Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp
NHÓM- VÀNH -TRƯỜNG
1. NHÓM- NHÓM CON
VD 1 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :
-
Tính
-
Chứng minh rằng là một nhóm aben.
-
Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?
Giải
a) 1+2-3.1.2=-3; = ; =
b) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.
+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)
+
=a+b+c-3bc-3ab-3ac+9abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)
+
Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)
+Mọi phần tử đều khả đối xứng
ta có : ( v́ a . Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)
c) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.
Thật vậy, ,
VD2 : Trên tập xác định phép toán như sau : . CMR : là một nhóm aben.
Giải
+ Tính chất giao hoán :
+ Tính chất kết hợp :
x+y+z+2
+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,
+ Mọi phần tử khả đối xứng :
và . Như vậy , phần tử đối x là –x-2
Vậy, là một nhóm aben.
VD3: Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm.
Giải
Để chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực
Thật vậy, Ta có :
+ v́ 0=
+
trong đó a,b,c,d
Do đó: x-y = . Vậy (X,+) là một nhóm.
VD4 : Gọi X là tập hợp các số thực có dạng trong đó a,b
-
CMR tập X cùng với phép toán nhân thông thường là một nhóm.
-
Nếu thay bởi th́ (X,*) có phải là 1 nhóm không ?
Giải
a)
Để chứng minh (X,*) là 1 nhóm, ta c/m X là nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 (
Ta có :
+
+ với a,b,c,d ,
Do đó : x.y=
Và
Vậy(X,*) là một nhóm.
b) Nếu thay bởi , ta có :
khi đó với Ta có : . Tức là phần tử không khả nghịch.
Vậy ( X,*) không phải là 1 nhóm.
VD5 : Trên tập xác định phép toán * như sau :
(a,b)*(c,d)=(ad+c,bd),
a) Chứng minh rằng : (X,*) là một nhóm
b) Hỏi X có phải là một nhóm aben không ? Tại sao ?
c) CMR : Tập với phép toán * là một nhóm con của nhóm X.
Giải
a) + Phép toán * có tính chất kết hợp :
, Ta có :
((a,b)*(c,d))*(e,f))=
Và : (a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(cf+e,df)=(adf+cf+e,bdf)=((a,b)*(b,c))*(e,f)
+ Tồn tại phần từ trung ḥa e=(e1,e2)
ta có : (a,b)*(e1,e2)=(a,b)
Như vậy, ta có : = .
Do đó là phần tử trung ḥa.
+ Mọi phần tử đều khả đối xứng :
ta có :
Và . Vậy
Như vậy, phần từ đối xứng của (a,b) là
Kết luận : (X,*) là một nhóm.
b) , ta có : + và
Chọn (c,d)=(0,2) (a,b)=(1,1) . Khi đó : và (c,d)*(a,b)=(0.1+1,2.1)=(1,2)
Vậy (a,b)*(c,d) . Nên phép toan * không có tính chất giao hoán. Do đó (X,*) không phải là nhóm aben.
c) + v́ (0,1)
ta có và .
Vậy A là nhóm con của X.
VD6 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại sao ?
Giải ( P)
Lưu ư : bài có thể giải 2 cách : 1. Dựa vào ĐN, 2. Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con( có 2 cách cm)
Cách 2 : Dựa vào KN nhóm con ( Có 2 cách)
Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?
+ Ta có : , v́
+ Ta có : và .
Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.
Hoặc có thể giải là :
Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?
+ Ta có : , v́
+ Ta có : và .
Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.
VD7: Trên tập các lớp đồng dư modulo 5, cho phép cộng
-
Hăy lập bảng cộng
-
Phép cộng trên có những tính chất nào ? ( ,+) có phải là nhóm không ?
Giải
a) =
Bảng cộng :
+ b) Phép cộng có t/c giao hoán
Phép cộng có t/c kết hợp :
Phép cộng có phần tử trung ḥa e=0. V́
Mọi phần tử đều khả đối xứng :
Phần tử đối xứng của : , là , là , là , là .
Vậy ( ,+) là một nhóm.
VD8 : (P) Lập bảng cộng và bảng nhân của và t́m các phần tử khả nghịch của
Bảng cộng :
+ Bảng nhân :
Phần tử khả nghịch là : và ( dựa vào bảng nhân)
VD9: Trên ,tập các lớp đồng dư modulo 7 cho phép nhân
-
Lập bảng nhân
-
Gọi A là tập các phần tử khả nghịch của . CMR : (A,.) là một nhóm.
Giải ( P)
a) =
Bảng nhân
Tập hợp các phần tử khả nghịch của là A= . Ta chứng minh (A,.) là một nhóm.
Phép nhân có tính chất kết hợp:
Phép nhân có phần tử trung ḥa là e= . V́
Mọi phần tử của A đều khả đối xứng:
+ Phần tử đối xứng của là
+ Phần tử đối xứng của là
+ Phần tử đối xứng của là
+ Phần tử đối xứng của là
+ Phần tử đối xứng của là
+ Phần tử đối xứng của là
Vậy (A,.) là một nhóm.
Bài tập:
Bài 1 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :
a) Chứng minh rằng là một nhóm aben.
b)Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?
Giải ( P)
a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.
+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)
+
=a+b+c+bc+ab+ac+abc=
phép toán * có tính chất kết hợp.(2)
+
Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)
+Mọi phần tử đều khả đối xứng :
ta có : ( v́ a .
a* và
Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)
b) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.
Thật vậy, ,
Bài 2: Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :
a)Chứng minh rằng là một nhóm aben.
b) Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?
Giải (P)
a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.
+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)
+
=a+b+c+5bc+5ab+5ac+25abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)
+
Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)
+Mọi phần tử đều khả đối xứng :
ta có : ( v́ a .
a* và
Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)
b) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.
Thật vậy, ,
Bài 3 : Trên tập các số nguyên xác định phép toán như sau :
-
Tính
-
CMR : là một nhóm aben
Giải: ( P)
a) 1+0+10=11; -10+0+10=0; =1+1+10=12
b) + Tính chất giao hoán :
+ Tính chất kết hợp :
a+b+c+20
+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,
+ Mọi phần tử khả đối xứng :
và . Như vậy , phần tử đối của a là –a-20
Vậy, là một nhóm aben.
Bài 4 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau : . Chứng minh
Giải
Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.
+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)
+
Và =a+b+c-2bc-2ab-2ac+4abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)
+
Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)
+Mọi phần tử đều khả đối xứng
ta có : ( v́ a . Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)
Bài 5 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại sao ?
Giải
Cách 2 : Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con
Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?
+ Ta có : , v́
+ Ta có : và .
Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm. ( Ngoài ra phép nhân thông thường trên A có tc giao hoán nên (A,.) là nhóm aben.)
Bài 6 : Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm. Phép nhân thông thường trên X có những tc nào ?
Giải
Để chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực
Thật vậy, Ta có :
+ v́ 0=
+ +c
trong đó
Do đó:
x-y = ( )= .
Vậy (X,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực R, nên (X,+) là một nhóm.
Phép nhân thông thường trên X có những tc : kết hợp và giao hoán.
V́ ta có x,y,z là các số thực nên (xy)z=x(yz) và xy=yx
Bài 7 : Cho . Phép tóan * xác định như sau :
Chứng minh (F,*) là nhóm. Nhóm đó có giao hoán không ?
Giải
+ , ta có :
[(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(ac,ad+b)*(e,f)=(ace,acf+(ad+b)=(ace,acf+ad+b) (1)
(a,b)*[(c,d)*(e,f)]=(a,b)*(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)=(1) Phép toan * trên F có tc kết hợp.
+Phần tử trung ḥa : Đặt e=(e1+e2) , ta có : (a,b)* (e1,e2)=(a,b)
(ae1,ae2+b)=(a,b) Do a
Như vậy, , ta có (a,b)*(1,0)=(a1,a0+b)=(a,b)=(1,0)*(a,b) là phần tử trung ḥa của phép toán * trên F.
+ Phần tử đối xứng : ta có : (v́ )
Như vậy, , phần tử đối xứng của (a,b) là
KL : (F,*) là một nhóm.
, tao có : (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b) (c,d)*(a,b)=(ca,cb+d) phép toán * trên F không có tính chất giao hoán nên nhóm này không giao hoán ( không phải là nhóm aben)
Bài 8 : Cho và phép toán trên G xác định bởi (*) :
. CMR là một nhóm.
Giải
, ta có :
+ =
)= (1)
+
)= =(1) có tính chất kết hợp.
giả sử , sao cho
Như vậy, ta có nên (1,0) là phần tử trung ḥa.
giả sử sao cho
Như vậy, ta có . Do đó là phần tử đối xứng của (x,y) là =
Suy ra : là một nhóm.
Bài 9 : Trên xác định như sau : xác định các tính chất và phần tử đặc biệt của phép toán.
Giải
+ Tính chất giao hoán : ta có :
+ Tính chất kết hợp :
(1)
Và : a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc=(1) có tc kết hợp.
+ Phần tử trung ḥa : giả sử . Như vậy, . Vây e=0 là phần tử trung ḥa.
+ phần tử đối xứng : giả sử sao cho . Do đó không có phần tử đối xứng.
Bài 10 : Trên xác định phép toán . CMR là một nhóm aben.
Giải
+ Tính chất giao hoán :
+ Tính chất kết hợp :
a+b+c-10
+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,
+ Mọi phần tử khả đối xứng :
và . Như vậy , phần tử đối của a là –a+10
Vậy, là một nhóm aben.
Bài 11 : phép toán xác định bởi : , . CMR là một nhóm aben.
Giải
+ Tính chất giao hoán :
+ Tính chất kết hợp :
a+b+c-ab-ac- bc+abc
+ Phần tử trung ḥa : v́ . Như vậy,
+ Mọi phần tử khả đối xứng : (
.Như vậy , phần tử đối của a là
Vậy, là một nhóm aben.
Bài 12 : phép toán xác định bởi : , . CMR là một nhóm aben.
Giải
+ Tính chất giao hoán :
+ Tính chất kết hợp :
a+b+c-4ab-4ac-4bc+4abc
+ Phần tử trung ḥa : v́ . Như vậy,
+ Mọi phần tử khả đối xứng : (
.Như vậy , phần tử đối của a là
Vậy, là một nhóm aben.
Người soạn : Trương Thành Phú-K8
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |