Ứng dụng cùa phép biến hình vào giải toán hình họC 10

Trong 9 năm tôi giảng dạy tôi nhân thấy rằng học sinh học hình học về phép biến hình còn rất khó tiếp thu và chưa biết cách vận dụng phép biến hình vào giải toán hình. Đặc biệt các bài toán hay, khó trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng của hình học 10 cũng như trong các đề thi đại học ta có thể vận dụng phép biến hình vào giải bài toán đó một cách dễ dàng.

Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 và biết cách vận dụng phép biến hình vào giải một số bài toán về tọa độ của hình học 10 đồng thời giúp các em tự tin hơn trong khi giải quyết các bài toán khó trong các kỳ thi quốc gia nên tôi đưa ra một số bài toán phần hình học tọa độ trong mặt phẳng của lớp 10 có vận dụng phép biến hình.

II) VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) và phương trình đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nhận xét: - Đây là bài tập tương đối khó. Nếu ta không dùng phép biến hình ở đây thì giải bài toán này rất khó khăn.

Giải

Ta có (C) có tâm T(2;2), bán kính R=. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Phép vị tự tâm G tỷ số k=-2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC và biến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Biến tâm T thành tâm I được xác định .

Mặt khác

Suy ra .

Đường tròn đi qua ba chân đường cao đồng thời là đường tròn đi qua trung điểm các cạnh nên trùng với đường tròn (MNP) ngoại tiếp tam giác MNP.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Gọi .

Vì MN nhận làm trung trực nên N nằm trên đường tròn () là ảnh của đường tròn () qua phép đối xứng qua đường thẳng .

Đường tròn () có tâm , bán kính R=3. Tâm của () là đối xứng với I qua , bán kính R=3.

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với nhận làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

d: 2(x-1)-1(y-2)=0 d: 2x-y=0

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Vì H là trung điểm của nên . Vậy .

Mặt khác .

Giải hệ gồm (1) và (2) ta được :

Điểm M đối xứng với N qua , tìm được .

Vậy , là hai điểm cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=5.

Lấy đối xứng đường thẳng qua đường thẳng ta được đường thẳng

Do nên do đó .

Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình

.

Với A(4;2) phương trình tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A(4;2) và nhận làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là .

Với A(6;-2) phương trình tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A(6;-2) và nhận làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là .

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Giải

Gọi là điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC.

Ta có (cùng chắn cung ) do đó thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đường tròn (C) có tâm , bán kính R=.

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm , bán kính .

Phép đối xứng qua đường thẳng BC biến tam giác HBC thành tam giác do đó biến đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác hay chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có M là trung điểm của và .

Suy ra . Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: .

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình:

Suy ra .

Ta có .

Vậy tọa độ 3 điểm cần tìm là:

Đường tròn có tâm bán kính

Đường tròn có tâm bán kính

Giả sử đường thẳng MA:ax+by+c=0(1). Khi đó MB chính là đường thẳng đối xứng với MA qua d. Với mỗi điểm (x;y) thuộc MA tồn tại điểm thuộc MB sao cho chúng đối xứng nhau qua d.

Khi đó ta có hệ phương trình:. Thay vào (1) ta được phương trình của MB:bx+ay-2a+2b+c=0.

Mặt khác vì MA tiếp xúc với , MB tiếp xúc với nên ta có:

• 
  Với b=0 suy ra MA: x=0 và tìm được tọa độ của M (0;2)
  
• 
  Với 3b=4a chọn a=3;b=4;c=-12 suy ra phương trình MA: 3x+4y-12=0 và tìm được
  

KL: Tồn tại hai điểm M (0;2) và.

Nhận thấy . Phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng tại A. Phương trình đường thẳng .

Do tam giác AMN vuông cân tại A nên N là ảnh của M qua phép quay hay M thuộc đường thẳng .

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy hai điểm cần tìm là , N(4;3) hoặc , N(4;3) hoặc , N(6;-1) hoặc , N(6;-1).

Đường tròn có tâm , bán kính .

Đường tròn có tâm , bán kính

Phép quay biến thành có tâm , bán kính .

Khi đó .

Phương trình đường tròn

Phép quay biến thành có tâm , bán kính .

Khi đó .

Phương trình đường tròn

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên M biến thành N qua phép quay hoặc , suy ra N là giao điểm của với hoặc là giao điểm của với .

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

- Với .

- Với .

TH2: N là giao điểm của với .

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy hai điểm cần tìm là hoặc .

Đường tròn có tâm , bán kính .

Phép vị tự tâm G tỷ số k=-2 biến M thành A, biến N thành B, biến P thành C.

Biến tam giác MNP thành tam giác ABC.

Biến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:



Nhận xét: Đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P chính là đường tròn chín điểm Euler. Nếu lấy đối xứng G qua các điểm M, N, P ta được thì đường tròn ngoại tiếp tam giác có cùng bán kính với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và có tâm đối xứng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua G.

Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(5;1) nội tiếp đường tròn . Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x+3y+4=0 và độ dài cạnh BC bằng 8. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=5.

Gọi M là trung điểm của BC ta có .

Vậy M nằm trên đường tròn có tâm I(2;-3), bán kính .

Ta có Suy ra G là ảnh của M qua phép vị tự .

Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có tâm , bán kính . Ta có .

Phương trình đường tròn .

Ta có nên tọa độ điểm G thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy có hai điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là hoặc .

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính .

Tam giác AMN vuông cân tại A nên phép quay biến điểm M thành điểm N(và biến điểm N thành điểm M), biến đường tròn (C) thành đường tròn suy ra điểm M, N là giao điểm của (C) với hoặc (C) với .

Ta có suy ra phương trình 2 đường tròn là và .

Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là hoặc hoặc hoặc .

Theo giả thiết ta có AM = AN, suy ra N là ảnh của M qua phép quay . Hay N nằm trên các đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép quay .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên .

Đường thẳng AH.

Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình: .

Ta tìm đường thẳng là ảnh của qua phép quay

Phép quay biến điểm H thành điểm xác định bởi:

.

Đường thẳng là đường thẳng đi qua và vuông góc với .

Tương tự đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép quay ta tìm được điểm là ảnh của H và phương trình đường thẳng là: .

TH1: N là giao điểm của , tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

.

Đường thẳng .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

.

Phương trình đường tròn cần tìm là .

Đường thẳng .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

.

Phương trình đường tròn cần tìm là .

Vậy có hai đường tròn và như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách giải thông thường:

Gọi , .

Yêu cầu bài toán tương đương với:

Giải hệ bằng phương pháp thế ta được .

Ta được kết quả tương tự.

Ví dụ 12(Trích đại học khối A 2014)

Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là điểm trên AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng CD. Biết M(1;2), N(2;-1).

Giải

MN=đường MN:3x+y-5=0. Đường ND:x-3y-5=0

• 
  Với D(5;0),phương trình của CD:3x-4y-15=0
  
• 
  Với D(-1;-2),phương trình của CD:y+2=0
  

Đặt AB=a>0. Từ .

Xét tam giác có :. Hạ NE vuông góc với CD. Ta có NE=1,AE=3 Gọi D(x;y) . Khi đó ta có :. Do đó có hai điểm . Giả sử CD :ax+by+c=0

TH1: thuộc CD ta có pt của CD: ax+by-5a=0. Khi đó d(M,CD)=4d(N,CD).

Suy ra CD có hai phương trình 3x-4y-15=0;x-8y-5=0. Vì M, N nằm cùng phía với CD nên phương trình CD:3x-4y-15=0

TH2: làm tương tự.

Cách 3:

đặt AB=a, AM=a/2,

Gọi I(x;y) là trung điểm của CD

TH1: x=1;y=-2

TH2:phương trình CD:3x-4y-15=0

Cách 4:

Giả sử A(x;y). Theo giả thiết ta có AN=3NC

Ta có

Cách 5:

Gọi O là tâm của hình vuông, E là điểm đối xứng của N qua Olà tam giác vuông,là tam giác vuông cân.

Gọi E(a;b)

Ta có .

Giải hệ phương trình ta sẽ dễ dàng viết phương trình của CD.

Cách 6(đáp án của bộ giáo dục)

1. 
   Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay lần lượt là .
   
2. 
   Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay .
   
3. 
   Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay .