Câu Ma trận đặc trưng của là Đa thức đặc trưng của là Ta có thể sử dụng công thức. Ta có và. Vậy đa thức đặc trưng của ma trận là. Câu 2

tải về 0.49 Mb.

Chuyển đổi dữ liệu	02.09.2016
Kích	0.49 Mb.
	#30507

Câu 1.

Ma trận đặc trưng của là

Đa thức đặc trưng của là

Ta có thể sử dụng công thức . Ta có và . Vậy đa thức đặc trưng của ma trận là .

Câu 2.

Đa thức đặc trưng của ma trận là

Ta có thể sử dụng công thức . Đối với ma trận đã cho, ta tính được và . Do đó .

Câu 3.

a. Đa thức của ma trận là .

b. Đa thức đặc trưng của ma trận là

Câu 4.

a. Ta có và . Do đó .

b. Ta có

trong đó . Do đó

Vậy hay .

Câu 5.

Ta có

Câu 6.

Ta có

Câu 7.

a. Đa thức đặc trưng của là

b. Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm 3,5. Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

c. * Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

d. Đặt gồm các véc tơ riêng của độc lập tuyến tính trong . Do đó là một cơ sở của .

Câu 8.

a. Đa thức đặc trưng của là

b. Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm 1,2,3. Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

c. * Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

d. Đặt gồm các véc tơ riêng của độc lập tuyến tính trong . Do đó là một cơ sở của .

Câu 9.

a. Đa thức đặc trưng của là

b. Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm 0,1,16. Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

c. * Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

d. Đặt gồm các véc tơ riêng của độc lập tuyến tính trong . Do đó là một cơ sở của .

Câu 10.

a. Đa thức đặc trưng của là

b. Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm . Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

c. * Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

d. Đặt gồm các véc tơ riêng của độc lập tuyến tính trong . Do đó là một cơ sở của .

Câu 11.

Do là giá trị riêng của nên tồn tại sao cho .

a. Ta có . Vậy là giá trị riêng của .

b. Ta có . Vậy là giá trị riêng của ma trận .

c. Ta có . Vậy là giá trị riêng của .

d. Giả sử . Khi đó và

Vậy là giá trị riêng của .

e. Vì khả nghịch nên khác 0. Ta có

Vậy là giá trị riêng của ma trận .

f. Vì khả nghịch nên . Khi đó ta có

Vậy là giá trị riêng của .

Câu 12.

Do là các giá trị riêng của nên là các nghiệm của đa thức đặc trưng . Do đó . Lấy , ta có

.

Câu 13.

a. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó

b. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó .

c. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó .

d. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó .

e. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó .

f. Do là các giá trị riêng nên là các giá trị riêng của ma trận . Do đó

Câu 14.

Do không là giá trị riêng của nên định thức của ma trận khác 0. Vậy khả nghịch. Theo giả thiết là các giá trị riêng của nên là các giá trị riêng của ma trận và do đó là các giá trị riêng của . Vậy

Câu 15.

Đa thức đặc trưng của ma trận là

Các giá trị riêng của ma trận là 5,6,7.

a. .

b. .

c. .

Câu 16.

a. Quy nạp theo . Nếu thì với . Nếu thì theo Định lý Cayley-Hamilton ta có hay

với . Giả sử bài toán đúng với . Khi đó ta có

trong đó và . Vậy tồn tại các số thực sao cho với mọi .

b. Với mọi nguyên dương, ta luôn có các số thực và sao cho .

Nếu và là các giá trị riêng phân biệt của thì

Vậy .

Câu 17.

a. Trước hết ta chú ý rằng 0 là giá trị riêng của AB khi và chỉ khi là giá trị riêng của BA. Nếu là giá trị riêng khác 0 của ma trận AB thì tồn tại véc tơ khác 0 sao cho . Đặt . Do và nên và . Ta có

Vậy là giá trị riêng của BA. Chứng minh tương tự ta cũng có mọi giá trị riêng khác 0 của BA cũng là giá trị riêng của AB. Do đó AB và BA có cùng các giá trị riêng.

Câu 18.

Do AB và BA có cùng các giá trị riêng nên mọi nghiệm của cũng là nghiệm của và ngược lại. Chú ý rằng bậc của đa thức bằng với bậc của đa thức . Do đó .

Câu 19.

Giả sử là giá trị riêng của ma trận . Khi đó là giá trị riêng của ma trận . Do nên . Vậy không thể là số thực. Điều này luôn đúng với mọi giá trị riêng của . Do đó các giá trị riêng của không phải là số thực.

Câu 20.

Do mọi phần tử của và là các số nguyên nên và là các số nguyên. Chú ý rằng nên . Giả sử là các giá trị riêng thực của ma trận . Khi đó là các giá trị riêng thực của ma trận . Ta có

Câu 21.

Cho là ma trận vuông cấp khả nghịch trên . Giả sử rằng có các giá trị riêng . Chứng minh rằng .

Giả sử là các giá trị riêng thực của ma trận . Khi đó các số thực là các giá trị riêng của ma trận . Ta có

Câu 22.

Giả sử ma trận có giá trị riêng là số nguyên lẻ. Khi đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Điều này tương đương với . Ta chú ý rằng ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số nguyên chẵn, còn các phần tử nằm trên đường chéo chính là các số nguyên lẻ. Khi đó ta có khác 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy không thể có giá trị riêng là một số nguyên lẻ.

Câu 23.

Do là ma trận cấp lẻ trên nên đa thức đặc trưng là đa thức bậc lẻ trên . Ta biết rằng mọi đa thức bậc lẻ trên đều có ít nhất một nghiệm thực . Do đó là một giá trị riêng của . Vậy ma trận luôn có ít nhất một giá trị riêng là số thực.

Câu 24.

Đa thức đặc trưng của có dạng

Giả sử . Khi đó

Do đó là một giá trị riêng của . Thay vào phương trình đặc trưng ta được . Khi đó . Vậy các giá trị riêng của ma trận là và .

Câu 25.

Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng . Theo giả thiết nên .

Tổng các phần tử trên mỗi dòng của bằng 1 nên có một giá trị riêng là .

Tổng các phần tử trên mỗi cột của bằng 2 nên có một giá trị riêng là .

Xác định a,b bằng cách giải hệ phương trình

Vậy . Do đó các giá trị riêng của ma trận là .

Câu 26.

* Đa thức đặc trưng của là định thức

Ta có thể tính đa thức đặc trưng của bởi

Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình đặc trưng

hoặc

Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

* Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

* Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính 1,2 tương ứng với các véc tơ riêng . Cụ thể

Câu 27.

Đa thức đặc trưng . Phương trình đặc trưng có nghiệm . Vậy là giá trị riêng của . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là . Do không tồn tại một cơ sở gồm các véc tơ riêng của nên không chéo hoá được.

Câu 28.

Đa thức đặc trưng . Ta xét hai trường hợp

a. là ma trận trên trường số thực . Khi đó phương trình đặc trưng không có nghiệm. Vậy ma trận không có giá tri riêng và không có véc tơ riêng. Do đó không chéo hoá được.

b. là ma trận trên trường số phức . Khi đó phương trình đặc trưng có nghiệm . Do đó và là các giá trị riêng của ma trận .

Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính tương ứng với các véc tơ riêng . Cụ thể

Câu 29.

Đa thức đặc trưng của là định thức

Ta có thể tính đa thức đặc trưng của bởi

trong đó là phần bù đại số của phần tử của ma trận . Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình đặc trưng

hoặc

Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

* Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là cơ sở.

Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính 3,3,5 tương ứng với các véc tơ riêng . Cụ thể

Câu 30.

* Đa thức đặc trưng của là

Phương trình đặc trưng có các nghiệm hoặc Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

* Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Một cơ sở của là .

* Do không là cơ sở của nên không chéo hoá được.

Câu 31.

Đa thức đặc trưng của là

Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm . Vậy và là các giá trị riêng của ma trận .

* Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Vậy không gian véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng là

Vậy và là một cơ sở của .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính tương ứng với các véc tơ riêng . Cụ thể

Câu 32.

a. Chéo hoá ma trận .

* Đa thức đặc trưng của ma trận là . Giải phương trình đặc trưng , ta nhận được các nghiệm phân biệt 0,1,2. Do đó các giá trị riêng phân biệt của ma trận là .

* Với , ta có và cơ sở .

Với , ta có và cơ sở .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính 0,1,2 tương ứng với các véc tơ riêng .

b. Với mọi , ta có

c. Đa thức ma trận của là

d. Đặt ma trận . Khi đó ta có

Ma trận được xác định cụ thể là

Câu 33.

Muốn xác định công thức tính , ta lập phương trình ma trận sau

Ta có . Từ đây ta được . Khi đó

Vậy . Rõ ràng là số nguyên chia hết cho .

Câu 34.

Muốn xác định công thức tính , ta lập phương trình ma trận sau

Ta có . Từ đây ta được . Trước hết ta sẽ chéo hoá ma trận .

* Đa thức đặc trưng của ma trận là . Giải phương trình đặc trưng , ta nhận được các nghiệm phân biệt . Do đó là các giá trị riêng phân biệt của ma trận .

* Với , ta có và cơ sở .

Với , ta có và cơ sở .

Ta có trong đó

Khi đó ta tính được

Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là

Câu 35.

Ta có lập phương trình ma trận sau

Ta có . Từ đây ta được hay

Đa thức đặc trưng của ma trận là . Do là số nguyên lớn hơn 1 nên phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt . Vậy và là các giá trị riêng của ma trận . Khi đó chéo hoá được. Chéo hoá ta tính được

Do đó

Vậy

trong đó . Chú ý rằng

Khi đó ta có

Câu 36.

Ta xét phương trình ma trận sau

Ta có . Dùng phương pháp quy nạp ta được

Chéo hoá ma trận ta tính được

Ta tính được . Vậy

Vậy số hạng tổng quát của các dãy số và là

Câu 37.

Đặt . Tính bằng cách chéo hoá ma trận .

* Đa thức đặc trưng của ma trận là . Giải phương trình đặc trưng , ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của ma trận là .

* Với , ta có và cơ sở

Với , ta có và cơ sở .

* Do nên ma trận chéo hoá được và , trong đó ma trận khả nghịch với các cột là các véc tơ riêng và ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng .

a. Ta có và do đó

b. Ta có .

Câu 38.

Do chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả nghịch sao cho , trong đó là ma trận đường chéo. Ta có khi và chỉ khi . Giả sử

và .

Ta có

Vậy .

Câu 39.

Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để .

a. .

b. .

c. .

Câu 40.

a. Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để . Ta có . Vậy và đồng dạng.

b. Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để .

Giả sử . Khi đó và

Vậy và đồng dạng.

c. Do và đồng dạng nên . Khi đó khác 0 khi và chỉ khi khác 0. Do đó khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.

d. Do đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch để . Nếu khả nghịch thì . Do đó AB và BA đồng dạng.

Câu 41.

a. Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ta có . Do là ma trận chéo nên ma trận chéo hoá được.

b. Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ta có . Vì là ma trận chéo nên ma trận cũng là ma trận chéo và do đó luỹ thừa ma trận chéo hoá được.

c. Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Giả sử . Khi đó ta có

Vì là ma trận chéo nên ma trận cũng là ma trận chéo và do đó đa thức ma trận chéo hoá được.

Câu 42.

Giả sử chéo hoá được. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ta có

Đặt là ma trận khả nghịch và . Vậy chéo hoá được. Đảo lại, giả sử chéo hoá được. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ta có

trong đó khả nghịch. Do đó chéo hoá được.

Câu 43.

Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Giả sử là đa thức đặc trưng của ma trận . Khi đó ta có

Gọi là các giá trị riêng của và . Ta có do với mọi . Do đó .

Câu 44.

Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ma trận đồng dạng với nên tồn tại ma trận khả nghịch sao cho . Ta có

trong đó ma trận khả nghịch và do đó chéo hoá được.

Câu 45.

Giả sử khả nghịch. Do chéo hoá được nên tồn tại ma trận khả nghịch và ma trận đường chéo sao cho . Ta có

Vậy trong đó là ma trận khả nghịch. Do đó $BA$ chéo hoá được.

b. Không. Chẳng hạn lấy và . Các ma trận và đều không khả nghịch. Ma trận chéo hoá được. Tuy nhiên ma trận không chéo hóa được.

Câu 46.

Gọi là ma trận vuông cấp 3 với các phần tử là hệ số của . Khi đó

Do đó là ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

Câu 47.

Với mọi và . Ta có

Vậy là một dạng song tuyến tính trên .

Câu 48.

a. Đặt , trong đó . Ta có

Vậy là ma trận của theo cơ sở .

b. Đặt , trong đó . Ta có

Vậy là ma trận của theo cơ sở .

c. Đặt , trong đó . Ta có

Vậy là ma trận của theo cơ sở .

d. Ta có

Vậy là ma trận chuyển cơ sở từ sang . Do đó

Câu 49.

* Cách 1. Đặt , trong đó . Ta có

Vậy là ma trận của theo cơ sở .

* Cách 2. Ta có

Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là .

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là .

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

Câu 50.

a. Ta có

Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

b. Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

c. Ta có

Vậy là ma trận chuyển cơ sở từ sang . Do đó

Câu 51.

a. Ta có

Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là

b. Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

c. Ma trận của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

d. Ta có

Vậy là ma trận chuyển cơ sở từ sang . Do đó

e. Dạng toàn phương trên sinh bởi là

f. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Câu 52.

a. Với mọi và . Ta có

Vậy là một dạng song tuyến tính trên .

b. Ta có

Vậy ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Câu 53.

a. Với mọi và . Ta có

Vậy là một dạng song tuyến tính trên .

b. Đặt , trong đó . Ta có

Vậy ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Câu 54.

a. Phương pháp Jacobi.

Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Vậy dạng chính tắc của dạng toàn phương là

Xác định cơ sở để dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc.

Đặt

.

là nghiệm của hệ phương trình

là nghiệm của hệ phương trình

Khi đó ta có

Vậy trong cơ sở dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc

Ta có thể kiểm tra lại như sau

Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

Phương pháp Lagrange.

Ta có

Đặt

Do đó . Ta sẽ xác định cơ sở để ma trận biểu diễn của theo có dạng chính tắc . Ta có

Đặt là cơ sở của và ma trận biểu diễn của theo có dạng chính tắc .

b. .

Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Vậy dạng chính tắc của dạng toàn phương là

Xác định cơ sở để dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc.

Đặt

.

là nghiệm của hệ phương trình

là nghiệm của hệ phương trình

Khi đó ta có

Vậy trong cơ sở dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc .

Ta có thể kiểm tra lại như sau

Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Ma trận chuyển cơ sở từ sang là

Do đó ma trận của theo cơ sở là .

Phương pháp Lagrange.

Ta có

Đặt

Do đó . Ta sẽ xác định cơ sở để ma trận biểu diễn của theo có dạng chính tắc . Ta có

Vậy là cơ sở của và ma trận biểu diễn của theo có dạng chính tắc .

Câu 55.

a. Đặt

Thay vào dạng toàn phương trên ta được

Đặt

Khi đó ta nhận được dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho là

Bây giờ ta sẽ tìm một cơ sở để trong cơ sở này dạng toàn phương có dạng chính tắc. Theo các cách đặt như trên ta có

Vậy trong cơ sở dạng toàn phương đã cho có dạng chính tắc .

b. Đặt

Thay vào dạng toàn phương trên ta được

Đặt

Khi đó .

Đặt

Khi đó ta nhận được dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho là

Bây giờ ta sẽ tìm một cơ sở để trong cơ sở này dạng toàn phương có dạng chính tắc. Theo các cách đặt như trên ta có

;

;

Vậy trong cơ sở dạng toàn phương đã cho có dạng chính tắc .

Câu 55.

a. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi

Vậy với dạng toàn phương đã cho xác định dương.

b. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi

Vậy với dạng toàn phương đã cho xác định dương.

c. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi

Hệ bất phương trình vô nghiệm. Do đó không có giá trị nào của để dạng toàn phương đã cho xác định dương.

d. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở chính tắc

Các định thức con chính của là .

Dạng toàn phương xác định dương nếu .

e. Ta có

Đặt

Dạng chính tắc của là . Do đó xác định dương nếu và chỉ nếu tương đương .

Câu 57.

a. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi

Vậy với dạng toàn phương đã cho xác định âm.

b. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi

Vậy với dạng toàn phương đã cho xác định âm.

c. Ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên là

Các định thức con chính của

Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi

hoặc

Vậy với hoặc dạng toàn phương đã cho xác định âm.

Каталог: file -> view
view -> Thiết kế trang wiki khái quát về Wiki
view -> Tìm hiểu về Wiki Wiki là gì?
view -> ĐỊa lý tuyên quang I vị trí ĐỊa lý, phạm VI lãnh thổ VÀ SỰ phân chia hành chính vị trí lãnh thổ
view -> TÍnh tóan trong maple
view -> Svth: Nguyễn Thị Nhung
view -> BÀi tập kĩ NĂng thành phần nhân văn môi trường I. Dân số: Câu 1
view -> NỘi dung chưƠng trình ôn tập thi học sinh giỏi năm họC 2011-2012
view -> 1. Schedule Activity
view -> MỘt số CÂu hỏi trắc nghiệm chưƠng soạn thảo văn bảN
view -> Giá từ: 13,820,000 vnd. Mã tour: Thời gian: 6 Ngày 5 Đêm Khởi hành

tải về 0.49 Mb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: