Phân dạng các bài toáN ĐẠi số TỔ HỢp trong chưƠng trình toán trung học phổ thôNG’’
tải về 0.6 Mb.
|
- Điều hướng trang này:
- 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp Đ ị nh ngh ĩ a
- Nhị thức Newton Nhị thức Newton
- Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp
- 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
- Bài tập tự giải Bài 1
- 2.2. Bài toán tính tổng
- 2.2.1 Sử dụng công thức
- Tổng quát: . Vậy . Bài 2
- T ổ ng quát
- Tổng quát: . Bài 4
- Tổng quát: . Bài tập tự giải Bài 1
- Chú ý
- 2.3.1. Giải phương trình Bài 1
Chú ý:  = 0.
(0n).
+= ().
1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa: Cho vật . Một chỉnh hợp chập có lặp lại gọi tắt là chỉnh hợp lặp của vật đó là một dãy thứ tự gồm phần tử trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần.
Chú ý:
Cho một tập hợp gồm vật, trong đó có vật loại giống nhau, vật loại giống nhau,…, vật loại giống nhau. Với , khi đó số cách hoán vị thực sự khác nhau là: =
Cho vật . Một tổ hợp chập có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần.
Kí hiệu: Chú ý:
được gọi là công thức nhị thức Newton.
Hệ quả: .
Chú ý: - Số các số hạng của sự khai triển - Tổng các số mũ của - Số hạng tổng quát .
- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do 1.7.2. Tam giác Pascal Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… …
Như vậy += được gọi là hệ thức Pascal.
Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ý khi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng cho từng dạng. 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương pháp thích hợp như:
Bài 1: CMR: , với , >2.
Giải:
Ta có = .
Mà Áp dụng cho Áp dụng bất đẳng thức Cauchy .
Áp dụng cho
…
. (2)
Từ (1), (2) Bài 2: CMR: !> (với ). Giải: * thì 1! > (đúng). * Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là : k! > (với ). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với . = > ( ) Vậy !> với .
Giải:
Đặt . Ta chứng minh ( ) là dãy giảm. Thật vậy thì:
Giải:
Với thì bất đẳng thức có dạng: (luôn đúng). Với Do .
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : . Vậy ( ). Dấu ‘=’ xảy ra
CMR: . Bài 5: CMR: chia hết cho tích số . 2.2. Bài toán tính tổng Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải. Khóa luận chia ra làm 4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sử dụng công thức nhị thức Newton. 2.2.1 Sử dụng công thức Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt trên nó để tính tổng tổ hợp như: . . ….
CT4: ,
…
(với ).
Giải:
Theo CT1 ta có: Tổng quát: . Vậy . Bài 2: Tính . Tổng quát: . Giải:
Theo CT3.1 ta có: . Tổng quát: . . Bài 3: Tính . Tổng quát tính . Giải:
Áp dụng CT3.2 ta có: Tổng quát: . Bài 4: (Mở rộng bài 1) Tính . Giải:
. Bài 5: Tính Tổng quát tính Giải:
Áp dụng CT4 ta có: Tổng quát: . Bài tập tự giải Bài 1: Tính tổng . Bài 2: Tính tổng và tổng quát bài toán. Bài 3: Tính 2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho các bài toán tính tổng tổ hợp. Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển:
...
Bài 1: Tính với . Giải:
Ta có . Chọn , ta có: (với p là số lẻ lớn nhất nhỏ hơn n). Theo định lý Moivre ta có:
Đồng nhất 2 vế Và . Bài 2: Tính và . Giải:
Từ (1) thấy hệ số của là . Từ (2) ta thấy hệ số của là
Mà . (*) . (3). (4). Ở (4) hệ số của là . Ở (3) hệ số của là .
Lấy (*) + (**) ta có : Lấy ta có: Bài 3: Tính với . Giải:
Theo bài 1 ta có: (1). Với . Cho , . (2) (với ) và (3) (với ). (1) + (2) ta có :
Giải:
Theo (3) của bài 3 có (4). Theo bài 1 ta có : (5). (với ). Bài tập tự giải Bài 1: Tính Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: Tính . 2.2.3. Sử dụng đạo hàm Từ , Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2.... cấp hai vế một cách thích hợp để tính các tổng tổ hợp.
Giải:
Ta có Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có : . Cho . Chú ý: Khi cho các giá trị khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau. Tùy thuộc vào bài toán ta chọn thích hợp. Tổng quát: Tính . Giải:
Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: (2). Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta có: , … Lấy đạo hàm hai vế (1) cấp m ta có : . Cho . Bài 2: Tính . Giải:
Theo bài 1 ta có: (1). (2). Thay ta được: (3). Nhân vế với vế của (1) với (3) và đồng nhất hóa số hạng không chứa của phương trình . Bài 3: Tính Giải:
Ta có: (1) Xét Khi t = , ta có: Xét Lấy đạo hàm (1), ta có: (2) Khi , ta có: (2) Nhân cả hai vế của (2) với , ta được: . Bài 4: Tính . Giải: Ta có (1). Lấy đạo hàm hai vế (1) lần, ta có:
Nhân cả hai vế phương trình (2) với ta có : . Chọn . Bài tập tự giải Bài 1: Tính và tổng quát bài toán. Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: (ĐHSP TPHCM-A, 2011) Tính . 2.2.4. Sử dụng tích phân xác định Một số bài toán tính tổng ta thường sử dụng tích phân với cận thích hợp tùy thuộc vào bài toán cụ thể. Bài 1: Tính S = . Giải:
Ta có: = (1). Lấy tích phân hai vế (1) Bài 2: Tính . Giải:
Ta có: . Do đó Bài 3: Tính . Giải:
. Ta có (1) Nhân cả hai vế của (1) với x, ta có: (2) Lấy tích phân hai vế của (2), ta có: Bài 5: Tính . Giải:
Mặt khác (theo phần 2.2.2, bài 1). Xét (1) Lấy tích phân hai vế của (1), ta có: Vậy Bài tập tự giải Bài 1: tính . Bài 2: (ĐHBK, 1997) Tính: . Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối A, 1997) Tính Bài 4: Tính Bài 5: Tính
Đối với các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cần tìm điều kiện của ẩn số, sau đó sử dụng các công thức biến đổi thích hợp biến đổi vế phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cơ bản. Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn. + Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác. 2.3.1. Giải phương trình Bài 1: Giải phương trình (1) Giải:
Điều kiện : (1) (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm . Bài 2: Giải phương trình (1). Giải:
Điều kiện: (thỏa mãn). Vậy phương trình có 2 nghiệm hoặc . Bài 3: Giải phương trình (1). Giải:
Điều kiện : . Vậy nghiệm của phương trình là : (1, 3), (0, 3), (2, 3), (3, 3). Bài 4: Giải phương trình (1) (với và ). Giải: Có Với ( ). Vậy (1) ( thỏa mãn). Vậy . Каталог: file -> downloadfile3 downloadfile3 -> Tiêu chuẩn tcvn 5744-1993 downloadfile3 -> VÍ DỤ VÀ BÀi tập thực hành làm kế toán trên excel downloadfile3 -> C헧 lạc bộ dạy học thi thử ĐẠi học lầN 1- năm họC: 2012-2013 mn : VẬt lí downloadfile3 -> SỞ giáo dục và ĐÀo tạo kiểm tra chất lưỢng học kỳ I đỒng tháp năm học: 2012-2013 downloadfile3 -> I. Chương cơ sở hóa học của sự sống Câu Cơ thể sống có khoảng bao nhiêu nguyên tố hóa học ? downloadfile3 -> TỔ: tiếng anh khung ma trậN ĐỀ kiểm tra 1t lẩN 1 hkii (2011-2012) tiếng anh lớP 11 downloadfile3 -> Đại từ, Đại từ sở hữu, Tính từ, Danh từ I will touch to you, my dream!!!! downloadfile3 -> Ma trậN ĐỀ kiểm tra hkii lớP 11 downloadfile3 -> PHẦn I. Phóng xạ, TIA Phóng xạ VÀ BẢn chất khái niệm về phóng xạ: a. Khái niệm: Phóng xạ tải về 0.6 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|