử khác nhau thuộc .

Do đó ban đầu ta chọn phần tử từ phần tử từ làm ảnh cho các phần tử của cách.

Sắp xếp phần tử của vào phần tử của đã chọn có cách.



Số đơn ánh = .

  1. Khi là toàn ánh thì là song ánh.

Số song ánh là .

Tổng quát:

Với thì số toàn ánh từ vào được tìm như sau:

Ta chọn phần tử có thứ tự của làm tạo ảnh cho phần tử của có cách chọn.

Khi đó trong còn phần tử, mỗi phần tử này có cách chọn ảnh.



số toàn ánh.

Bài 4: Tìm số đa thức bất khả quy bậc 3 trên .

Giải:


.

Xét các đa thức đơn hệ bậc 3 có dạng: .



Có 5.5.5=125 đa thức.

Nếu khả quy thì có dạng:

* đa thức.

* đa thức.

* có 5 đa thức.

* , ( là đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong ).

Ta đi tìm số đa thức bất khả quy trong .

Số đa thức dạng trong là 5.5=25.

Nếu khả quy thì có dạng:


  • đa thức.

  • có 5 đa thức.

Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong đa thức.

Số đa thức là 5.10=50.

Vậy số đa thức đơn hệ bậc 3 bất khả quy trên là:

Số đa thức bất khả quy bậc 3 trong là: 4.50=200 đa thức.

Tổng quát: Tìm số đa thức bất khả quy bậc 3 trong ( là số nguyên tố).

Giải:


  • Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trên là: .

  • Số đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba trên là: = ).

Số đa thức bất khả quy bậc ba trên .

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho tập hợp ={1, 2, …, 2012}.

a) Có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7.

b) Có bao nhiêu cách chọn ra số mà có 2 số liên tiếp.

Bài 2: Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác .

a) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh đa giác.

b) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác, không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

c) Giả sử không có 3 đường chéo nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo.



Bài 3: Trong cuộc thi cờ vua có người tham dự. mỗi người chơi đúng một bàn cờ với một người khác. CMR có cách sắp đặt.

Bài 4: Một đoàn người gồm người xuất phát từ điểm O, một nửa đi về hướng Đông, một nửa đi về hướng Tây. Mỗi nhóm mỗi khi gặp giao lộ lại tách làm đôi. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi có bao nhiêu người đến mỗi giao lộ ở hàng thứ 1000.

2.5. Một số bài toán về chnh hợp có lặp, hoán v có lặp, tổ hợp có lặp.

2.5.1. Bài toán về chỉnh hợp có lặp.

Bài 1: Cho .

Gọi là số các toàn ánh từ lên .

Chứng minh: .

Giải:


Ta có tổng số ánh xạ từ vào .

Một ánh xạ bất kỳ với phần tử là một toàn ánh từ lên . Chọn phần tử cách. Số toàn ánh từ lên tập phần tử đó là .



Số ánh xạ là toàn ánh từ lên phần tử là .

Vậy tổng số ánh xạ từ lên là: .

.

Tổng quát: Cho 1 . Gọi là số các toàn ánh từ lên

Chứng minh: .

Giải:

Ta có tổng số ánh xạ từ lên .



Một ánh xạ bất kỳ với phần tử là một toàn ánh từ lên .

Chọn phần tử từ tập cách và số toàn ánh toàn ánh lên tập phần tử đó là .



Số ánh xạ là toán ánh từ lên phần tử là .

hay .

Bài 2: Cho số nguyên tố khác nhau. Xét , khi ta bố trí các dấu ngoặc ( ) theo các cách khác nhau ta sẽ nhận được bao nhiêu số khác nhau.

Giải:


Với ta có số là

Với ta có số là :



Ta sẽ chứng minh có số khác nhau.

Giả sử điều này đúng với . Ta đi chứng minh nó đúng với .

Ta thấy một sự phân bố dấu ngoặc khác nhau sẽ cho ta một số dạng

R= , trong đó các thỏa mãn:

Như vậy các có thể xuất hiện trên tử hoặc xuất hiện dưới mẫu của phân số . Hay ta đi chọn vị trí cho các phần tử .



có 2 cách chọn,



có 2 cách chọn.

Vậy có cách chọn vị trí cho để tạo ra các phân số khác nhau.

phân số.

Bài 3: Xét mọi bộ số , với ,

Đặt . Tính tổng tất cả các lấy theo tất cả các bộ .

Giải:

Ta không xét các bộ chứa 0 vì không tham gia vào tổng .



Trong bộ các số trừ đi các bộ số còn lại bộ chứa số 1 ứng với và có tổng là .

Trong các bộ số trừ đi các bộ số còn lại bộ chứa số 2 là số nhỏ nhất ứng với và có tổng là 2[ ].

Vậy tổng tất cả các m(b) là:





Bài tập tự giải

Bài 1: Một bàn cờ hình chữ nhật chứa n cột và p dòng.

a) Có bao nhiêu cách đặt vật giống nhau vào ô của bàn cờ sao cho không có hai vật nào ở trong cùng một cột.

b) Cũng câu hỏi trên trong trường hợp vật là khác nhau.

Bài 2: số nguyên tố khác nhau. Tính số ước số của biểu thức .

Bài 3: vật trong đó có vật loại I giống nhau, vật loại II giống nhau, vật còn lại đều khác nhau. Tính số tất cả các tổ hợp có thể có được.

Bài 4: Từ bảng chữ cái mooc-xo gồm 2 kí hiệu là dấu chấm và dấu gạch ngang. Từ bảng chữ cái đó có thể lập được bao nhiêu từ chứa không nhiều hơn 5 chữ cái?

2.5.2. Bài toán hoán vị có lặp

Phương pháp:


  • Áp dụng trực tiếp công thức của hoán lặp.

  • Khi chứng minh một hệ thức có sự xuất hiện của ta xét a phần tử thuộc một loại phần tử thuộc một loại nào đó để cụ thể hóa ý nghĩa của hệ thức phải chứng minh.

Bài 1: Chứng minh định lý số học: ‘Tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho ’.

Giải: Ta giả sử n số tự nhiên liên tiếp là .

Đặt .

Xét số 1 và số 2, khi đó số hoán vị lặp của số là:



là số nguyên.

chia hết cho .

Bài 2: Có n người trong thang máy của một ngôi nhà 10 tầng. Họ đi ra theo 3 nhóm: a người ở nhóm 1, b người ở nhóm 2, c người ở nhóm 3, với .

Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện nếu ở mỗi tầng chỉ có một nhóm đi ra và thứ tự đi ra của những người trong cùng một nhóm là không có ý nghĩa.

Giải:

Bước 1: Ta chia n người thành 3 nhóm theo số lượng lần lượt là a, b, c có cách.



Bước 2: Chọn 3 tầng trong 10 tầng và phân phối các tầng đó cho 3 nhóm trên có cách.

Số cách thực hiện thỏa mãn đề bài là cách.

Bài 3: Có bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó số 1 lặp lại 3 lần, số 2 lặp lại 2 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần được lập từ tập A={0, 1, …,9}.

Giải:


Tất cả các số có 8 chữ số trong đó số 1 lặp lại 3 lần, số 2 lặp lại 2 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần được lập từ (a,b,c,1,1,1,1,2,2) là

số.

Chọn 3 số a, b, c từ A\{1, 2} có cách.



.3360=188160 số kể cả số 0 đứng đầu.

Ta xét trường hợp số 0 đứng đầu:

Chọn 2 số trong A\{0, 1, 2} có cách.

Trong trường hợp số 0 đứng đầu có số.

số.

Bài tập tự giải

Bài 1: Có bao nhiêu cách phân chia 10 người thành 3 nhóm trong đó nhóm 1 có 2 người, nhóm 2 có 3 người, nhóm 3 có 5 người.

Bài 2: Có bao nhiêu cách phân bố 6 đồ vật khác nhau cho 6 người (không phân biệt thứ tự các đồ vật mà mỗi người nhận được) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: Người thứ nhất nhận được 1 đồ vật, người thứ hai nhận được 2 đồ vật, người thứ ba nhận được 3 đồ vật, người thứ tư nhận được 1 đồ vật. Hai người còn lại không nhận được đồ vật nào.

Bài 3: Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó số 1 xuất hiện 2 lần, và chữ số hàng nghìn là số chẵn lập từ .

Bài 4: Có bao nhiêu số tạo ra từ tất cả các chữ số của số 1234321 sao cho các chữ số lẻ luôn chiếm hàng lẻ.

2.5.3. Bài toán tổ hợp có lặp.

Đối với các bài toán đếm mà một phần tử hoặc nhiều phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự các phần tử không cần để ý ta thường sử dụng tổ hợp lặp.

Chú ý công thức .

Bài 1: Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm tự nhiên.

Giải:


Nếu ( ) là một nghiệm tự nhiên của phương trình (1) thì ta có thể cho ứng với nó một tổ hợp lặp chập n của m phần tử .

Đảo lại nếu có một tổ hợp lặp chập n của m phần tử kiểu ( ) thì ta timg được nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho bằng cánh đặt , với .

Vậy số nghiệm tự nhiên của (1) là .

Bài 2: Một xe đưa công nhân từ xí nghiệp về nhà, xe dừng ở trạm ( tại mỗi trạm số công nhân xuống xe từ 0 đến người). Hỏi có bao nhiêu khả năng khác nhau để tất cả các công nhân xuống xe ở trạm.

Giải:


Ta giả sử trạm là và số người xuống tại mỗi trạm là .

Mỗi cách giải phóng người ở trạm có thể biểu diễn bằng đơn thức với .

Số khả năng khác nhau để tất cả các công nhân xuống là tổ hợp có lặp chập của phần tử .

khả năng khác nhau để công nhân xuống xe.

Bài 3: (Tổng quát bài 1) Tìm số nghiệm tự nhiên giải phương trình: (với ) (1) với , .

Giải:


Ta thấy một nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn những điều kiện đã cho ứng với một cách chọn mười một phần tử trong đó phần tử loại một, phần tử loại hai, …, phần tử loại m. Trước tiên ta chọn phần tử loại một, phần tử loại hai,..., phần tử loại m. Sau đó chọn thêm ( ) phần tử thuộc một trong loại.

Như vậy có: .



Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn và cố tổng các chữ số bằng .

Giải:


Mỗi số có thể đồng nhất với một nghiệm của phương trình = .

Ta có số.



Bài tập áp dụng:

Bài 1: (Đề thi đại học 2007) Có bao nhiêu bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện với .

Bài 2: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình

, thỏa mãn điều kiện .

Bài 3: Tìm số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 có ít nhất 5 bi, biết rằng hộp 2 và hộp 3 không chứa quá 6 bi.

2.6. Các bài toán liên quan đến nh thức

2.6.1. Bài toán khai triển đa thức

Đây là bài toán cơ bản của toán tổ hợp, sử dụng nhị thức Newton với những biến đổi thích hợp để giải quyết yêu cầu bài toán.

Công thức: .

Bài 1: Cho P(x) =( tìm biết hệ số của hạng chứa là 495.

Giải:




=

= .

Ta có:



Vậy .



Bài 2: Khai triển .

Giải:


Xét









.



.

Đặt







.

Bài 3: (Tổng quát bài 2) Khai triển đa thức: .

Giải:


Xét











.

Đặt









Nhận xét: Bài toán 3 có hệ số của khi cho biết hệ số của ta hoàn toàn có thể tìm được bằng cách giải phương trình: .

Bài 4: khai triển đa thức biết .

Giải:








.

Hệ số .

Với thì các bội số (k, i, j) thỏa mãn là (0, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 0, 1),…



(1).

Nếu vế trái của (1) lớn hơn 13 dùng phép thử thỏa mãn.

Vậy n = 4.

Bài tập tự giải:

Bài 1: Khai triển biết .

Bài 2: Thực hiện khai triển và so sánh 1,0…01 ( lần số 0) và 2.

Bài 3: Thực hiện khai triển biết hệ số của là 42.

Bài 4: Khai triển biết .


      1. . Bài toán về hệ số trong khai triển đa thức

        1. Bài toán tìm giá trị hệ số.

Khi thực hiện các bài toán tìm hệ số ta cần chú ý:

- Các hệ số của khai triển là n+1 số.



  1. Hệ số trong khai triển tổng đa thức là tổng các hệ số của , trong khai triển của tích là tổng các hệ số sau khi phân tích đầy đủ dạng . Đối với khai triển thì ta ghép nhóm thích hợp để chuyển về khai triển nhi thức.

Đnh lý 1: thì .

thỏa mãn

Hệ qu 1: Hệ số của trong khai triển

(với r+s+t+…=p)

Hay



Bài 1: tìm hệ số của trong khai triển.

Giải:


Áp dụng hệ quả 1 ta có hệ số của trong khai triển P(x) là:

.

Bộ thỏa mãn là: (2010, 1, 1), (2009, 3, 0).



= 36657955920.



Bài 2: Tìm hệ số không phụ thuộc vào của phương trình

Giải:




Hệ số không phụ thuộc vào

Với

Trong đó .

+ .

+ không tồn tại bộ (m, n, t) thỏa mãn.

+

.

Bài 3: Khai triển: .


  1. Tính hệ số .

  2. Tính ,

.

  1. CMR: chia hết cho 2012.

Giải:

a)



.

Hệ số với .

Các bội số (i, j) thỏa mãn: (0, 2),(2, 1),(4, 0).





.

b) Có .





;

c) Có





.

Bài 4: Cho . Tính hệ số .

Giải:






.

Bài 5: Xác định hệ số của khai triển: .

Giải:




Hệ số là:

=







Bài tập tự giải:

Bài 1: (ĐHTL-2000)

Cho đa thức: .

Có khai triển . Tính hệ số .

Bài 2: (ĐHQGHN-B(2000))

Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức



.

Bài 3: ( ĐHSPQN-A(2000))

Cho hàm số . Tìm hệ số của trong khai triển P(x).



Bài 4: Tìm hệ số của của khai triển

.

Bài 5: (Đề thi khối D- 2012) Cho khai triển : .

Gọi là hệ số , tìm n để .



2.6.2.2. Bài toán tìm hệ số lớn nhất.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm hệ số tổng quát của khai triển.

Bước 2: Lập tỷ lệ và rút gọn.

Bước 3: Cho (hoặc ) tìm nghiệm.

Bước 4: Kết luận.

Bài 1:


  1. Cho n>2 không đổi và . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

  2. là hai số nguyên dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

Giải:

  1. nên ta cho .

Xét :



nhỏ nhất khi hoặc . Hay giá trị nhỏ nhất là .

lớn nhất khi nếu là số lẻ và nếu chẵn.

giá trị lớn nhất là .

  1. Ta có: .

nhỏ nhất lớn nhất

lớn nhất nhỏ nhất hoặc .

Bài 2: (Mỹ, 74) Cho . Tìm ước chung lớn nhất của các .

Giải:


Nhận xét: trường hợp đơn giản .

Ta dự đoán .

Thật vậy ta có: (theo Pascal).

,



.

Ước chung d của cũng là ước của .

Biến đổi tương tự d là ước .

Tiếp tục quá trình ta có d là ước của .

Bài 3: (Úc, 82) Cho .

a) CMR: .

b) Tìm sao cho: nhỏ nhất và là số nguyên với mọi số nguyên dương n ≥ m.

Giải:


a) nguyên dương.

b) Ta đi chứng minh .

Với ta phải có nguyên.

Số nguyên dương nhỏ nhất là .

Với thì:



  • Nếu thì nguyên.

  • Nếu thì

Bài 4: Xác định sao cho khai triển nhị thức có hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất.

Giải:


.

Hệ số của hạng tử thứ 10, 11, 12 là , , .

Để hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất thì:

.

.

Bài 5: Cho đa thức . Tìm .

Giải:


,

.

Xét ,



< .

> .

đạt giá trị lớn nhất tại hay

.

Tổng quát:

P(x)= , tìm .

Giải:

.

.

Xét



< .

> .

Nếu cùng dấu thì:

* <

* >

Nếu nguyên thì hoặc .

Nếu không nguyên thì .

Nếu trái dấu thì:

* <

* >

Nếu k= nguyên thì hoặc .

Nếu k= không nguyên thì , hoặc .

Bài tập tự giải:

Bài 1: Khai triển . Tìm .

Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển , biết tổng hệ số 3 hạng tử đầu là .

Bài 3: Tìm hệ số trong khai triển . Xét các trường hợp m k.

Bài 4: Sau khi khai triển thì hệ số của của đa thức nào lớn hơn? Rút ra trường hợp tổng quát cho .

2.6.3. Bài toán tìm số hạng và số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức

Phương pháp:

Bước 1: Dùng công thức nhị thức khai triển đa thức.

Bước 2: Rút gọn số mũ của các ẩn.

Bước 3: Dựa vào dữ kiện bài cho tìm số hạng thỏa mãn điều kiện.



Chú ý: + Nếu số hạng tổng quát thì số hạng của tương ứng với . Số hạng không chứa ứng với .

+ Nếu số hạng tổng quát thì số hạng nguyên tương ứng với là các số tự nhiên,…



Bài 1: Cho khai triển tìm hạng tử của khai triển trên có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

Giải:


= .

Gọi là số hạng thứ của khai triển.











.

Tương tự : .

Mà: .

Hạng tử thứ 32 của khai triển có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

Bài 2: Tìm biết hạng tử thứ 6 của khai triển:

là 84.

Giải:


Hạng tử thứ 6 của khai triển là:

Theo bài ra:



Vậy hoặc .



Bài 3: Cho có 3 hệ số đầu lập thành một cấp số cộng. Tìm tất cả các số hạng trong đó lũy thừa của có số mũ tự nhiên.

Giải:




.

, , .

Do hệ số 1, lập thành cấp số cộng nên:



(do .

+ Với . Do .

Hay số hạng thỏa mãn điều kiện.

+ Với . Do



thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: thì , thì , .



Bài 4: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển: biết rằng

Giải:


Gọi là số hạng thứ của khai triển .

Xét



.



Tương tự .



đạt giá trị lớn nhất bằng số nguyên thỏa mãn:

.

Nếu là số nguyên thì .

Tức là có hai số hạng có giá trị lớn nhất là .

Bài tập tự giải:

Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển . Nếu số hạng cuối cùng của khai triển là: .

Bài 2: Tìm hạng tử của khai triển có giá trị tuyệt đối lớn nhất cho biết .

Bài 3: Tìm giá trị tuyệt đối của sao cho khai triển có tổng các hạng tử thứ ba và năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22.

Bài 4: Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển .

Hướng dẫn : ta chỉ cần tìm số hạng lớn nhất của khai triển .



2.6.4. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp

Ở trong phần 2.1. và 2.2. ta đã giải quyết 1 số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp. Trong phần này ta đi giải quyết một số bài tập cơ bản khác sử dụng công thức nhị thức Newton.

Phương pháp:

+ Dùng công thức, bất dẳng thức cơ bản.

+ Dùng quy nạp.

+ Dùng tính đơn điệu của dãy số.



Bài 1: Cho 2 số dương thỏa mãn . CMR , .

Giải:


Đặt , ( ).

Khi đó:








Bài 2: CMR: Với mọi thì

Giải:


+ .

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

+ Với



Bất đẳng thức đúng với .

thì

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli. Với số dương và với mọi ta có .

Giải:


.

Vì theo giả thuyết tất cả các số hạng của đẳng thức trên đều dương.

Do n>1 khai triển có ít nhất ba số hạng

.

Tức là , .



Bài tập tự giải

Bài 1: CMR ( ).

Bài 2: CMR .

Bài 3: Cho dãy số thực

a) Chứng minh là dãy giảm.

b) Chứng minh .

Bài 4: Cho m, n nguyên dương thỏa mãn . CMR: .

KẾT LUẬN
Trong quá trình làm khóa luận em nhận thấy toán tổ hợp có vẻ đẹp riêng, em cũng hiểu sâu hơn về nó và đã hệ thống và xây dựng được một số bài toán hay và khó.

Các kết quả của khóa luận là:



  • Hệ thống đầy đủ cơ sở lý thuyết để giải các bài toán đại số tổ hợp bao gồm lý thuyết về tập hợp và lý thuyết về tổ hợp.

  • Phân dạng và hệ thống một cách khá công phu các bài toán hay và khó của đại số tổ hợp.

  • Đặc biệt khóa luận đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán để thu được các bài toán mới phức tạp hơn.

Khóa luận là một nghiên cứu cơ bản về toán tổ hợp. Em mong muốn rằng kết quả của khóa luận sẽ góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức toán tổ hợp. Khóa luận là một tài liệu bổ ích cho công tác giảng dạy và học tập, ngoài ra khóa luận không chỉ dừng lại ở việc cung cấp các bài toán hay mà còn mang đến cho người học cách thức, tư duy để xây dựng các bài toán mới vì vậy nó còn là tài liệu tham khảo rất tốt cho những ai yêu thích tổ hợp và có lòng say mê tìm tòi, sáng tạo.

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận do thời gian hạn chế nên trong thời gian tiếp theo sau khi hoàn thành khóa luận, em vẫn tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về tổ hợp để tổng hợp các phương pháp, kỹ năng giải và có một hệ thống bài tập hay, đa dạng hơn. Em rất mong được sự giúp đỡ nhiều hơn nữa của các thầy cô và các bạn.



TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn gii các dng bài tập từ các đề thi quốc gia môn toán, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội (2010).

[2]. Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn, Bài ging chuyên sâu toán thpt gii toán đi số và gii tích 11, Nhà xuất bản Hà Nội (2007).

[3]. Nguyễn Văn Cơ, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đi hc và cao đẳng năm hc 2001-2002 đến năm hc 2005-2006 môn toán, Nhà xuất bản Đại học sư phạm (2005).

[4]. Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Lam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên, Đi số và gii tích 11,Nhà xuất bản giáo dục (2008).

[5]. Ngô Long Hậu-Trần Thanh Phong-Nguyễn Đình Thọ, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đi hc - cao đẳng toàn quốc từ 2002 2003 đến năm 2011 2012, Nhà xuất bản Hà Nội (2011).

[6]. Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu đi số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất bản giáo dục (1998).

[7]. Hoàng Văn Minh – Nguyễn Tuấn Quế, Bộ đề ôn luyện thi toán, Nhà xuất bản Đại hoc sư phạm (2011).

[8]. Hoàng Văn Minh-Nguyễn Đức Tiến, Phương pháp ôn luyện thi đi hc cao đẳng môn toán theo ch đề-ch đề tổ hợp và xác suất, Nhà xuất bản Đại học sư phạm (2010).

[9]. Vũ Trí – Trần Hà, Tuyển tập 39 đề thi thử thi tuyển sinh vào các trường đi hc cao đẳng môn toán, Nhà xuất bản Hà Nội (2011).

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng được dùng trong sách giáo khoa:

là số các chỉnh hợp chập của phần tử.

là số các chỉnh hợp có lặp của phần tử.

là số các tổ hợp chập của phần tử.

là số các tổ hợp có lặp của phần tử.

CMR: Chứng minh rằng.

CT: Công thức.

: phần nguyên của n.

là số các hoán vị có lặp của phần tử.

là số các hoán vị của phần tử.

: Điều phải chứng minh.

Trong khóa luận nếu không có điều kiện của thì ta hiểu chúng thuộc .


  • MỤC LỤC TRANG

  • Lời mở đầu 1

  • Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp 3

  • 1.1. Nhắc lại về tập hợp 3

  • 1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân 4

  • 1.2.1. Quy tắc cộng 4

  • 1.2.2. Quy tắc nhân 5

  • 1.3. Giai thừa và hoán vị 5

  • 1.4. Chỉnh hợp 6

  • 1.5. Tổ hợp 6

  • 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 7

  • 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp 7

  • 1.6.2. Hoán vị có lặp 7

  • 1.6.3. Tổ hợp có lặp 7

  • 1.7. Nhị thức Newton 8

  • 1.7.1. Nhị thức Newton 8

  • 1.7.2. Tam giác Pascal 8

  • Chương 2: Các dạng toán đại số tổ hợp 9

  • 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 9

  • 2.2. Bài toán tính tổng 12

  • 2.2.1. Sử dụng công thức 13

  • 2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton 19

  • 2.2.3. Sử dụng đạo hàm 23

  • 2.2.4. Sử dụng tích phân xác định 27

  • 2.3. Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 31

  • 2.3.1. Giải phương trình 31

  • 2.3.2. Giải bất phương trình 34

  • 2.3.3. Giải hệ bất phương trình 36

  • 2.4. Bài toán đếm 39

  • 2.4.1. Bài toán lập số 40

  • 2.4.2. Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp 44

  • 2.4.3. Các bài toán khác 48

  • 2.5. Một số bài toán về chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp, tổ có hợp lặp 52

  • 2.5.1. Bài toán về chỉnh hợp có lặp 52

  • 2.5.2. Bài toán hoán vị có lặp 55

  • 2.5.3. Bài toán tổ hợp có lặp 57

  • 2.6. Các bài toán liên quan đến nhị thức 60

  • 2.6.1. Bài toán khai triển đa thức 60

  • 2.6.2. Bài toán về hệ số trong khai triển đa thức 64

  • 2.6.2.1. Bài toán tìm giá tri hệ số 64

  • 2.6.2.2. Bài toán tìm hệ số lớn nhất 67

  • 2.6.3. Bài toán tìm số hạng và số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức 73

  • 2.6.4. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 77

  • Kết luận 80

  • Tài liệu tham khảo 81




: file -> downloadfile3
downloadfile3 -> Tiêu chuẩn tcvn 5744-1993
downloadfile3 -> VÍ DỤ VÀ BÀi tập thực hành làm kế toán trên excel
downloadfile3 -> C헧 lạc bộ dạy học thi thử ĐẠi học lầN 1- năm họC: 2012-2013 mn : VẬt lí
downloadfile3 -> SỞ giáo dục và ĐÀo tạo kiểm tra chất lưỢng học kỳ I đỒng tháp năm học: 2012-2013
downloadfile3 -> I. Chương cơ sở hóa học của sự sống Câu Cơ thể sống có khoảng bao nhiêu nguyên tố hóa học ?
downloadfile3 -> TỔ: tiếng anh khung ma trậN ĐỀ kiểm tra 1t lẩN 1 hkii (2011-2012) tiếng anh lớP 11
downloadfile3 -> Đại từ, Đại từ sở hữu, Tính từ, Danh từ I will touch to you, my dream!!!!
downloadfile3 -> Ma trậN ĐỀ kiểm tra hkii lớP 11
downloadfile3 -> PHẦn I. Phóng xạ, TIA Phóng xạ VÀ BẢn chất khái niệm về phóng xạ: a. Khái niệm: Phóng xạ


1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương