Phân dạng các bài toáN ĐẠi số TỔ HỢp trong chưƠng trình toán trung học phổ thôNG’’



tải về 0.6 Mb.
trang2/3
Chuyển đổi dữ liệu18.08.2016
Kích0.6 Mb.
1   2   3

Chú ý: = 0.

(0n).

+= ().

1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp

1.6.1. Chỉnh hợp có lặp

Đnh ngha: Cho vật . Một chỉnh hợp chập có lặp lại gọi tắt là chỉnh hợp lặp của vật đó là một dãy thứ tự gồm phần tử trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần.

Chú ý:

  • Số các chỉnh hợp lặp chập của phần tử là .

  • Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng.

      1. Hoán vị lặp

Cho một tập hợp gồm vật, trong đó có vật loại giống nhau, vật loại giống nhau,…, vật loại giống nhau. Với , khi đó số cách hoán vị thực sự khác nhau là: =

      1. Tổ hợp lặp

Cho vật . Một tổ hợp chập có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần.

Kí hiệu: là số tổ hợp có lặp chập của phần tử.



Chú ý:

  • Số tổ hợp có lặp lại chập = = .

  • Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý.



    1. Nhị thức Newton

      1. Nhị thức Newton

được gọi là công thức nhị thức Newton.

Hệ qu:

.

Chú ý:

- Số các số hạng của sự khai triển .

- Tổng các số mũ của trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số mũ .

- Số hạng tổng quát của khai triển là



.

- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do ().



1.7.2. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức có thể được sắp xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal).



1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

… …


Như vậy += được gọi là hệ thức Pascal.

Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp

Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ý khi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng cho từng dạng.



2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương pháp thích hợp như:



  • Sử dụng các công thức, các quan hệ giữa các đại lượng tổ hợp.

  • Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.

  • Sử dụng quy nạp toán học.

  • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Bài 1: CMR: , với , >2.

Giải:


Ta có = .

, với .

Áp dụng cho , ta có:





.

. (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy



.

Áp dụng cho ta có:







.



. (2)

Từ (1), (2) , với , .



Bài 2: CMR: !> (với ).

Giải:

* thì 1! > (đúng).

* Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là : k! > (với ).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với .



=

> ( )

Vậy !> với .

Bài 3: Chứng minh (với 0 ; ).

Giải:


Đặt .

Ta chứng minh ( ) là dãy giảm.

Thật vậy thì:







0 (đúng)





Bài 4: Cho . CMR: (1)

Giải:


Với thì bất đẳng thức có dạng: (luôn đúng).

Với

Do .

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :



.

Vậy ( ).

Dấu ‘=’ xảy ra

Bài tập tự giải

Bài 1: CMR : .

Bài 2: CMR: (3 .

Bài 3: 2 . Chứng minh: .

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối B, 2008)

CMR: .



Bài 5: CMR: chia hết cho tích số .

2.2. Bài toán tính tổng

Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải. Khóa luận chia ra làm 4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sử dụng công thức nhị thức Newton.



2.2.1 Sử dụng công thức

Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt trên nó để tính tổng tổ hợp như:



.

.

….

Tổng quát: (với ).

CT4: ,

,



Tổng quát:

(với ).

Bài 1: Tính . Tổng quát: Tính .

Giải:


Theo CT1 ta có:









Tổng quát:









.

Vậy .



Bài 2: Tính . Tổng quát: .

Giải:


Theo CT3.1 ta có:













.

Tổng quát: .













.

Bài 3: Tính . Tổng quát tính .

Giải:


Áp dụng CT3.2 ta có:













Tổng quát:











.

Bài 4: (Mở rộng bài 1) Tính .

Giải:
















.

Bài 5: Tính Tổng quát tính

Giải:


Áp dụng CT4 ta có:







Tổng quát:







.

Bài tập tự giải

Bài 1: Tính tổng .

Bài 2: Tính tổng và tổng quát bài toán.

Bài 3: Tính

2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton

Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho các bài toán tính tổng tổ hợp.

Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển:





...


Bài 1: Tính với .

Giải:


Ta có .

Chọn , ta có:



(với p là số lẻ lớn nhất nhỏ hơn n).

Theo định lý Moivre ta có:

.

Đồng nhất 2 vế .



Bài 2: Tính .

Giải:


Từ (1) thấy hệ số của .

Từ (2) ta thấy hệ số của

.

.



(*)

.

(3).

(4).

Ở (4) hệ số của .

Ở (3) hệ số của .

.

(**).

Lấy (*) + (**) ta có :



Lấy ta có:





Bài 3: Tính với .

Giải:


Theo bài 1 ta có: (1).

Với



.

Cho ,



.

(2) (với ) và (3)

(với ).

(1) + (2) ta có :

Bài 4: Tính , với .

Giải:


Theo (3) của bài 3 có (4).

Theo bài 1 ta có : (5).



(với ).

Bài tập tự giải

Bài 1: Tính

Bài 2: Tính .

Bài 3: Tính .

Bài 4: Tính .

2.2.3. Sử dụng đạo hàm

Từ ,

Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2.... cấp hai vế một cách thích hợp để tính các tổng tổ hợp.

Bài 1: Tính .

Giải:


Ta có

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có :



.

Cho .



Chú ý: Khi cho các giá trị khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau. Tùy thuộc vào bài toán ta chọn thích hợp.

Tổng quát: Tính .

Giải:


Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có:

(2).

Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta có:



,

Lấy đạo hàm hai vế (1) cấp m ta có :



.

Cho



.

Bài 2: Tính .

Giải:


Theo bài 1 ta có:

(1).

(2).

Thay ta được:



(3).

Nhân vế với vế của (1) với (3) và đồng nhất hóa số hạng không chứa của phương trình .





Bài 3: Tính

Giải:




Ta có: (1)

Xét

Khi t = , ta có:

Xét

Lấy đạo hàm (1), ta có:



(2)

Khi , ta có:



(2)

Nhân cả hai vế của (2) với , ta được:







.

Bài 4: Tính .

Giải: Ta có (1).

Lấy đạo hàm hai vế (1) lần, ta có:

(2)

Nhân cả hai vế phương trình (2) với ta có :



.

Chọn



.

Bài tập tự giải

Bài 1: Tính và tổng quát bài toán.

Bài 2: Tính .

Bài 3: Tính .

Bài 4: (ĐHSP TPHCM-A, 2011) Tính .

2.2.4. Sử dụng tích phân xác định

Một số bài toán tính tổng ta thường sử dụng tích phân với cận thích hợp tùy thuộc vào bài toán cụ thể.



Bài 1: Tính S = .

Giải:


Ta có: = (1).

Lấy tích phân hai vế (1)









Bài 2: Tính .

Giải:


Ta có:





.

Do đó









Bài 3: Tính .

Giải:


.

Ta có (1)

Nhân cả hai vế của (1) với x, ta có: (2)

Lấy tích phân hai vế của (2), ta có:













Bài 5: Tính .

Giải:






Mặt khác (theo phần 2.2.2, bài 1).



Xét



(1)

Lấy tích phân hai vế của (1), ta có:





Vậy





Bài tập tự giải

Bài 1: tính .

Bài 2: (ĐHBK, 1997) Tính: .

Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối A, 1997) Tính

Bài 4: Tính

Bài 5: Tính

    1. Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình

Đối với các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cần tìm điều kiện của ẩn số, sau đó sử dụng các công thức biến đổi thích hợp biến đổi vế phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cơ bản.

Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn.

+ Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác.



2.3.1. Giải phương trình

Bài 1: Giải phương trình (1)

Giải:


Điều kiện :

(1)









(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm .



Bài 2: Giải phương trình (1).

Giải:


Điều kiện:









(thỏa mãn).

Vậy phương trình có 2 nghiệm hoặc .



Bài 3: Giải phương trình (1).

Giải:


Điều kiện : .





Vậy nghiệm của phương trình là : (1, 3), (0, 3), (2, 3), (3, 3).



Bài 4: Giải phương trình (1)

(với ).

Giải:



Với



( ).

Vậy (1)





( thỏa mãn).

Vậy .



: file -> downloadfile3
downloadfile3 -> Tiêu chuẩn tcvn 5744-1993
downloadfile3 -> VÍ DỤ VÀ BÀi tập thực hành làm kế toán trên excel
downloadfile3 -> C헧 lạc bộ dạy học thi thử ĐẠi học lầN 1- năm họC: 2012-2013 mn : VẬt lí
downloadfile3 -> SỞ giáo dục và ĐÀo tạo kiểm tra chất lưỢng học kỳ I đỒng tháp năm học: 2012-2013
downloadfile3 -> I. Chương cơ sở hóa học của sự sống Câu Cơ thể sống có khoảng bao nhiêu nguyên tố hóa học ?
downloadfile3 -> TỔ: tiếng anh khung ma trậN ĐỀ kiểm tra 1t lẩN 1 hkii (2011-2012) tiếng anh lớP 11
downloadfile3 -> Đại từ, Đại từ sở hữu, Tính từ, Danh từ I will touch to you, my dream!!!!
downloadfile3 -> Ma trậN ĐỀ kiểm tra hkii lớP 11
downloadfile3 -> PHẦn I. Phóng xạ, TIA Phóng xạ VÀ BẢn chất khái niệm về phóng xạ: a. Khái niệm: Phóng xạ


1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương