I. CÁC bài toán về : “ phép nhân tràn màn hình ” Bài 1: Tính chính xác tổng s = 1! + 2! + 3! + 4! + + 16. 16! Giải

Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.

Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:

S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)

S = 17! – 1!.

Không thể tính 17! bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:

Ta biểu diễn S dưới dạng: a.10ⁿ + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.

Ta có: 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6 227 020 800 . 57 120

Lại có: 13! = 6 227 020 800 = 6227 . 10⁶ + 208 . 10² nên

S = (6227 . 10⁶ + 208 . 10²) . 5712 . 10 – 1

= 35 568 624 . 10⁷ + 1 188 096 . 10³ – 1 = 355 687 428 096 000 – 1

= 355 687 428 095 999.

Bài 2:

Tính kết quả đúng của các tích sau:

1. 
   M = 2222255555 . 2222266666.
   
2. 
   N = 20032003 . 20042004.
   

1. 
   Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
   Ta có M = (A.10⁵ + B)(A.10⁵ + C) = A².10¹⁰ + AB.10⁵ + AC.10⁵ + BC
   Tính trên máy:
   A² = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
   Tính trên giấy:
   

   A2.1010	4	9	3	8	1	7	2	8	4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
   AB.105					1	2	3	4	5	4	3	2	1	0	0	0	0	0	0
   AC.105					1	4	8	1	4	5	1	8	5	2	0	0	0	0	0
   BC										3	7	0	3	6	2	9	6	3	0
   M	4	9	3	8	4	4	4	4	4	3	2	0	9	8	2	9	6	3	0

2. 
   Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
   N = (X.10⁴ + X) (Y.10⁴ + Y) = XY.10⁸ + 2XY.10⁴ + XY
   Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
   

M = 4 938 444 443 209 829 630.

N = 401 481 484 254 012.

Bài 3: Cho đa thức Q(x) = (3x² + 2x – 7 )⁶⁴.

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.

Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có:

A = Q(1) = (3 + 2 – 7)⁶⁴ = 2⁶⁴.

Ta có 2⁶⁴ = (2³²)² = (4294967296)².

Đặt X = 42949; Y = 67296.

Khi đó A = (X. 10⁵ + Y)² = X².10¹⁰ + 2.X.Y.10⁵ + Y².

Lập bảng tính trên giấy như bài 2.

ĐS: A = 18 446 744 073 709 551 616

Bài tập tương tự:

Tính chính xác các phép tính sau:

1. 
   A = 20!.
   
2. 
   13032006.13032007 ĐS: 52 293 416 042
   
3. 
   B = 5555566666 . 6666677777
   
4. 
   C = 20072007 . 20082008
   
5. 
   1038471³ ĐS: 1 119 909 991 289 361 111
   
6. 
   20122003²
   

Suy ra r = a – b . q

Ví dụ: Tìm số dư trong các phép chia sau:

1. 
   9124565217 cho 123456 ĐS: 55713
   
2. 
   987896854 cho 698521 ĐS: 188160
   

Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

• 
  Cắt ra thành 2 nhóm, nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
  
• 
  Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
  

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203

Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.

Kết quả số dư cuối cùng là 26.

1. 
   983637955 cho 9604325 ĐS: 3996805
   
2. 
   903566896235 cho 37869. ĐS: 21596
   
3. 
   1234567890987654321 : 123456 ĐS: 8817
   

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+













Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 12⁶ cho 19

Giải:

Vậy số dư của phép chia 12⁶ cho 19 là 1

Biết 376 = 62 . 6 + 4

Ta có:



Vậy

Kết quả: Số dư của phép chia 2004³⁷⁶ cho 1975 là 246

Tìm số dư của phép chia:

1. 
   13⁸ cho 27 ĐS: 25
   
2. 
   25¹⁴ cho 65 ĐS: 40
   
3. 
   1978³⁸ cho 3878. ĐS: 744
   
4. 
   2005⁹ cho 2007 ĐS: 1495
   
5. 
   7¹⁵ cho 2001 ĐS: 1486
   

• 
  Tìm chữ số hàng đơn vị thì tìm đồng dư mod 10.
  
• 
  Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 100 rồi chọn chữ số hàng chục.
  
• 
  Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 1000 rồi chọn chữ số hàng trăm.
  

Vậy . Chữ số tận cùng của 17²⁰⁰² là 9

+ Tìm chữ số hàng chục của số 23²⁰⁰⁵

Do đó:

Vậy chữ số hàng chục của số 23²⁰⁰⁵ là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23²⁰⁰⁵ là 43)

Vậy chữ số hàng trăm của số 23²⁰⁰⁵ là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 23²⁰⁰⁵ là số 343).

Có

Vậy chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁵ là 7.

Vậy chữ số hàng trăm của 29²⁰⁰⁷ là 3.

Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:

+ ƯCLN (A; B) = A : a

+ BCNN (A; B) = A . b

ƯCLN(A; B; C) = ƯCLN[ƯCLN(A; B); C]

BCNN( A; B; C) = BCNN[BCNN(A; B); C]

ƯCLN: 2419580247 : 7 = 345654321

BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 10¹⁰ (tràn màn hình)

Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247. 11

Kết quả: BCNN: 4615382717 + 2.10⁹ . 11 = 26615382717

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của 40096920; 9474372 và 51135438

Giải:

Ấn 9474372  40096920 = ta được : 6987 29570.

ƯCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.

Ta đã biết ƯCLN(a; b; c) = ƯCLN(ƯCLN(a ; b); c)

Do đó chỉ cần tìm ƯCLN(1356 ; 51135438).

Thực hiện như trên ta tìm được:

ƯCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678

Bài tập:

Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.

1. 
   Hãy tìm ƯCLN của 1939938; 68102034. ĐS: 102102
   
2. 
   Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510. ĐS: 340510170
   
3. 
   Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B².
   

Tổng quát:

1. 
   0,(123)
   
2. 
   7,(37)
   
3. 
   5,34(12)
   

a) Cách 1:

Ta có 0,(123) = 0,(001).123 =

Cách 2:

Đặt a = 0,(123)

Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a =

Các câu b,c (tự giải)

Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)

Giải:

Đặt 3,15(321) = a.

Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)

100 a = 315,(321) (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006

Vậy

Đặt 0,0019981998... = a.

Ta có:

Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 =

Vậy A =

Bài 4: Cho .

Chứng tỏ rằng A là một số tự nhiên. Tìm A.

Đặt A₁ =0,(2007) = 0,20072007…

Đặt A₂ = 0,0(2007) =

A₃ = 0,00(2007) =

Vậy A = 123321 nên A là một số tự nhiên.

Số nào sau đây là ước nguyên tố của số đã cho 2, 3, 5, 7, 11.

Giải như bài 3 tìm được A = 1111 = 11.101

Suy ra trong các số đã cho thì 11 là ước nguyên tố của số A.

Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13

Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923

+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999

17 - 16,9999999 = 0,0000001

Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001

(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì

17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,3076923 . 13 + 0,0000001

+ lấy 1: 13 = 0,07692307692

11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692

Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:

Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.

Ta có 105 = 6.17 + 3 ()

Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7.

Tìm chữ số thập phân thứ 13²⁰⁰⁷ sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19

Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 13²⁰⁰⁷ sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19

Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.

Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842

+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10^-9

Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10^-8 = 17 . 10^-9

Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là

+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10^-9

Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.

Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

...

Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...

= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.

Ta có

Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.

Kết quả: số 8

Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:

1. 
   1 chia cho 49 ĐS: chữ số 4(chữ số thứ 33 trong chu kì 42 chữ số)
   
2. 
   10 chia cho 23 ĐS: chữ số 8(chữ số thứ 5 trong chu kì 22 chữ số)
   

Một số kiến thức cần nhớ:

1. 
   Định lý Bezout
   Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
   Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
   
2. 
   Sơ đồ Hor nơ
   

Ví dụ:

• 
  Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên
  
• 
  Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên
  

* Nếu đa thức bị chia là a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ , đa thức chia là x – a, ta được thương là b₀x² + b₁x + b₂ dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:

a₁

a₂

a₃

a₀

a

b₀

a₀

1. 
   x³ – 9x² – 35x + 7 cho x – 12.
   
2. 
   x³ – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
   
3. 
   Tính a để x⁴ + 7x³ + 2x² + 13x + a chia hết cho x + 6.
   
4. 
   
   
5. 
   Cho P(x) = 3x³ + 17x – 625
   + Tính P(2)
   + Tính a để P(x) + a² chia hết cho x + 3
   

Cho P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + f.

Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.

Tính P(6), P(7), P(8), P(9).

Ta có P(1) =1 = 1²; P(2) = 4 = 2²; P(3) = 9 = 3²; P(4) = 16 = 4²; P(5) = 25 = 5²

Xét đa thức Q(x) = P(x) – x².

Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.

Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).

Vì hệ số của x⁵ bằng 1 nên Q(x) có dạng:

Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).

Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6²

Hay P(6) = 5! + 6² = 156.

Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7²

Hay P(7) = 6! + 7² = 769. Tương tự hãy tính P(8), P(9).