Ôn thi học phần môn giải tích hàm nhiều biếN 1)Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của hàm số (tr 67)

Với một >0 bất kỳ, tìm được một số nguyên dương ( chỉ phụ thuộc vào ) sao cho khi n>và bất kỳ m=1,2,3…bất đẳng thức (1)

thỏa mãn đồng thời với mọi .

Chứng minh.

Điều kiện cần. Giả sử chuỗi hàm (U) hội tụ đều, tức là có một số >0 bất kỳ, tìm được ( không phụ thuộc vào x) sao cho n>thì với mọi x. Khi đó:



Điều kiện đủ: Giả sử chuỗi hàm thỏa mãn (1). Chú ý rằng:

Do đó theo (1)

Với . Do >0 bất kỳ, chuỗi (U) hội tụ đều.

2). Dấu hiệu Weierstrass (tr 68)

Nếu với mọi : (2)

trong đó C_n là số hạng của một chuỗi hội tụ thì chuỗi (U) hội tụ đều trên E

Chứng minh. Từ (2) suy ra (với mọi x):

Vì hội tụ nên theo điều kiện của chuỗi số, tổng ở vế phải

Xét sự hội tụ đếu của chuỗi hàm :

Ta có mà là chuỗi số dương hội tụ nên hội tụ theo tiêu chuẩn Weierstrass.



3). Định lí 2 trang 87 (định lí về sự hội tụ đều của chuổi lũy thừa)

Nếu r là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa thí, với bất kỳ số q sao cho 0

Chứng minh.

Do q hội tụ.

Mặt khác : ta có :

Nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hội tụ đều trên đoạn [-q,q]

Cho hàm f(x,y) xác định trên tập mở và có các đạo hàm riêng tại mọi điểm . Giả sử x(t), y(t) là các hàm số xác định trên khoảng I=(a,b) sao cho vói mọi và có các đạo hàm , . Khi đó, hàm số hợp: có đạo hàm tại t₀ và (hay viết tắt )

Hàm số f(x,y(t))có đạo hàm trên đoạn có đầu mút là x(t₀), x(t) nên theo định lí Lagrange:

Tương tự:

Nên

Cho và sử dụng giả thiết có đạo hàm tại t₀ và hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trên G.

Công thức được chứng minh

Áp dụng.

trong đó Tính

(SV tự giải )

5) Định lí Svac ( Schwarz) trang 287

Nếu f(x,y) liên tục trên miền mở có đạo hàm cấp hai liên tục tại điểm thì

Đặt: (1)

H, k đủ nhỏ để đoạn thẳng nối hai điểm và nằm trong v(P₀) (V(P₀) là lân cận của P₀ và )

Và (2)

Khi đó (3)

Từ (2) ta có

Áp dụng công thức số gia hữu hạn vào (3)

Áp dụng công thức số gia hữu hạn, ta được:

Mặt khác nếu đặt

Ta cũng thấy (6)

Tương tự (7) trong đó

Từ (4) và (7) suy ra

Cho , theo giả thiết liên tục của và tại suy ra 

6.Định lý về giá trị trung bình của tích phân bội trang 287

Giả sử D là tập đo được trong R² và là hàm số khả tích trên D. Khi đó, nếu m và M là hai số thực sao cho với mọi thì tồn tại sao cho .

Nếu kết luận hiển nhiên đúng. Giả sử theo 3.3 ta có

Do đó :

Số thực thỏa mãn kết luận của định lí.

Nếu f là hàm liên tục trên D thì f khả tích trên D và

Khả tích trên R và (2)

Theo định lý 4.1 ta có :

(3)

Vì mỗi ta có

Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh

8. Định lí cơ bản của tích phân đường (tr 391)

Định lý. Giả sử C là cung trơn từng khúc với phương trình vec tơ

Và là hàm số thuộc lớp C¹ trên một tập mở trong R³ chứa C (tức là f có đạo hàm riêng liện tục trên . Khi đó

Tức là :

Theo định nghĩa tích phân đường ta có

Đặt

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được:

Từ (2) ta có:

Giả sử D là miền đó bị chặn trong một mặt phẳng có biên là đường cong kín đơn trơn từng khúc C định hướng dương. Nếu P và Q là hai hàm số thuộc lớp C¹ trên tập mở U trong mặt phẳng chứa D thì:

Công thức trên gọi là công thức Grin.

1⁰ Giả sử D nêu trong định biểu diễn đồng thời dưới hai dạng

và

Trong đó là hai hàm số liên tục trên [a,b] và là hai hàm số liên tục trên [c,d]

Ta gọi miền D như vậy gọi là miền đơn giản.

Để chứng minh (1) ta cần chứng minh hai biểu thức sau:

Thật vậy đường cong kín C được chia thành 4 cung: C₁, C₂, C₃, C₄ do đó:

Cung C₁ có phương trình là: x=x,

Do đó :

Cung C₃ được định hướng từ phải sang trái ( từ C đến D). Cung –C₃ được định hướng từ trái sang phải (từ D đến C), cung –C₃ có phương trình là: x=x, .

Do đó

Và

Cung C₂ là đoạn thẳng định hướng BC, C₄ là đoạn thẳng định hướng DA. Vì hai cung này tham số x lấy giá trị không đổi nên

Do đó

Mặt khác

(5)

Từ (4) và (5) suy ra

Tương tự ta có :

2⁰ Xét miền D là miền đơn liên bất kỳ, ta luôn có thể chia miền D thành hữu hạn các miền đơn giản. Chẳng hạn ta có thể chia miền D thành hai miền đơn giản D₁ và D₂ bởi đoạn thẳng AB.

Cung C, biên của miền D được chia thành 2 cung C₁ và C₂. Biên của D₁ là cung định hướng gồm hai cung: C₁ có điểm đầu là B điểm cuối là A và đoạn thẳng định hướng AB (định hướng từ B đến A)

Theo 1⁰, ta có :

Tương tự :

Công hai đẳng thức trên ta có

Vì hai tích phân đượng dọc theo đoạn thẳng định hướng AB và BA triệt tiêu lẫn nhau và

(1)

(2) , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong D

(3), trong đó cung nằm trong miền D chỉ phụ thuộc vào 2 đầu A, B mà không phụ thuộc vào hình dạng cung

(4) Biểu thức là vi phân toàn phần của u(x, y) nào đó trong miền D

Chứng minh.

Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau:

Suy ra

Lấy và suy ra đường cong kín. Theo (2): hay

Suy ra

Chứng tỏ tích phân không phụ thuộc vào hình dạng cung .

Ta xây dựng hàm u(x,y) dưới dạng sao cho .

Lấy A(x₀,y₀) cố định thuộc D và điểm M(x,y) chạy trên miền D

Xét hàm số:

Rõ ràng tích phân này phụ thuộc vào M(x,y) chứ không phụ thuộc vào hình dạng cung và . Ta chứng minh . Thậy vậy, theo định nghĩa đạo hàm riêng tại (x,y) ta có:

Trong đó M và M_­1 cùng có tung độ là y, còn hoành độ của M₁ là x+h với h đủ bé để

Theo (3) có thể lấy cung gồm cung và đoạn thẳng nằm ngang MM_1. Vậy

Đoạn MM₁ vuông góc với trục oy và hướng từ M(x,y) đến M₁(x+h,y) suy ra dy=0

Vậy:

Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân xác định thì:

Trong đó , từ đó ta có :

Do tính liên tục của hàm P(x,y) vậy

Tương tự ta chứng minh được

Vậy tồn tại hàm u(x,y) để

Do đạo hàm riêng của P,Q liên tục trên miền D nên các đạo hàm hỗn hợp cũng liên tục trên D. Theo định lý Schwarz, ta có hay là