ChuyêN ĐỀ SỐ phức kiến thức cơ bản. Các phép toán trên số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a²+b² > 0 )

Ta định nghĩa số nghịch đảo z^-1 của số phức z ≠ 0 là số

z^-1=

Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

*Vì z =  =

*Ta có z² = ==

 ()² =

()³ =()². =

Ta có: 1 + z + z² =

Ta có .

Suy ra số phức liên hợp của z là:

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết

Giải:

. Suy ra,

Phần ảo của số phức

Vậy mô đun của z bằng:

Ta có: Do đó

Ví dụ 6: Tìm các số thực thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i. c)

 

Suy ra

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Tìm các số thực x, y biết:
   

1. 
   (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
   
2. 
   (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
   

2. 
   Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực
   
3. 
   Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:
   
4. 
   Cho hai số phức: . Xác định phần thực, phần ảo của số phức
   
5. 
   Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức:
   

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

d) z = e) z =

6. 
   Tìm các số phức: và , biết .
   
7. 
   Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức
   
8. 
   Cho số phức Tính mô đun của z và tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học của z trong hệ tọa độ Oxy.
   
9. 
   Cho z thỏa mãn (2 + i)z + . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i
   
10. 
    Số phức z thỏa mãn (1+i)²(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
    
11. 
    Cho số phức z thỏa mãn .Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
    
12. 
    Tìm số phức z biết z³ = 18 + 26i, trong đó z = x + yi (x,y  Z)
    

2.2. Dạng 2: Tính và áp dụng

• 
  i⁴ⁿ = 1; i⁴ⁿ⁺¹ = i; i⁴ⁿ⁺² = -1; i⁴ⁿ⁺³ = -i;  n  N^*Vậy iⁿ  {-1;1;-i;i},  n  N^*
  
• 
  ;
  
• 
  ;
  

Ta có i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴ = i^4.26+1 + i^4.5+3 + i^4.5 – i^4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

nên z = (1+i)¹⁵ = (1+i)¹⁴(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

 . Vậy =i¹⁶ +(-i)⁸ = 2

Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:

Vậy phần thực là và phần ảo là

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
   

2. 
   Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: .
   
3. 
   Tìm phần thực, phần ảo của số phức z =
   

Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: ta sẽ sử dụng Dạng đại số của z là với

Gọi z= a+ bi (a,b ) ta có:

Vậy z= 2-i

Gọi z= a+ bi (a, b)

Ta có

Suy ra mô đun:

Gọi z = x + iy (x, yR), ta có

Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y =

Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i

Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: và là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x,y )

Theo bài ra ta có

Số phức

w là một số ảo khi và chỉ khi

Vậy

Gọi z= a+ bi (a, b ) ta có:

Vậy z=0;

Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta có và

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i

Gọi z= a+ bi (a, b ) và ta có

Vậy hoặc

Giả sử z= x+ yi (x, y )

Khi đó,

Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2

Vậy z=1; z=-1+ 2i

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Tìm số phức z thỏa mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
   
2. 
   Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = 1 – 2i
   
3. 
   Tìm số phức z thỏa mãn: và .
   
4. 
   Tìm số phức z thỏa mãn và .
   
5. 
   Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
   

6. 
   Tìm số phức z thoả mãn và z² là số thuần ảo.
   
7. 
   Giải phương trình:
   

8. 
   Tìm số phức z biết
   
9. 
   Tìm số phức z biết: và có phần ảo bằng 1.
   
10. 
    Tìm số phức z thỏa mãn: và .
    
11. 
    Tìm số phức z thỏa mãn .
    

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y  R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a) =2 b) c)

Giải:

Đặt z = x +yi (x, y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)

Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.

Khi đó (1) 

 (x-1)² + (y + 1)² = 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.

b)

 (x+2)² + y² = x² + (1-y)²  4x + 2y + 3 = 0.

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là

đường trung trực của đoạn AB.

 MF₁ + MF₂ = 10

Ta có F₁F₂ = 8  Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F₁ và F­₂ và có độ dài trục lớn bằng 10.

Phương trình của (E) là:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

Đặt z= x+ yi (x,y )

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình

Giả sử biểu diễn bởi điểm M(x;y). Khi đó ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn tâm O, bán kính 2

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có (1)

. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác

Hay

Do đó . Vậy

Ví dụ 5: Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y ) ta có

Ta có:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Giải

Gọi

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxylà đường tròn có tâm và bán kính

Gọi d là đường thẳng đi qua O và I

Gọi M₁, M₂ là hai giao điểm của d và (C)và

Ta thấy

số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M₁ hay

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y ), khi đó:

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1)

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
   

2. 
   Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
   
3. 
   Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất
   
4. 
   Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
   
5. 
   Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
   
6. 
   Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z mà là nhỏ nhất.
   
7. 
   Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn , hãy tìm số phức có nhỏ nhất
   
8. 
   Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện .Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
   

Cho số phức w = a + bi. Tìm căn bậc hai của số phức này.

+) Nếu w = 0  w có một căn bậc hai là 0

+) Nếu w = a > 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là và -

+) Nếu w = a < 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là và -

+) Nếu w = a + bi (b  0)

Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w  z² = w  (x+yi)² = a + bi



Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng phương trình đó cho ta một căn bậc hai của w.

1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 4 + 6i

Khi đó: z² = w  (x+yi)² = 4 + 6i

(2)  x⁴ – 4x² – 45 = 0  x² = 9  x = ± 3.

x = 3  y =

x = -3  y = -

Vậy số phức w = 4 + 6i có hai căn bậc hai là: z₁ = 3 +i và z₂ = -3 -i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2i

Khi đó: z² = w  (x+yi)² = -1-2i 

(2)  x⁴ + x² – 6 = 0  x² = 2  x = ± .

x =  y = -

x = -  y =

Vậy số phức w = 4 + 6i có hai căn bậc hai là: z₁ = -i và z₂ = - +i

2.5.2. Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai: Az² +Bz +C = 0 (1) (A, B, C  C, A  0)

Tính  = B² – 4AC

*) Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z₁ = , z₂ =

(trong đó  là một căn bậc hai của ).

*) Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z₁ = z₂ =

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức

Giải:

• 
  
  
• 
  căn bậc hai của là
  
• 
  Phương trình có nghiệm:
  

• 
  
  
• 
  Căn bậc hai của là .
  
• 
  Phương trình có nghiệm:
  

• 
  Đặt t = z².
  
• 
  Phương trình trở thành:
  

• 
  Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1,
  

Ta có:  = -4 = 4i²  phương trình có hai nghiệm: z₁ = -1 +2i và z₂ = -1 – 2i.

nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i

 Phương trình có hai nghiệm là: z₁ = ; z₂ =

Ví dụ 3: Gọi z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình Tính giá trị biểu thức

Giải:

Ta có

Vậy

Với ta có

Với ta có

Ví dụ 5: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: (tham khảo)

Giải

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình có biệt thức

Phương trình có hai nghiệm là: và

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Cho , là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức A = .
   
2. 
   Giải phương trình: trên tập số phức. (Tham khảo)
   
3. 
   Gọi là các nghiệm phức của phương trình: .Tính:
   

- Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai.

- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.

- Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2

Phương trình đã cho tương đương với

Giải ra ta được bốn nghiệm:

Đặt z = yi với y  R

Phương trình (1) có dạng: (iy)³ + (2i-2)(yi)² + (5-4i)(yi) – 10i = 0

 -iy³ – 2y² + 2iy² + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

đồng nhất hoá hai vế ta được:

giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2

Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.

* Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z³ + (2 – 2i)z² + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z² +az + b) (a, b  R)

đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.

 (1)  (z – 2i)(z² +2z + 5) = 0 

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.

Gọi nghiệm thực là z₀ ta có:

Khi đó ta có phương trình

Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i
Ví dụ 5: Giải phương trình biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. (tham khảo)

Giải

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b

Thay vào phương trình ta được:

Phương trình có thể phân tích thành

Các nghiệm của phương trình là z= -3i;

b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số phức (z² + z)² + 4(z² + z) -12 = 0

Giải:

Đặt t = z² + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

t² + 4t – 12 = 0 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Đặt t = z² + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

t² +2zt – 3z² = 0  (t – z)(t+3z) = 0 

+ Với t = z  z² + 3z +6 –z = 0  z² + 2z + 6 = 0 

+ Với t = -3z  z² + 3z +6 +3z = 0  z² + 6z + 6 = 0 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

PT

Đặt . Khi đó phương trình (8) trở thành:

Đặt . Khi đó phương trình (8) trở thành

Vậy phương trình có các nghiệm: ;

Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z

Chia hai vế PT (1) cho z² ta được: ( (2)

Đặt t=z- Khi đó

Phương trình (2) có dạng: t²-t+ (3)

PT (3) có 2 nghiệm t=,t=

Với t= ta có (4)

Có

PT(4) có 2 nghiệm: z=,z=

Với t= ta có (4)

Có

PT(4) có 2 nghiệm: z=,z=

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z=; z=

• 
  Bài tập tự luyện
  

1. 
   Giải phương trình z³ + (1 – 2i)z² + (1 – i)z – 2i = 0., biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.(tham khảo)
   
2. 
   Cho phương trình: z³ – (4 + i)z² + (3 + 8i)z – 15i = 0. Biết phương trình có một nghiệm thực. Gọi z₁, z₂, z₃ là các nghiệm của phương trình. Hãy tính
   
3. 
   Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập số phức tính tổng
   
4. 
   Giải các phương trình trên tập số phức:
   

b) (z²+1)²+(z+3)²=0