Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn

Sau ®©y xin giíi thiÖu víi c¸c b¹n vµi c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

x⁴ + ax³ + bx²+ cx + d = 0, trong ®ã a,b,c,d lµ c¸c sè thùc kh¸c kh«ng.

I) Víi c¸c ph­¬ng tr×nh bËc bèn, trong mét sè tr­êng hîp cô thÓ, nÕu b¹n cã c¸ch nh×n s¸ng t¹o, biÕt nbiÕn ®æi hîp lý vµ s¸ng t¹o, b¹n cã thÓ gi¶i chóng kh«ng khã kh¨n g×.

VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

(1)

Ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc viÕt thµnh : (2)

Ph­¬ng tr×nh (2) lµ ph­¬ng tr×nh bËc bèn ®èi víi x mµ b¹n kh«ng cã c¸ch gi¶i.

Nh­ng ta l¹i cã thÓ viÕt ph­¬ng tr×nh (1) d­íi d¹ng:

vµ xem (3) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi a. Víi c¸ch nh×n nµy ta t×m ®­îc a theo x

Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi x : vµ

§iÒu kiÖn ®Ó (5) cã nghiÖm lµ vµ c¸c nghiÖm cña (5) lµ:

Tæng kÕt:

a	-3 -1
Ph­¬ng tr×nh (4)	V« nghiÖm	2 nghiÖm	2 nghiÖm
Ph­¬ng tr×nh (5)	V« nghiÖm	V« nghiÖm	2 nghiÖm
Ph­¬ng tr×nh (1)	V« nghiÖm	2 nghiÖm	4 nghiÖm

1 nghiÖm 3 nghiÖm

VÝ dô 2. gi¶i ph­¬ng tr×nh

(1)

Ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc viÕt d­íi d¹ng :

VËy (1) cã 4 nghiÖm lµ,

VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

(1)

Ta viÕt (1) d­íi d¹ng:

tõ ®ã vµ

Gi¶i tiÕp c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi x sau ®©y ( sau khi thay vµ vµo

vµ

ta sÏ ®­îc c¸c thÝ nghiÖm cña (1).

VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

§©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc bèn (vµ lµ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng v× c¸c hÖ sè cña nh÷ng sè h¹ng c¸ch ®Òu c¸c sè h¹ng ®Çu vµ cuèi b»ng nhau).

Víi ph­¬ng tr×nh nµy ta gi¶i nh­ sau :

Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ( kh¸c kh«ng ) th× (1) t­¬ng ®­¬ng víi

§Æt

Ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc biÕn ®æi thµnh :

Ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm lµ

V× vËy x + 1/x = - 4 vµ x + 1/x = 5/2

tøc lµ

Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c nghiÖm cña (1) lµ:

Nh­ vËy , víi c¸c vÝ dô 2,3 vµ 4 ta gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc bèn nhê biÕt biÕn ®æi s¸ng t¹o vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh ®Ó dÉn tíi viÖc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch vµ ph­¬ng tr×nh quen thuéc kh¸c.

Ta thö ph©n tÝch vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh ra hai nh©n tö bËc hai vµ

Ta cã :

§ång nhÊt c¸c hÖ sè cña nh÷ng sè h¹ng cïng bËc ë hai vÕ cña ®ång nhÊt thøc ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh sau :

Nhê ph­¬ng tr×nh cuèi cïng cña hÖ nµy ta ®o¸n nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn t­¬ng øng cã thÓ lÊy ®­îccña q vµ s nh­ sau :

mµ khö p ®i th× ®­îc

Ph­¬ng tr×nh nµy cho nghiÖm nguyªn cña r lµ 1 . nhê thÕ ta suy ra p = -5

Thay c¸c gi¸ trÞ p ,q ,r, s võa t×m ®­îc vµo (2) th× cã :

Ph­¬ng tr×nh (1) t­¬ng øng víi :

Gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch nµy ta ®­îc c¸c nghiÖm sau cña (1):

f(x) = x⁴ +ax³ + bx² + cx + d = 0 (1) trong ®ã a,b,c ,d lµ bèn sè thùc.

Dông ý cuat ta lµ ph©n tÝch ®a thøc x⁴ + ax³ + bx² + cx + d thµnh hai nh©n tö bËc hai.

Dïng Èn phô h ta biÕn ®æi nh­ sau:

Tam th­cs trªn cã d¹ng: Ax² + Bx + C vµ cã thÓ viÕt d­íi d¹ng:

Ax² + Bx + C = (px + q)² (3) khi vµ chØ khi B² - 4AC = 0.

Tõ ®ã ta cã kh¶ n¨ng tÝnh ®­îc mét nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh cã Èn phô h.

ThËt vËy, ta cã:

§©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc ba ®èi víi h nªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc .

Gi¶ sö nghiÖm ®ã lµ h = 1 thÕ th× (2) ®­îc viÕt d­íi d¹ng (4). VËy: .
Gi¶i hai ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy ta ®­îc tËp hîp nghiÖm cña (1):

vµ

VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x⁴ - x³ -7x² + x + 6 = 0

Dùa vµo c«ng thøc (3) ta x¸c ®Þnh ®­îc h:

ta t×m ®­îc mét nghiÖm thùc h cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ h = 5

dùa vµo (3) vµ víi h = t = 5, th× ta tÝnh ®­îc p = 7/2, p = -1/2

Ph­¬ng tr×nh ®· cho sÏ ®­îc diÔn ®¹t theo (4) lµ:

tõ ®ã ta gi¶i thÝch ph­¬ng tr×nh tÝch :

th× tËp hîp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ:

ThËt vËy , ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn b»ng ®å thÞ ta h·y ®Æt

Ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh

§Ó khö ®­îc c¸c h¹ng cã xy trong ph­¬ng tr×nh nµy th× ph¶i cã :

-2m + a = 0 tøc m = a/2

VËy nÕu ®Æt vµ m = a/2 tøc th× (1) trë thµnh :

thay bëi y - ( a/2)x vµ biÕn ®æi th× (2) trë thµnh

Ph­¬ng tr×nh (1) t­¬ng ®­¬ng víi hÖ ph­¬ng tr×nh :

Do ®ã hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm cña parab«n, ®å thÞ cña (3) vµ cña ®­êng trßn, ®å thÞ cña (4) , lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) ®· cho

NÕu ta ®Æt my = th× khi Êy nghiÖm cña tr×nh (1) l¹i lµ hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm cña 2 parab«n.

vµ

b¹n h·y vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®Ó gi¶i thÝch c¸c ph­¬ng tr×nh bËc bèn sau:

1)

2)

3)