§¹i Sè §¹i C¬ng
tải về 2.2 Mb.
|
- Điều hướng trang này:
- Ch¬ng 1
- 1. T ậ p
- 2. ¸ nh x¹ a . § Þnh nghÜa
| TrÇn ngäc huÖ
®¹i sè ®¹i c¬ng
Cuèn s¸ch ®îc biªn so¹n theo ch¬ng tr×nh §¹i Sè §¹i C¬ng, khoa to¸n_ C¬_ Tin häc, trêng §¹i häc Khoa Häc Tù Nhiªn, ®¹i häc Quèc Gia Hµ Néi nh»m cung cÊp cho b¹n ®äc mét tµi liÖu tham kh¶o ng¾n gän vÒ ®¹i sè trõu tîng. Néi dung cña cuèn s¸ch gåm 5 ch¬ng vµ mét ch¬ng phô lôc. Ch¬ng 1: TËp vµ quan hÖ: Tr×nh bµy mét sè vÊn ®Òquan träng lµ c¬ së cña ®¹i sè vµ c¸c m«n to¸n kh¸c. Ch¬ng 2: nhãm : tr×nh bµy nh÷ng vÊn ®Ò s¬ cÊp cña lý thuyÕt nhãm. Ch¬ng 3.vµnh trêng ®a thøc : dµnh cho viÖc nghiªn cøu mét c¸ch c« ®äng vÒ vµnh ,trêng ®a thøc . Ch¬ng 4: m«®un vµ ®¹i sè : tr×nh bµy nh÷ng vÊn ®Ì c¬ b¶n vÒ m«®un vµ ®aÞ sè , tÝch tens¬ vµ tenx¬ ,lý thuyÕt vµnh vµ m«®un N¬ te. Ch¬ng 5: ®¹i sè bul¬ : tr×nh bµy nh÷ng tÝnh chÊt quan träng cu¶ cÊu chóc ®¹i sè Bul¬. Trong ch¬ng phô lôc chóng t«i muèn ®a b¹n ®äc lµm quen víi kh¸i niÖm trõu tîng ph¹m chï vµ hµm tö , mét kh¸i niÖm thêng gÆp trong nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc ,mµ v× lý do s ph¹m ®· kh«ng ®a vµo ®Çu cuèn s¸ch ®Ó tr×nh bµy theo mét ng«n ng÷ to¸n häc hiÖn ®¹i h¬n. C¸c bµi tËp ë cuèi mçi ch¬ng ®· ®îc chän läc lµm hai lo¹i : ngoµi nh÷ng bµi tËp ®Ó bµn ®äc luyÖn tËp ,tù kiÓm tra ch×nh ®é lý thuyÕt cßn coo c¸c bµi tËp cho c¸c bµn yªu thich ®¹i sè cã thÓ thö søc tham gia vÒ viÖc ph¸t triÓn nh÷ng hiÓu biÕt vÒ lý thuyÕt . Cuèn x¸ch cã thÓ sö dông lµm tµi liÖu cho sinh viªn khoa to¸n – c¬ - tin häc trêng §HKHTN vµ c¸c bµn chuÈn bÞ thi cao häc hoÆc nghiªn cøu sinh ,tµi liÖu tham kh¶o cho sinh viªn nghµnh to¸n cña c¸c trêng ®¹i häc vµ cao ®¼ng kh¸c . Cuèn sach ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu sai sãt t¸c gi¶ mong nhÇn ®îc ®ãng gãp cña b¹n ®äc . T¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n TSKH NguyÔn Tù Cêng, TSKH NguyÔn H÷u ViÖt Hng,TS NguyÔn V¨n Minh, TS NguyÔn §øc §¹t, nh÷ng ngêi ®· ®äc b¶n th¶o vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u. CHƯƠNG 1
TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ § 1 tËp ¸nh x¹ 1. Tập Trong gi¸o tr×nh nµy kh¸I niÖm tËp ®îc ®îc hiÓu theo quan niÖm cña lý thuyÕt tËp ng©y th¬. TËp lµ mét trong nh÷ng kh¸i niÖm ban ®Çu cña to¸n häc, ®îc hiÓu mét c¸ch trùc gi¸c kh«ng ®Þnh nghÜa. Chóng ta quan niÖm t¹p nh mét sù tô tËp c¸c ®èi tîng gièng nhau theo mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã, c¸c ®èi tîng ®ã gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp. VÝ dô: TËp c¸c sè nguyªn tè bÐ h¬n 10 lµ 2, 3, 5, 7; TËp c¸c ®êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng Oxy ®i qua gèc to¹ ®é; TËp c¸c nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh cho tríc;TËp d©n c cña mét thµnh phè;… C¸c ký hiÖu logic sau sÏ ®îc sö dông: V (®äc lµ “hoÆc”); (®äc lµ “vµ”); (®äc lµ “víi mäi”); ( ®äc lµ “tån t¹i”); ! (®äc lµ “tån t¹i duy nhÊt”); (®äc lµ “kÐo theo”); (®äc lµ “t¬ng ®¬ng”). §Ó chØ ®èi tîng x thuéc tËp X ( hoÆc x X) chØ r»ng x kh«ng ph¶I lµ phÇn tö cña tËp X. Cïng mét kh¸I niÖm cïng danh tõ tËp ta cßn dïng c¸c danh tõ: líp, hä, hÖ, v.v… §Ó tr¸nh nh÷ng m©u thuÉn cña lý thuyÕt tËp, ta quy ®Þnh r»ng: Mét tËp lµ mét líp, nhng mét líp cã thÓ kh«ng ph¶I lµ 1 tËp. VÝ dô: TËp X gäi lµ “chÝnh t¾c” nÕu X X. C¸c tËp chÝnh t¾c tån t¹i. Ch¼ng h¹n tËp c¸c sè h÷u tØ Q lµ mét tËp chÝnh t¾c. V× tÊt c¶ c¸c sè h÷u tØ kh«ng ph¶I lµ mét sè h÷u tØ nªn Q Q. Nõu ta goi F lµ tËp tÊt c¶ c¸c tËp chÝnh t¾c sÏ gÆp mau thuÉn sau: F lµ tËp võa chÝnh t¾c võa kh«ng chÝnh t¾c. §Ó tr¸nh m©u thuÉn ®ã ta quy ®Þnh gäi F lµ líp tÊt c¶ c¸c tËp chÝnh t¾c. Do ®ã ta sÏ nãi: “Líp tÊt c¶ c¸c tËp”, “líp c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh” chø kh«ng nãi : “ TËp tÊt c¶ c¸c tËp”, “ TËp c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh”, v.v… TËp rçng: tËp kh«ng cã phÇn tö nµo gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ . VÝ dô tËp c¸c nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 lµ tËp rçng. TËp con: tËp B gäi lµ tËp con cña tËp A, ký hiÖu B A (hoÆc A B ) nÕu mäi phÇn tö cña B lµ phÇn tö cña A. VËy B A x B x A. Theo ®Þnh nghÜa tËp lµ tËp con cña tËp bÊt k× B, B. Hai tËp trïng nhau: Hai tËp A, B gäi lµ trïng nhau, ta viÕt A = B nÕu mçi phÇn tö cña tËp nµy ®Òu théc tËp kia, tøc lµ: A = B A B vµ B A. TËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña tËp X ®îc kÝ hiÖu lµ P(X). Tõ ®Þnh nghÜa suy ra r»ng vµ X lµ c¸c phÇn tö cña P(X). Hîp: Hợp của hai tập A vµ B, kÝ hiÖu A B, ®îc x¸c ®Þnh nh sau: A B = x: xA V x B. Giao: Giao cña hai tËp A vµ B, kÝ hiÖu A B, ®îc x¸c ®Þnh nh sau: A B = x: x A x B NÕu A B = th× ta nãi r»ng c¸c tËp A, B rêi nhau. HiÖu cña hai t¹p A, B, kÝ hiÖu bëi A\ B lµ tËp. A\ B = x: x A x B. NÕu A B th× A \ B gäi lµ phÇn bï cña tËp B trong tËp A vµ kÝ hiÖu bëi CAB. C¸c phÐp to¸n hîp, giao c¸c tËp cã c¸c tÝnh chÊt sau : a. TÝnh giao ho¸n : A B = B A A B = B A. b. TÝnh kÕt hîp: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) c. tÝnh ph©n phèi: (A B) C = ( A B) ( A C) A (B C) = (A B) (A C) Chóng ta cã thÓ ®Ünh nghÜa hîp, giao cña mét hä tËp hîp bÊt k×. Gi¶ sö I là mét tËp cho tríc, víi mçi I ta cã tËp A. TËp I gäi lµ tËp c¸c chØ sè. Hîp hä c¸c tËp A , I kÝ hiÖu  I lµ tËp
=x: I sao cho x A
Giao cña c¸c tËp A, I, ký hiÖu  A lµ tËp :
A =x: x A I
Trong gi¸o tr×nh nµy c¸c tËp: TËp c¸c sè tù nhiªn, tËp c¸c sè nguyªn, tËp c¸c sè h÷u tØ, tËp c¸c sè thùc vµ tËp c¸c sè phøc sÏ ®îc ký hiÖu t¬ng øng bëi c¸c ch÷ N, Z, Q, R vµ C. 2. ¸nh x¹ a. §Þnh nghÜa: Gi¶ xö X, Y lµ c¸c tËp cho tríc, mét ¸nh x¹ (hoÆc hµm) tõ X vµo Y lµ mét quy t¾cøng mçi phÇn tö x X víi mét phÇn tö duy nhÊt (x) Y. PhÇn tö (x) gäi lµ ¶nh cña phÇn tö x qua ¸nh x¹ . Mét ¸nh x¹ tõ X vµo Y thêng ®îc kÝ hiÖu bëi : : X Y hoÆc X  Y.
TËp X gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña anh x¹ . Gi¶ sö A X, ¶nh cña tËp A qua ¸nh x¹ lµ tËp : (A) = (x) : x A Y NÕu A = X, (x) gäi lµ ¶nh ¸nh x¹ vµ kÝ hiÖu bëi Im. Víi C Y, nghÞch ¶nh cña tËp C qua ¸nh x¹ lµ tËp 1(C)x X : (x) C X. §¼ng thøc cña hai ¸nh x¹ g, tõ X vµo Y ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: = g (x) = g(x), x X. Gi¶ sö : X Y ¸nh x¹ gäi lµ toµn ¸nh nÕu (x) = Y. ¸nh x¹ V gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi x  x’ th× (x) (x’).
¸nh x¹ gäi lµ song ¸nh nÕu võa lµ toµn ¸nh võa lµ ®¬n ¸nh( cßn gäi lµ phÐp t¬ng øng 1-1 gi÷a X vµ Y). Gi¶ sö : X Y lµ mét song ¸nh. Khi ®ã mçi phÇn tö yY lµ ¶nh qua ¸nh x¹ cña mét phÇn tö duy nhÊt x X. Do ®ã chóng ta cã thÓ x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ 1: Y X x¸c ®Þnh bëi 1(y) = x, trong ®ã phÇn tö y lµ ¶nh cña phÇn tö x qua ¸nh x¹ . Khi ®ã nãi r»ng lµ mét ¸nh x¹ kh¶ nghÞch vµ 1 gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña ¸nh x¹ .
Gi¶ sö cho tríc c¸c ¸nh x¹ :X Y vµ g: Y Z. Hîp thµnh (hoÆc tÝch) cña ¸nh x¹ vµ ¸nh x¹ g ®îc kÝ hiÖu bëi go hoÆc g lµ ¸nh x¹ tõ X vµoZ x¸c ®Þnh nh sau: go (x) = g((x)). PhÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹ cã tÝnh kÕt hîp, nghÜa lµ : ho(go ) = (hog) o khi c¸c hîp thµnh go vµ hog x¸c ®Þnh. ¸nh x¹ idx: X X x¸c ®Þnh bëi idx(x) = x gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt cña X. nÕu :X Y, ta cã oidx = vµ idy o = . DÔ th¸y r»ng hîp thµnh cña hai ®¬n ¸nh lµ mét ®¬n ¸nh, hîp thµnh cña hai toµn ¸nh lµ mét toµn ¸nh. Do ®ã hîp thµnh hai song ¸nh lµ mét song ¸nh. T×nh huèng ngîc l¹i ta cã mÖnh ®Ò sau ®©y:
Cho hai ¸nh x¹ :X Y vµ g:X Z. Khi ®ã nÕu go lµ ®¬n ¸nh th× lµ mét ®¬n ¸nh, nÕu g0 lµ mét toµn ¸nh th× g lµ mét toµn ¸nh. Chøng minh ®îc xem nh bµi tËp: HÖ qu¶ 1.2: ¸nh x¹ : X  Y lµ sonh ¸nh khi va chØ khi tån t¹i mét ¸nh x¹ g: YX, sao cho g0 = idy vµ khi ®ã g = 1.
§Þnh lý sau ®©y chØ ra c¸c ®iÒu kiÖn tån t¹i song ¸nh gi÷a hai tËp cho tríc. §Þnh lý 1.3: NÕu cã mét ¸nh tõ mét tËp X tíi tËp Y vµ ®ång thêi cã mét ®¬n ¸nh tõ tËp Y ®Õn tíi tËp X th× sÏ tån t¹i song ¸nh tõ tËp X tíi Y. Chøng minh: gi¶ sö cã c¸c ®¬n ¸nh : X Y vµ g: YX. Ta cã h= g0 lµ mét ®¬n ¸nh từ X tíi X.
Каталог: 2009 2009 -> Công ty cổ phần Xây dựng Điện vneco3 2009 -> Ủy ban nhân dân cộng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam thành phố HỒ chí minh độc lập Tự do Hạnh phúc 2009 -> BỘ NÔng nghiệp và phát triển nông thôN 2009 -> Nghị ĐỊnh số 163/2004/NĐ-cp ngàY 07/9/2004 quy đỊnh chi tiết thi hành một số ĐIỀu của pháp lệNH 2009 -> BỘ CÔng thưƠng cộng hoà XÃ HỘi chủ nghĩa việt nam 2009 -> Mẫu số: 01 (Ban hành kèm theo Thông tư liên tịch số 31 /2009/ttlt-btc –BLĐtbxh ngày 09 tháng 09 năm 2009) CỘng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam 2009 -> BỘ y tế Số: 12/2006/QĐ-byt cộng hoà XÃ HỘi chủ nghĩa việt nam 2009 -> CỘng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam sở TƯ pháP Độc lập Tự do Hạnh phúc 2009 -> CÔng ty cp đIỆn tử BÌnh hòa cộng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam 2009 -> Ủy ban nhân dân thành phố HỒ chí minh tải về 2.2 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|