ĐẠi số TỔ HỢP ( code: ) LÝ thuyết quy tắc cộng

1. 
   Quy tắc cộng
   

2. 
   Quy tắc nhân
   

3. 
   Hoán vị
   

Gọi P_n là số hoán vị của n phần tử, ta có:

P_n = n! = n(n-1)…2.1

Ví dụ:

1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 3 2 3 2 1 2 3 1

có 3! = 6 hoán vị của A.

4. 
   Chỉnh hợp
   

Gọi là số các hoán vị chập k của n. Ta có công thức sau:

Ví dụ:

Cho A = {1, 2, 3}. Thì các chỉnh hợp chập 2 của A là

(3, 1) (2, 3) (3, 2)

Có tất cả chỉnh hợp chập 2 của A.

5. 
   Tổ hợp
   

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có:

Một số công thức về tổ hợp:

6. 
   Công thức nhị thức Newton
   

Trường hợp đặc biệt:

1. 
   8
   
2. 
   13 (X)
   
3. 
   3
   
4. 
   40
   

Có 8 cách chọn 1 quyển sách và 5 cách chọn 1 quyển vở, và khi chọn sách thì không chọn vở, áp dụng quy tắc cộng ta có: số cách chọn một trong các quyển đã cho là: 8 + 5 = 13 (cách)

Câu 2: Từ các chữ số 0, 1, 2 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?

1. 
   6
   
2. 
   15
   
3. 
   11 (X)
   
4. 
   Một đáp số khác.
   

Các số lập được phải là số có không quá 3 chữ số vì nếu có 4 chữ số thì sẽ có ít nhất có hai chữ số trùng nhau. Do đó ta có các trường hợp sau:

+ Từ các số 0, 1, 2 có thể lập được 3 số khác nhau có một chữ số là 0, 1, 2. Trong trường hợp này có 3 cách lập.

+ Từ các chữ số 0, 1, 2 có thể lập được 4 số khác nhau có hai chữ số khác nhau là 10, 12, 20, 21. Trong trường hợp này có 4 cách lập.

+ Từ các số 0, 1, 2 có thể lập được 4 số khác nhau có 3 chữ số khác nhau là: 102, 120, 201 và 210. Trong trường hợp này có 4 cách lập.

Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng có cả thảy 3 + 4 + 4 = 11 cách lập những số khác nhau có các chữ số khác nhau từ ba chữ số 0, 1, 2.

Câu 3: Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau chia hết cho 3?

1. 
   6
   
2. 
   7
   
3. 
   8
   
4. 
   9 (X)
   

Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và do các chữ số của số cần lập là khác nhau nên ta có các trường hợp sau:

+ Số có một chữ số thỏa đề bài: 3. Trong trường hợp này có 1 số

+ Số có hai chữ số thỏa đề bài: 24, 42. Trong trường hợp này có 2 số.

+ Số có 3 chữ số thỏa đề bài: 234, 243, 324, 342, 423, 432. Trong trường hợp này có 6 số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có số các số thỏa mãn là:

1 + 2 + 6 = 9 số.

Câu 4: Có 2 con đường đi từ tỉnh A đến tỉnh B, 3 con đường đi từ tỉnh B đến tỉnh C. Muốn đi từ tỉnh A qua tỉnh C bắt buộc phải qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C?

1. 
   5
   
2. 
   6 (X)
   
3. 
   8
   
4. 
   Các đáp án trên đều sai.
   

Câu 5: Một học sinh có 5 áo sơ mi và 4 quần tây. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc?

A) 20 (X)

B) 5⁴

C) 9

D) 5

Có 5 cách chọn áo và 4 cách chọn quần. Áp dụng quy tắc nhân thì có 5 x 4 = 20 cách chọn một bộ quần áo.

Câu 6: Với các số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?

1. 
   36 (X)
   
2. 
   48
   
3. 
   54
   
4. 
   Một đáp số khác.
   

Gọi số cần tìm là

Vì là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị d là lẻ, suy ra d chỉ có thể là 1 hoặc 3. Do đó có hai cách chọn chữ số d .

Vì a khác 0 và d nên có 3 cách chọn a.

Có 3 cách chọn chữ số b.

Có 2 cách chọn chữ số c.

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả 2 x 3 x 3 x 2 = 36 số lẻ lập được từ các chữ số đã cho.

Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

1. 
   3024
   
2. 
   4500
   
3. 
   4536 (X)
   
4. 
   5040
   

Số cần tìm có dạng trong đó a khác 0 và các chữ số khác nhau.

Có 9 cách chọn chữ số a

Có 9 cách chọn chữ số b

Có 8 cách chọn chữ số c

Có 7 cách chọn chữ số d

Vậy số các số thỏa đề bài là : 9 x 9 x 8 x 7 = 4536 (số)

Câu 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?

1. 
   126
   
2. 
   147
   
3. 
   168 (X)
   
4. 
   196
   

Vì số cần tìm là số chẵn nên chữ số tận cùng là chẵn, ta có thể làm như sau:

Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm

Có 7 cách chọn chữ số hàng chục

Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (0, 2, 4, 6)

Vậy số các số chẵn có 3 chữ lập từ các chữ số đã cho là:

6 x 7 x 4 = 168 số

Câu 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 5?

1. 
   1000
   
2. 
   1800 (X)
   
3. 
   2000
   
4. 
   Một đáp số khác.
   

Số cần tìm có dạng , vì chia hết cho 5 nên d phải bằng 0 hoặc 5. Suy ra có hai cách chọn chữ số d

Có 9 cách chọn chữ số a

Có 10 cách chọn chữ số b

Có 10 cách chọn chữ số c.

Theo quy tắc nhân thì số các số thỏa đề bài là

2 x 9 x 10 x 10 = 1800 số

Câu 10: Số hoán vị của n phần tử là:

1. 
   n²
   
2. 
   n(n-1)…3.2.1 (X)
   
3. 
   nⁿ
   
4. 
   Tất cả đều sai.
   

1. 
   n(n-1)…k
   
2. 
   
   
3. 
   n(n-2)…(n-k+1)
   
4. 
   B và C đều đúng. (X)
   

A) (X)

B)

C)

D) Tất cả các câu trên đều sai.

Câu 13: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số tự nhiên k ( 0  k  n). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

1. 
   Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
   
2. 
   Mỗi bộ gồm k phần tử sắp thứ tự của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (X)
   
3. 
   Mỗi bộ gồm n – k phần tử sắp thứ tự của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
   
4. 
   Tất cả các câu trên đều sai.
   

1. 
   32
   
2. 
   120 (X)
   
3. 
   5⁵
   
4. 
   Tất cả đều sai.
   

Tập A có 5 phần tử nên số hoán vị các phần tử của A là: P₅ = 5! = 120

Câu 15: Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e,f}. Số chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của A là:

1. 
   40
   
2. 
   120 (X)
   
3. 
   216
   
4. 
   360
   

Tập A có 6 phần tử nên số chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của A là:

1. 
   55440 (X)
   
2. 
   332640
   
3. 
   161051
   
4. 
   Một đáp số khác
   

Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là một chỉnh hợp chập 5 của 11. Do đó số khả năng chọn là:

Câu 17: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ có 4 chữ số khác nhau?

1. 
   60
   
2. 
   120
   
3. 
   180 (X)
   
4. 
   360
   

Gọi số cần tìm là .

Vì là số lẻ nên có 3 cách chọn d là 1, 3 và 5

Ứng với mỗi d thì có cách chọn bộ số a, b, c.

Vậy số các số lẻ được lập từ các số đã cho là:

3 x = 180 số.

Câu 18: Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

1. 
   190 (X)
   
2. 
   200
   
3. 
   380
   
4. 
   400
   

Vì hai đội chỉ gặp nhau một lần nên số trận đấu là số tổ hợp chập 2 của 20 phần tử, đó là trận.

Câu 19: Có bao nhiều đường chéo trong một hình thập giác lồi?

1. 
   45
   
2. 
   50
   
3. 
   55
   
4. 
   Một đáp số khác. (X)
   

Một thập giác có 10 đỉnh nên có 10 cạnh. Qua mỗi cặp đỉnh có một và chỉ một đường thẳng. Mỗi đoạn thẳng nối cặp điểm đó có thể là cạnh hoặc đường chéo của thập giác lồi. Do đó số đường chéo là:

S =

Câu 20: Cho tập A = {a, b, c, d, e, f}. Có bao nhiêu tập con của A có nhiều hơn 3 phần tử?

1. 
   20
   
2. 
   21
   
3. 
   22 (X)
   
4. 
   42
   

Số tập con của A có 4 phần tử là:

Số tập con của A có 5 phần tử là :

Số tập con của A có 6 phần tử là :

Vậy số tập con của A có nhiều hơn 3 phần tử là:

Câu 21: Một lớp có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp biết rằng ban cán sự gồm 2 nam và 2 nữ?

1. 
   29070 (X)
   
2. 
   73815
   
3. 
   116280
   
4. 
   Tất cả đều sai.
   

Chọn 2 nam từ 20 nam có cách chọn

Chọn 2 nữ từ 18 nữ có cách chọn.

Vậy theo nguyên tắc nhân có tất cả

Câu 22: Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 bạn trực nhật biết rằng có ít nhất một bạn nam?

1. 
   60
   
2. 
   120
   
3. 
   116 (X)
   
4. 
   216
   

Trường hợp có 1 nam: có 6 cách chọn nam và cách chọn nữ, trong trường hợp này có 6 x cách chọn

Trường hợp có hai nam thì có cách chọn.

Trường hợp có 3 nam thì có cách chọn.

Vậy có tất cả + + = 116 cách phân công trực nhật.

Câu 23: Cho tập A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Số tập con của A có ít hơn 5 phần tử trong đó chứa 1 nhưng không chứa 0 là:

1. 
   41
   
2. 
   42 (X)
   
3. 
   48
   
4. 
   56
   

Số tập con của A có 1 phần tử thỏa đề bài là 1

Số tập con của A có hai phần tử thỏa đề có dạng {1, a} trong đó a khác 0 nên số tập con là số cách chọn a trong 6 phần tử còn lại bài là:

Số tập con của A có 3 phần tử thỏa đề bài:

Số tập con của A có 4 phần tử thỏa đề bài là

Vậy số tập con của A thỏa đề bài là : 1+++ = 42

Câu 24: Có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ biết rằng nam ngồi một bàn nử ngồi một bàn?

1. 
   14400
   
2. 
   28800 (X)
   
3. 
   30240
   
4. 
   Một đáp số khác
   

Có 2 cách chọn bàn cho nam và nữ.

Ứng với mỗi cách chọn bàn. Thì có 5! cách sắp xếp chỗ ngồi cho nam và 5! cách sắp xếp chỗ ngồi cho nữ. Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi là 2 x 5! x 5! = 28800

Câu 25: Từ 10 bông hồng và 8 bông cúc. Có bao nhiêu cách chọn 5 bông sao cho có ít nhất 2 bông hồng?

1. 
   8652
   
2. 
   8568
   
3. 
   11172 (X)
   
4. 
   58800
   

Số bông hồng có thể có là 2, 3, 4, 5. Do đó số cách chọn 5 hoa trong đó có ít nhất 2 hoa hồng là:

Câu 26: Có 4 đường thẳng song song , cắt 5 đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo ra?

1. 
   20
   
2. 
   40
   
3. 
   60 (X)
   
4. 
   80
   

Cứ mỗi cặp đường thẳng của bộ 4 đường giao với cặp đường thẳng của bộ hai đường ta sẽ có một hình bình hành. Do đó số hình bình hành là :

Câu 27: Số các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước là ?

1. 
   126 (X)
   
2. 
   252
   
3. 
   1260
   
4. 
   1680
   

Các số thỏa mãn đề bài không thể có số 0 vì nếu có thì số 0 phải đứng đầu tiên ( vô lí)

Vậy các chữ số thuộc tập A = {1, 2, …9}. Với mỗi bô năm số trong tập A ta chỉ có thể lập thành một số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Do đó số các số cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 9 phần tử, đó là: số.

Câu 28: Một người có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa có 5 hoa trong đó có đúng 2 bông hồng vàng và ít nhất một bông hồng đỏ?

1. 
   340(X)
   
2. 
   220
   
3. 
   300
   
4. 
   350
   

Số cách chọn 2 trong 5 bông hồng vàng là .

Do có ít nhất một bông hồng đỏ nên số bông hồng đỏ có thể là 1, 2 hoặc 3. Từ đó ta có các cách chọn sau:

+ 2 vàng 1 đỏ và 2 trắng, có : cách

+ 2 vàng 2 đỏ và 1 trắng có : cách

+ 2 vàng 3 đỏ và 0 trắng có cách

Vậy số cách chọn một bó hoa thỏa đề bài là:

120 + 180 + 40 = 340 cách

Câu 29: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 11 điểm, trên b lấy 13 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác được lập từ các điểm đó?

1. 
   1453
   
2. 
   1573 (X)
   
3. 
   2024
   
4. 
   3146
   

Một tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng, do đó có các trường hợp sau xảy ra:

+ Số tam giác có 2 đỉnh thuộc a, 1 đỉnh thuộc b là:

+ Số tam giác có 2 đỉnh thuộc b, 1 đỉnh thuộc a là: .

Vậy số tam giác là: 715 + 858 =1573

Câu 30: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử ra 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B; còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

1. 
   168
   
2. 
   3024
   
3. 
   1260 (X)
   
4. 
   15120
   

Số cách chọn 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A là:

Số cách chọn 2 người trong những người còn lại làm nhiệm vụ ở địa điểm B là: .

Số cách chọn 4 người trong những người còn lại trực tại đồn là: .

Vậy số cách phân là: cách.

Câu 31: Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư khác nhau. Hỏi có bao cách dán tem vào thư sao cho mỗi thư chỉ có một tem?

1. 
   120 (X)
   
2. 
   25
   
3. 
   3125
   
4. 
   252
   

Lấy 5 tem dán vào 5 thư thì số cách dán thực ra là số hoán vị của 5 phần từ, đó là: cách.

Câu 31: Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào bàn sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh nhau?

1. 
   384
   
2. 
   480 (X)
   
3. 
   600
   
4. 
   720
   

Số cách sắp 6 học sinh ngồi vào bàn là: P₆ = 6! =720

Chúng ta tính số cách sắp học sinh vào bàn sao cho A, B ngồi gần nhau. Ta có:

Mỗi cách sắp xếp A, B hoặc B, A ngồi cạnh nhau theo thứ tự đó là một hoán vị của 5 phần tử, có 2.P₅ = 2.5! = 240

Vậy số cách sắp xếp thỏa đề bài là: 720 – 240 = 480 (cách)

Câu 32: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 cuồn sách Toán, 2 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu mọi cuốn sách cùng môn được sắp kề nhau?

1. 
   13860
   
2. 
   34560
   
3. 
   103680
   
4. 
   207360 (X)
   

Đặt 3 nhóm sách lên kệ có 3! = 6 cách

Ứng với mỗi cách sắp xếp các nhóm lên kệ thì ta có:

+ Nhóm sách Toán có: 4! = 24 cách

+ Nhóm sách Văn có: 2! = 2 cách

+ Nhóm sách Anh Văn có 6! = 720 cách

Vậy có 6 x 24 x 2 x 720 = 207360 cách sắp xếp sách thỏa đề bài.

Câu 33: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 bạn A, B, C , D , E, F vào một ghế dài sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế?

1. 
   24
   
2. 
   48 (X)
   
3. 
   30
   
4. 
   84
   

Số cách sắp xếp A và E là: 2! = 2 cách

Số cách sắp xếp các bạn khác ngồi vào 4 vị trí còn lại là: 4! = 24 cách

Vậy có tất cả 2 x 24 = 48 cách sắp xếp thỏa mãn bài toán.

Bài 34: Có bao nhiêu số có 9 chữ số chỉ gồm {1,2, 3, 4, 5} trong đó có 5 chữ số 1 kề nhau và các chữ số còn lại xuất hiện đúng một lần.

1. 
   120 (X)
   
2. 
   126
   
3. 
   96
   
4. 
   144
   

Có 5 cách chọn cho vị trí của các số 11111.

Số cách chọn các số còn lại là số hoán vị của 2, 3, 4, 5 có:

P₄ = 4! = 24 cách

Vậy số các số thỏa đề bài là: 5x 24 = 120

Câu 35: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau lấy ra từ các số 0, 2, 3, 6, 9.

1. 
   36
   
2. 
   72
   
3. 
   60 (X)
   
4. 
   54
   

+ Nếu một số có tận cùng là 0 thì 4 chữ số đầu là hoán vị của 2, 3, 6, 9. Trong trường hợp này ta có: P4 = 4! = 24 số.

+ Nếu chữ số tận cùng là 2 thì bốn chữ số đầu là hoán vị của 0, 3, 6, 9 trong đó loại bỏ các hoán vị bắt đầu là 0. Ta có số số chẵn tận cùng là 2 là: 4! – 3! = 18

+ Tương tự số các số chẵn tận cùng là 6 là: 4! – 3! = 18

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là 24 + 18 + 18 = 60 số

Bài 36: Có bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau trong đó chữ số đầu tiên phải là chữ số lẻ?

1. 
   8400 (X)
   
2. 
   6720
   
3. 
   15120
   
4. 
   25000
   

Số cần tìm có dạng trong đó e là số chẵn và a là số lẻ.

Có 5 cách chọn chữ số a

Có 5 cách chọn chữ số e.

Bộ số b, c, d là một chỉnh hợp chập 3 của 8 số còn lại. Do đó số cách chọn là .

Vậy số chữ số thỏa mãn đề bài là: 5 x 5 x = 6400 số.

Câu 37: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho trong 3 chữ số đầu tiên phải có chữ số 1?

1. 
   2688
   
2. 
   8288
   
3. 
   8400
   
4. 
   9027
   

Xét các số ( a có thể bằng 0).

Có 3 cách chọn vị trí cho số 1. Sau đó chọn các giá trị khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ các chữ số còn lại có: cách

Như thế có số( kể cả ) thỏa đề bài.

Xét các số có dạng .

Có 2 cách chọn vị trí cho số 1, sau đó chọn 3 số khác nhau cho các vị trí còn lại từ các chữ số còn lại, ta có .

Như thế có số dạng thỏa mãn đề bài.

Vậy số các chữ số có 5 chữ số khác nhau thỏa đề bài là:

9072 – 672 = 8400 số

Câu 38: Cho các chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là một số nhỏ hơn 278?

1. 
   19
   
2. 
   20(X)
   
3. 
   21
   
4. 
   23
   

Số cần tìm có dạng: ( a khác 0). Vì < 278 nên a chỉ có thể là 1 hoặc 2.

Nếu a = 1. Thì b, c có thể chọn bất kì trong các số còn lại, do đó là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử, số cách chọn là: .

Nếu a = 2. Vì nên b chỉ có thề là 1, 5, 7 có 3 cách chọn b.

+ Nếu b = 1, 5 thì có 3 cách chọn c, do đó 2 x 3 = 6 cách chọn bộ (b, c);

+ Nếu b = 7 thì b có 2 cách chọn c là 1 hoặc 5.

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: 12 + 6 + 2 = 20 số.

Câu 39: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau là các chữ số liên tiếp? (Ví dụ: 21345)

1. 
   720
   
2. 
   600
   
3. 
   669
   
4. 
   696 (X)
   

Số cần tìm có dạng trong đó a, b, c,d, e là các chữ số liên tiếp nên sẽ là một trong các bộ sau: (0, 1, 2, 3, 4); (1, 2, 3, 4, 5); (2, 3, 4, 5, 6) ….(5, 6, 7, 8, 9).

Trong mỗi bộ (không chứa số 0) thì số cần lập chỉ là một hoán vị của bộ đó nên ứng với mỗi bộ có: 5! = 120 số. Vậy số các chữ số cần tìm ( không chứa số 0) là: 5x120 = 600 số.

Xét bộ ( 0, 1, 2, 3, 4). Ta có số các số ( kể cả a = 0) là 5! = 120

Số các số là: 4! = 24. Do đó số các số lập được từ bộ trên là; 120 – 24 = 96 số.

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: 600+ 96 = 696 số

Câu 40: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bằng 123?

1. 
   6690
   
2. 
   3360
   
3. 
   3348 (X)
   
4. 
   3330
   

Gọi m là số các số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ A.

n là số các số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ A bắt đầu bằng 123.

Thì số các số thỏa đề bài là m – n.

Tính m:

Lập một số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ A.

+ chẵn nên e  {2, 4 ,6, 8}, suy ra có 4 cách chọn e.

+ Chọn a, b, c,d  A\ {e} nên có cách

Do đó m = 4 x = 3360.

Tính n:

Có 3 cách chọn e là 4, 6, 8.

Chọn d từ tập A \ {1, 2, 3, e} có 4 cách chọn.

Vậy n = 3 4 = 12.

Vậy số các số thỏa đề bài là 3360 – 12 = 3348 số.

Câu 41: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3?

1. 
   36
   
2. 
   24 (X)
   
3. 
   18
   
4. 
   12
   

Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Do đó ta tìm bộ các số có 3 chữ số chia hết cho 3 lấy từ A. Đó là các bộ (1, 2, 3); ( 1, 3, 5); ( 2, 3, 4) và (3, 4, 5). Số các số cần tìm là số tổng số hoán vị của các bộ trên, do đó có: 4 x 3! = 24 số

Câu 42: Trong một kì thi tốt nghiệp có 3 môn KHTN là Toán,Lý, Hóa và 3 môn KHXH là Văn , Anh, Sử. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khóa biểu thi biết rằng một ngày thi hai môn( sáng 1 môn, chiều 1 môn) và trong một ngày thì có một môn KHTN và 1 môn KHXH?

1. 
   36
   
2. 
   72
   
3. 
   288
   
4. 
   720
   

Trước tiên ta chọn các sắp xếp cho các môn KHTN. Có 3 môn sắp xếp cho 3 ngày nên có 3! cách sắp xếp theo ngày. Trong một ngày thì một môn có hai cách xếp là sáng hoặc chiều. Vậy số cách xếp các môn KHTN là 2³ x 3! = 48 cách.

Ứng với một cách xếp các môn KHTN thì còn các buổi còn lại sẽ được sắp xếp vào các môn KHXH, có 3 môn sắp xếp vào 3 buồi nên có 3! = 6 cách.

Vậy số cách sắp xếp thời khóa biểu thi là 48 x 6 = 288 cách.

Câu 43: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

1. 
   5400
   
2. 
   12900 (X)
   
3. 
   2100
   
4. 
   10800
   

+ Trường hợp 2 nam 3 nữ có: cách

+ Trường hợp 3 nam 2 nữ có: cách

+ Trường hợp 4 nam 1 nữ có: cách

Vậy tất cả có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách chọn thỏa mãn đề bài.

Câu 44: Phương trình x + y + z = 10 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

1. 
   45
   
2. 
   36
   
3. 
   90
   
4. 
   120
   

o  o o  o o o o o o o.

Chúng ta tưởng tượng có 10 vật, ta chia làm 3 nhóm mỗi nhóm có ít nhất một vật.. Hình vẽ trên ứng với một cách chia(Một cách đặt hai dấu  tương ứng với một cách chia). Và có 9 vị trí để đặt dấu , từ đó ta thấy số cách chia là số tổ hợp chập 2 của 9 là

Số cách chia các vật trên là số nghiệm của phương trình, do đó số nghiệm của phương trình là 36.

Câu 45: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số trong đó chỉ có chữ số đầu và cuối là giống nhau còn các chữ số còn lại khác nhau và khác hai chữ số kia?

1. 
   35
   
2. 
   840
   
3. 
   720
   
4. 
   120
   

Số cần tìm có dạng

Chữ số a khác 0 nên có 6 cách chọn a.

Chọn b, c, d  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } \ {a} nên có cách.

Vậy số các chữ số thỏa đề bài là 6 x = 720 cách.

Câu 46: Có bao nhiêu giao điểm tối đa của 10 đường tròn.

1. 
   20
   
2. 
   70
   
3. 
   45
   
4. 
   90
   

Hai đường tròn có nhiều nhất hai giao điểm. Vậy số giao điểm nhiều nhất của 10 đường tròn là: giao điểm

Câu 47: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10000 mà có tổng các chữ số không lớn hơn 2.

1. 
   5
   
2. 
   20
   
3. 
   21 (X)
   
4. 
   22
   

Số nhỏ hơn 10000 nên có nhiều nhất là 4 chữ số, gọi số cần tìm có dạng ( các chữ số có thể bằng 0).

+ Nếu tổng các chữ số là 0: có một số là số 0

+ Nếu tổng các chữ số là 1: thì trong số cần tìm có đúng một chữ số 1, các chữ số còn lại đều bằng 0. Ta có 4 vị trí cho số 1 tương ứng với 4 số khác nhau.(1000, 0100, 0010, 0001)

+ Nếu tổng các chữ số bằng 2: ta có 2 = 1 + 1 = 2 + 0. Do đó trong số cần tìm có 2 chữ số 1 hoặc 1 chữ số 2.

• 
  Nếu có 2 chữ số 1, thì số chữ số cần tìm là tổ hợp chập 2 của 4, có số.
  
• 
  Nếu có 1 chữ số 2 thì có 4 vị trí để đặt số 2 tương ứng với 4 số khác nhau(2000, 0200, 0020, 0002)
  

Câu 48: Biết tổng các hệ số trong khai triển (a+b)ⁿ bằng 4096, hỏi giá trị của n = ?

1. 
   10
   
2. 
   12 (X)
   
3. 
   21
   
4. 
   15
   

Ta có:

Nên tổng các hệ số của khai triển (a+b)ⁿ là

Suy ra n = 12

Câu 49: Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng?

A)

B)

C) (X)

D)

Hướng dẩn:

Ta có:

Câu 50: Cho k, n   và k  n. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A)

B) (X)

C)

D)

Hướng dẫn:

Ta có

Câu 51: Giá trị của biểu thức: bằng?

1. 
   7ⁿ
   
2. 
   7ⁿ – 1 (X)
   
3. 
   6ⁿ⁺¹
   
4. 
   7ⁿ + 1
   

Áp dụng công thức nhị thức Newton Ta có:

Suy ra:

Câu 52: Khai triển và rút gọn đa thức:

P(x) = (1+x)⁶ + (1+x)⁷ + (1+x)⁸ + (1+x)⁹ +(1+x)¹⁰

Ta được .

Tinh a₈

1. 
   1
   
2. 
   8
   
3. 
   54
   
4. 
   55
   

Hệ số a₈ là tổng hệ số của x⁸ trong các khai triển Newton của ba nhị thức sau: (1+x)⁸, (1+x)⁹ , (1+x)¹⁰. Suy ra:

Câu 53: Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của là:

1. 
   252 (X)
   
2. 
   5
   
3. 
   10
   
4. 
   210
   

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton của là:

Số hạng này không chứa x khi 2k – 10 = 0 hay k = 5.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển Newton của biểu thức trên là:

Câu 54: Hệ số của số hạng không chứa y trong khai triển nhị thức: là:

1. 
   1792 (X)
   
2. 
   448
   
3. 
   56
   
4. 
   484
   

Số hạng tổng quát của khai triển Newton nhị thức trên là:

Để số hạng này không chứa y thì ta có: 40 – 8k = 0, hay k = 5.

Suy ra hệ số của số hạng không chứa y là:

Câu 55: Chọn câu trả lời đúng nhất trong các khẳng định sau:

A)

B)

C) Cả hai câu A và B trên đều sai.

D) Cả hai câu A và B đều đúng. (X)

Hướng dẫn:

Đặt:

Và

Ta có:

Từ (1) và (2) ta có A = B = 2^2p-1

Câu 56: Cho k, n là các số nguyên không âm và 0  k  n, biểu thức được rút gọn thành:

1. 
   k
   
2. 
   k +1
   
3. 
   n (X)
   
4. 
   n +1
   

Câu 57: Tổng có giá trị bằng:

1. 
   59048 (X)
   
2. 
   59049
   
3. 
   59050
   
4. 
   59409
   

Ta có

Do đó

Câu 59: Khai triển của nhị thức (x-2)^100­ được viết dưới dạng:

1. 
   0
   
2. 
   1 (X)
   
3. 
   -1
   
4. 
   2¹⁰⁰
   

Đặt . Ta có

Câu 60: Rút gọn biểu thức

được kết quả là:

A)

B)

C)

D) (X)

Hướng dẫn:

Ta có
Do đó:

Câu 61: Tổng bằng:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   (X)
   

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

Cho x = 1 ta có:

Câu 62: Tổng có giá trị bằng:

A) 2¹⁰

B) 2²⁰ – 2¹⁰

C) 2²⁰ (X)

D) 2²¹

Hướng dẫn:

Ta có:

Mà nên ta có:

Câu 63: Tổng 1. 1! + 2.2!+3.3!+…+ n. n! = ?

1. 
   (n+1)!
   
2. 
   (n+1)! -1 (X)
   
3. 
   (n+1)! + 1
   
4. 
   2. (n+1)!
   

Ta có k. k! = (k+1-1).k! = (k+1).k! – k! = (k+1)! – k!

Do đó 1. 1! + 2. 2! +…+n. n! = 2! – 1! + 3! – 2! +…+(n+1)! – n!

= (n+1)! – 1

Câu 64: Các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng?

A) (X)

B)

C)

D)

Hướng dẫn: