ChuyêN ĐỀ phưƠng trìNH, BẤT phưƠng trình chứA Ẩn trong căn phần I : Phương trình có chứa căn

+)

+)

+)

* Chú ý trong các công thức trên thông thường là các hàm xác định trên R; các trường hợp khác phải tìm điều kiện xác định trước khi biến đổi

2. 
   Bài tập áp dụng
   

Bài2: gpt: Txđ:

1. 
   Dạng1: * Nếu có căn f(x) và f(x) đặt t=
   
   • 
     Nếu có
     
   • 
     Nếu có
     
   • 
     Nếu có
     
   • 
     Nếu có
     
2. 
   Bài tập áp dụng
   

Bài2; gpt đ/k x ≥ 1

đặt t= đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t²-5t+6=0

Bài3:gpt: đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost khi đó pt

Bài4: gpt:

giải ra có t = 1, t = 1/ 2 suy ra nghiệm phương trình

Bài5: gpt : đ/k x > 1 đặt x = 1/cost

2) Dạng2: đặt ẩn phụ còn x tham ra như một tham số hoặc t là tham số

Bài tập áp dụng :

Bài1: gpt

Khi đó pt: x² -2tx-1 = 0 ^`= t²+1 = (x-1)² →x = t±(x-1) khi và chỉ khi

Bài2: gpt (4x-1)8x²+2x+1 đặt t =≥ 1 pt : 2t²-(4x-1)t+2x-1=0

Có ngh t=2x-1, t= 1/2(loại) với t =2x-1 vô ngh

3) Dạng3: đặt 2 ẩn phụ

Bài1: gpt:

Bài2:gpt:

3. 
   Dạng4: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ :
   

1. 
   f²(x) + g²(x) + t²(x) = 0
   
2. 
   f(x) + g(x) = a ( a là hằng số)
   

3) f(x) = g(x) , f(x) ≤ a, g(x) ≥ a

Bài1: gpt x⁴ + 2x² -6x +20 = x⁴ - + x² -2x +16+

x²-4x+4 = 0 ( x²- )² + ( x-2)² = 0

x = 2 thỏa mãn hệ , vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2

Bài2: gpt: 4x² + 3x +3 = 4x đ/k x ≥ 1/2 phương trình tương đương

Bài: gpt: = 4 – 2x – x²

Ta có vé trái

Vế phải 4 – 2x—x² = 5 – (x+1)² ≤ 5 vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi cả 2 vế

đồng thời bằng 5 khi và chỉ khi x = - 1 là nghiệm của phương trình
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết

dùng tính đơn điệu hàm số từ đó khẳng định số nghiệm phương trình

Bài1 xét hàm số y=

Có đạo hàm hàm số luôn đồng biến trên txđ vậy pt không có

quá một nghiệm nhẩm nghiệm ta thấy x=1/2 là nghiệm duy nhất

Bài2: gpt xét hàm số y= txđ x≤1/3

h/s đồng biến trên txđ vậy phương trình không có quá

một nghiệmTa thấy x= -1 là nghiệm duy nhất của bài toán

Bài3:gpt; đặt t = x²- x đ/k -3≤t≤2

h/s f(t) = txđ f^`(t)= hàm số tăng ,

g(t) = 1+ hàm số nghịch biến vậy chúng chỉ có thể giao nhau tại một

điểm duy nhất , thấy t =1 là nghiệm do đó t=1 suy ra pt x²- x =1 có nghiệm

đặt t= có pt 2t³ – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ngh t thuộc

(-2,0) suy ra có 1 ngh x thuộc (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ngh t thuộc (0,1) suy ra có 1ngh x thuộc(0,1) ,

f(1)f(2)< 0 có 1ngh t thuộc(1,2) suy ra có 1 ngh x thuộc (-7,0) vậy phương trình đã cho có đúng 3

nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9)
VI) Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2

* Tìm tập xác định của phương trình

* Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền D

Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm

nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D

Bài tập áp dụng :

Bài1: gpt : đ/k x≥ - 1 PT tương đương

Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm

Bài2;gpt: điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương đương với

xét hàm số f(x) = tập xác định x ≥ 0

đồ thị hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm
VII) Một số phương trình không mẫu mực

Bài1: gpt: đ/k x < 2 đặt

(t-2)(t³-6t²-48)=0 Có nghiệm t=2 suy ra x=1/2 cònphương trình: t³-6t²-48=t²(t-6) -48 < 0 với o

Bài2: gpt: tưong đương với

tương đương với

*) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > 0

*) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm

*) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2

Bài3: gpt : điều kiện - 1/2

Xét vế phải theo bất đẳng thức cô si ta có dấu bằng xâỷ ra khi

Xét vế trái ta có suy ra vế trái ≤ 2 dấu bằng xẩy ra khi x = 0 vậy x = 0 là nghiệm của phương trình

Bài4:gpt: tương đương với

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi a cốp ski ta có

Cộng

---------------------------------------------------------------------------

Ta có dấu bằng xẩy ra khi x=1 là nghiệm của phương trình

PHẦN 2 :Bất phương trình có chứa căn
I)Phương pháp biến đổi tương đương :

1) Kiến thức cơ bản : 1)

2)

Bài1:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Bài2: gbpt tương đương với tương đương với

Bài3: gbpt: điều kiện

1. 
   Với - bpt tương đương -
   
2. 
   Với 0 bpt tương đương 0
   

1. 
   Dạng1: đặt ản phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc
   

t²+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra suy ra x² -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm

của bpt 1 ≤ x ≤ 2

Bài2 gbpt đặt t = có bất phương trình t²-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1

1) xét bpt >2

2) xét bpt <1

nghiệm của bpt là

Bài2: gbpt: điều kiện x > 0 đặt t = ≥

dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t² – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi

>2

Bài3: gbpt dẫn tới t² -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3

Cho ta tập nghiệm của bpt là

Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t là tham số

Bai1:gbpt: x²-1 đặt t = dẫn tới bpt: x²-2tx-1≤ 0 có

dẫn tới ( khi và chỉ khi

Dạng3: đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ

Bài1: gbpt điều kiện x ≥ 0 biến đổi đặt

Trường hợp u = v

Vậy để u

Bài2:gbpt đặt bất phương trình có dạng

Bài1: gbpt: xét hàm số f(x) = trên tập x ≥ -2

Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5

vậy nghiệm của bpt là x > 0

Bài2: gbpt:

Tương đương

Xét hàm số f(t) = có f^, (t) >0 hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có

f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3

Bài3: gbpt: 2x+ xét hàm số trên tập xác định x≥ 0

F(x) =

Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = fvậy nghiệm bpt 0< x <

Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - đặt t = t ≥ 0 ta có

m( t²+2) ≤ t+1 tương đương với xét hàm số f(t) = trên tập t≥ 0 có

f^,(t) = 0 khi t = 1

bước sau :

*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ

*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm

+) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X₁,X₂,..

+) Xác định X= X₁ ∩ X₂ ∩…

+) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là I_m

*) Khi đó:

+) Để hệ vô nghiệm khi m ≠ I_m

+) Để hệ có nghiệm khi m € I_m

+) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm duy nhất

Bài tập áp dụng:

Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đặt y = khi đó bất phương trình tương đương với một hệ

Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X₁ là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X₂ là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0khi m

Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6

với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm

phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc

M(1,5)

vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6

x

1