Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Tổ Toán - THPT Núi Thành
A/ NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC CĂN BẢN THƯỜNG GẶP:
1/ Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean)-ta thường hay gọi là BĐT Cauchy (Cô Si)
-Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì:
Dấu “=” xảy ra khi: .
*Lưu ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM
* , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là: ,,.
*
*
*
*
* (a,b>0)
*(a,b,c>0)
2/Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
Cho , ta có:
-Dấu “=” xãy ra khi:
3/Bất đẳng thức Bunhiacosky (Bunyakovsky):
Nếu a1,a2,a3,…,an ,b1,b2,b3,…,bn là các số thực thì:
Hay
Dấu “=” xãy ra khi: ( Ở đây ta quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)
4/Các bất đẳng thức phụ quen thuộc:
* (với)
*(với)
*(với)
*(với)
5/Bất đẳng thức CHEBYSHEV:
a)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:
Cho hai dãy hữu hạn số thực:
hoặc
Khi đó ta có:
Dấu “=” xãy ra khi:
b)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:
Cho hai dãy hữu hạn số thực: hoặc
Khi đó ta có: Dấu “=” xãy ra khi:
6/Bất đẳng thức HOÁN VỊ:
1)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:
Cho hai dãy hữu hạn số thực: hoặc
Gọi là một hoán vị tuỳ ý của
Khi đó ta có:
2)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:
Cho hai dãy hữu hạn số thực:hoặc
Gọi là một hoán vị tuỳ ý của
Khi đó ta có:
7/Bất đẳng thức SCHUR: Cho a,b,c không âm và k là số thực bất kỳ, ta luôn có:
8/Bất đẳng thức JENSEN
*Nếu và
thì ta có:
*Nếu và
thì ta có:
9/Các cách biến đổi cần nhớ:
a/
b/
c/
d/
e/
B/ MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
DẠNG 1: THÊM YẾU TỐ PHỤ
Bài 1: Cho a;b;c là 3 số dương . Chứng minh rằng:
a/
Cách1: áp dụng BĐT Cô Si ta có
(1)
(2)
(3) .
Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.
(Điều quan trọng trong trường hợp này là để ý dấu bằng xảy ra)
Cách2: áp dụng BĐT Cô Si ta có
(1)
(2)
(3)
Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh
b/
Cách1: áp dụng BĐT Cô Si ta có
(1)
(2)
(3)
Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh
Cách2: Áp dụng BĐT Cô Si ta có
(1)
(2)
(3)
Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.
Với ý tưởng trên ta có thể giải tương tự các câu dưới đây :
c/ d/ e/
f/ g/
h/ k/ ( với : a+b+c = 3abc) l/ m/
Bài tập 2: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương và ta được:
(1).
Tương tự: (2); (3).
Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra khi .
Bài tập 3: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “ thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể giải theo cách khác nhanh hơn)
Cho x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-Ta có:
(1), Tương tự: (2); (3)
-Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được:
+Lại có: (1’); (2’);
(3’)
-Lấy (1’) cộng (2’) cộng (3’) vế theo vế ta được:
. Vậy khi x=y=z=1. ( Nếu dùng Cauchy-Schwarz sẻ nhanh hơn)
Bài tập 4: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể giải theo cách khác nhanh hơn)
Cho x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-Ta có:
(1) ; Tương tự: (2) ; (3)
-Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được:
+Lại có:
(1’)
(2’)
(3’)
-Lấy (1’) cộng (2’) cộng (3’) vế theo vế ta được:
(*)
-Lại có: (**)
Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được:
mà
. Vậy khi x=y=z=1.
Bài tập 5: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thoả . Chứng minh rằng:
(*)
DẠNG 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
1/ VẬN DỤNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP:
BÀI 1: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: ab+bc+ca 3abc
Chứng minh rằng: ( Toán học tuổi trẻ - ra ngày 19/1/2007)
Giải: ab+bc+ca 3abc (*)
Đặt : ; Khi đó (*) được viết lại : x + y + z 3 ( x,y,z > 0) (1)
Ta có: (**)
Khi đó (**) được viết lại :
+Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :; với
Ta có:
= = 1
( vì : x + y + z 3 )
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.
BÀI 2: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: a.b.c = 1 .Chứng minh rằng:
* Ta có:
(*)
Vì : a.b.c = 1 nên tồn tại x,y,z dương sao cho:
Khi đó (*) được viết lại:
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
BÀI 3: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa : .
Chứng minh rằng : (Lavia 2002)
Ta có :
Suy ra: hay (1)
Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì
hay (2). Từ (1) và (2) suy ra được .
Đẳng thức xảy ra khi .
BÀI 4: Cho 3 số thực a,b,c không âm thoả: ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Để ý rằng:
-Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
Do đó, ta có:
Mà :
Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi một trong 3 biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng 1.
BÀI 5: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh :
Ta có:
Suy ra:
Do đó ta cần chứng minh: hay (*).
-Đặt , ta có : x,y,z>0 và x.y.z=1
Khi đó (*) viết lại:
( Cô Si nhẹ nhàng).
BÀI 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng (*)
-Ta có:
Do đó ta cần chứng minh:
(**)
-Ta có: (1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
BÀI 7: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: .
BÀI 8: Cho các số thực dương a,b,c thoả: a.b.c =1. Chứng minh rằng:
BÀI 9: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
(*)
2/ SỬ DỤNG YẾU TỐ “ CÓ ÍT NHẤT ”:
Bài tập1:(Iranian IMO 2009). Cho ba số dương a,b,c thỏa điều kiện . Chứng ming rằng:
(*)
Ta có (*) tương đương với bất đẳng thức sau:
(**)
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |