NHÓm- vành -trưỜng nhóm- nhóm con



tải về 174.41 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu02.09.2016
Kích174.41 Kb.

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

NHÓM- VÀNH -TRƯỜNG

1. NHÓM- NHÓM CON

VD 1 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

  1. Tính

  2. Chứng minh rằng là một nhóm aben.

  3. Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?

Giải

a) 1+2-3.1.2=-3; = ; =



b) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)

+



=a+b+c-3bc-3ab-3ac+9abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)

+Mọi phần tử đều khả đối xứng



ta có : ( v́ a . Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

c) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.

Thật vậy, ,



VD2 : Trên tập xác định phép toán như sau : . CMR : là một nhóm aben.

Giải

+ Tính chất giao hoán :

+ Tính chất kết hợp :


  • =

x+y+z+2

  • =

+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :



. Như vậy , phần tử đối x là –x-2

Vậy, là một nhóm aben.



VD3: Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm.

Giải

Để chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực

Thật vậy, Ta có :

+ v́ 0=

+

trong đó a,b,c,d

Do đó: x-y = . Vậy (X,+) là một nhóm.



VD4 : Gọi X là tập hợp các số thực có dạng trong đó a,b

  1. CMR tập X cùng với phép toán nhân thông thường là một nhóm.

  2. Nếu thay bởi th́ (X,*) có phải là 1 nhóm không ?

Giải

a)

Để chứng minh (X,*) là 1 nhóm, ta c/m X là nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 (

Ta có :

+

+ với a,b,c,d ,

Do đó : x.y=

Vậy(X,*) là một nhóm.

b) Nếu thay bởi , ta có :

khi đó với Ta có : . Tức là phần tử không khả nghịch.

Vậy ( X,*) không phải là 1 nhóm.



VD5  : Trên tập xác định phép toán * như sau :

(a,b)*(c,d)=(ad+c,bd),

a) Chứng minh rằng : (X,*) là một nhóm

b) Hỏi X có phải là một nhóm aben không ? Tại sao ?

c) CMR : Tập với phép toán * là một nhóm con của nhóm X.

Giải

a) + Phép toán * có tính chất kết hợp :



, Ta có :

((a,b)*(c,d))*(e,f))=

Và : (a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(cf+e,df)=(adf+cf+e,bdf)=((a,b)*(b,c))*(e,f)

+ Tồn tại phần từ trung ḥa e=(e1,e2)



ta có : (a,b)*(e1,e2)=(a,b)

Như vậy, ta có : = .

Do đó là phần tử trung ḥa.

+ Mọi phần tử đều khả đối xứng :



ta có :

. Vậy

Như vậy, phần từ đối xứng của (a,b) là

Kết luận : (X,*) là một nhóm.

b) , ta có : +

Chọn (c,d)=(0,2) (a,b)=(1,1) . Khi đó : và (c,d)*(a,b)=(0.1+1,2.1)=(1,2)

Vậy (a,b)*(c,d) . Nên phép toan * không có tính chất giao hoán. Do đó (X,*) không phải là nhóm aben.

c) + v́ (0,1)



ta có .

Vậy A là nhóm con của X.



VD6 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại sao ?

Gii ( P)

Lưu ư : bài có thể giải 2 cách : 1. Dựa vào ĐN, 2. Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con( có 2 cách cm)

Cách 2 : Dựa vào KN nhóm con ( Có 2 cách)

Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : ,

+ Ta có : .

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.

Hoặc có thể gii là :

Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : ,

+ Ta có : .

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.
VD7: Trên tập các lớp đồng dư modulo 5, cho phép cộng


  1. Hăy lập bảng cộng

  2. Phép cộng trên có những tính chất nào ? ( ,+) có phải là nhóm không ?

Giải

a) =

Bảng cộng :

+ b) Phép cộng có t/c giao hoán



Phép cộng có t/c kết hợp :

Phép cộng có phần tử trung ḥa e=0. V́

Mọi phần tử đều khả đối xứng :

Phần tử đối xứng của : , , , , .

Vậy ( ,+) là một nhóm.



VD8 : (P) Lập bảng cộng và bảng nhân của và t́m các phần tử khả nghịch của

Bảng cộng :

+ Bảng nhân :

Phần tử khả nghịch là : ( dựa vào bảng nhân)

VD9: Trên ,tập các lớp đồng dư modulo 7 cho phép nhân


  1. Lập bảng nhân

  2. Gọi A là tập các phần tử khả nghịch của . CMR : (A,.) là một nhóm.

Giải ( P)

a) =

Bảng nhân

Tập hợp các phần tử khả nghịch của là A= . Ta chứng minh (A,.) là một nhóm.

Phép nhân có tính chất kết hợp:

Phép nhân có phần tử trung ḥa là e= . V́

Mọi phần tử của A đều khả đối xứng:

+ Phần tử đối xứng của

+ Phần tử đối xứng của

+ Phần tử đối xứng của

+ Phần tử đối xứng của

+ Phần tử đối xứng của

+ Phần tử đối xứng của

Vậy (A,.) là một nhóm.
Bài tập:

Bài 1 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

a) Chứng minh rằng là một nhóm aben.

b)Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?



Gii ( P)

a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)

+



=a+b+c+bc+ab+ac+abc=

phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)

+Mọi phần tử đều khả đối xứng :

ta có : ( v́ a .

a*

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

b) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.

Thật vậy, ,
Bài 2: Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

a)Chứng minh rằng là một nhóm aben.

b) Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?

Gii (P)

a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)

+



=a+b+c+5bc+5ab+5ac+25abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)

+Mọi phần tử đều khả đối xứng :



ta có : ( v́ a .

a*

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

b) không phải là một nhóm v́ phần tử không có phần tử đối xứng.

Thật vậy, ,
Bài 3 : Trên tập các số nguyên xác định phép toán như sau :


  1. Tính

  2. CMR : là một nhóm aben

Gii: ( P)

a) 1+0+10=11; -10+0+10=0; =1+1+10=12

b) + Tính chất giao hoán :

+ Tính chất kết hợp :



  • =

a+b+c+20

  • =

+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :



. Như vậy , phần tử đối của a là –a-20

Vậy, là một nhóm aben.



Bài 4 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau : . Chứng minh

Giải

Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)

+

=a+b+c-2bc-2ab-2ac+4abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung ḥa của phép toán * (3)

+Mọi phần tử đều khả đối xứng



ta có : ( v́ a . Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)



Bài 5 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại sao ?

Giải

Cách 2 : Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con

Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : ,

+ Ta có : .

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm. ( Ngoài ra phép nhân thông thường trên A có tc giao hoán nên (A,.) là nhóm aben.)

Bài 6 : Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm. Phép nhân thông thường trên X có những tc nào ?

Giải

Để chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực

Thật vậy, Ta có :

+ v́ 0=

+ +c

trong đó

Do đó:


x-y = ( )= .

Vậy (X,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực R, nên (X,+) là một nhóm.

Phép nhân thông thường trên X có những tc : kết hợp và giao hoán.

ta có x,y,z là các số thực nên (xy)z=x(yz) và xy=yx



Bài 7 : Cho . Phép tóan * xác định như sau :

Chứng minh (F,*) là nhóm. Nhóm đó có giao hoán không ?



Giải

+ , ta có :

[(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(ac,ad+b)*(e,f)=(ace,acf+(ad+b)=(ace,acf+ad+b) (1)

(a,b)*[(c,d)*(e,f)]=(a,b)*(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)=(1) Phép toan * trên F có tc kết hợp.

+Phần tử trung ḥa : Đặt e=(e1+e2) , ta có : (a,b)* (e1,e2)=(a,b)

(ae1,ae2+b)=(a,b) Do a

Như vậy, , ta có (a,b)*(1,0)=(a1,a0+b)=(a,b)=(1,0)*(a,b) là phần tử trung ḥa của phép toán * trên F.

+ Phần tử đối xứng : ta có : (v́ )



Như vậy, , phần tử đối xứng của (a,b) là

KL : (F,*) là một nhóm.

, tao có : (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b) (c,d)*(a,b)=(ca,cb+d) phép toán * trên F không có tính chất giao hoán nên nhóm này không giao hoán ( không phải là nhóm aben)

Bài 8 : Cho và phép toán trên G xác định bởi (*) :

  . CMR là một nhóm.



Giải

, ta có :

+ =



)= (1)

+



)= =(1) có tính chất kết hợp.

giả sử , sao cho

Như vậy, ta có nên (1,0) là phần tử trung ḥa.



giả sử sao cho

Như vậy, ta có . Do đó là phần tử đối xứng của (x,y) là =

Suy ra : là một nhóm.

Bài 9 : Trên xác định như sau : xác định các tính chất và phần tử đặc biệt của phép toán.

Giải

+ Tính chất giao hoán : ta có :

+ Tính chất kết hợp :

(1)

Và : a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc=(1) có tc kết hợp.

+ Phần tử trung ḥa : giả sử . Như vậy, . Vây e=0 là phần tử trung ḥa.

+ phần tử đối xứng : giả sử sao cho . Do đó không có phần tử đối xứng.



Bài 10 : Trên xác định phép toán . CMR là một nhóm aben.

Giải

+ Tính chất giao hoán :

+ Tính chất kết hợp :


  • =

a+b+c-10

  • =

+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :



. Như vậy , phần tử đối của a là –a+10

Vậy, là một nhóm aben.



Bài 11 : phép toán xác định bởi : , . CMR là một nhóm aben.

Giải

+ Tính chất giao hoán :

+ Tính chất kết hợp :


  • =

a+b+c-ab-ac- bc+abc

  • =

+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng : (



.Như vậy , phần tử đối của a là

Vậy, là một nhóm aben.



Bài 12 : phép toán xác định bởi : , . CMR là một nhóm aben.

Giải

+ Tính chất giao hoán :

+ Tính chất kết hợp :


  • =

a+b+c-4ab-4ac-4bc+4abc

  • =

+ Phần tử trung ḥa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng : (



.Như vậy , phần tử đối của a là

Vậy, là một nhóm aben.






Người son : Trương Thành Phú-K8





Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương