Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Tổ Toán thpt núi Thành



tải về 163.55 Kb.
trang1/3
Chuyển đổi dữ liệu06.08.2016
Kích163.55 Kb.
#14172
  1   2   3

Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tổ Toán - THPT Núi Thành
A/ NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC CĂN BẢN THƯỜNG GẶP:
1/ Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean)-ta thường hay gọi là BĐT Cauchy (Cô Si)

-Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì:

Dấu “=” xảy ra khi: .

*Lưu ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM

* , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là: ,,.

*

*

*

*

* (a,b>0)

*(a,b,c>0)



2/Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

Cho , ta có:

-Dấu “=” xãy ra khi:

3/Bất đẳng thức Bunhiacosky (Bunyakovsky):

Nếu a1,a2,a3,…,an ,b1,b2,b3,…,bn là các số thực thì:



Hay

Dấu “=” xãy ra khi: ( Ở đây ta quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

4/Các bất đẳng thức phụ quen thuộc:

* (với)

*(với)

*(với)

*(với)

5/Bất đẳng thức CHEBYSHEV:

a)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực:

hoặc

Khi đó ta có:



Dấu “=” xãy ra khi:

b)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: hoặc

Khi đó ta có: Dấu “=” xãy ra khi:



6/Bất đẳng thức HOÁN VỊ:

1)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: hoặc

Gọi là một hoán vị tuỳ ý của

Khi đó ta có:

2)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực:hoặc

Gọi là một hoán vị tuỳ ý của

Khi đó ta có:

7/Bất đẳng thức SCHUR: Cho a,b,c không âm và k là số thực bất kỳ, ta luôn có:



8/Bất đẳng thức JENSEN

*Nếu

thì ta có:

*Nếu

thì ta có:

9/Các cách biến đổi cần nhớ:

a/

b/

c/

d/

e/


B/ MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
DẠNG 1: THÊM YẾU TỐ PHỤ

Bài 1: Cho a;b;c là 3 số dương . Chứng minh rằng:

a/

Cách1: áp dụng BĐT Cô Si ta có

(1)

(2)

(3) .

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.

(Điều quan trọng trong trường hợp này là để ý dấu bằng xảy ra)

Cách2: áp dụng BĐT Cô Si ta có

(1)

(2)

(3)

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh



b/

Cách1: áp dụng BĐT Cô Si ta có

(1)

(2)

(3)

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh



Cách2: Áp dụng BĐT Cô Si ta có

(1)

(2)

(3)

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.

Với ý tưởng trên ta có thể giải tương tự các câu dưới đây :

c/ d/ e/

f/ g/

h/ k/ ( với : a+b+c = 3abc) l/ m/

Bài tập 2: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta được:



(1).

Tương tự: (2); (3).

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra khi .

Bài tập 3: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “ thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-Ta có:

(1), Tương tự: (2); (3)

-Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được:



+Lại có: (1’); (2’);



(3’)

-Lấy (1’) cộng (2’) cộng (3’) vế theo vế ta được:





. Vậy khi x=y=z=1. ( Nếu dùng Cauchy-Schwarz sẻ nhanh hơn)

Bài tập 4: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



-Ta có:



(1) ; Tương tự: (2) ; (3)

-Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được:

+Lại có:

(1’)

(2’)

(3’)

-Lấy (1’) cộng (2’) cộng (3’) vế theo vế ta được:





(*)

-Lại có: (**)

Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được:



. Vậy khi x=y=z=1.

Bài tập 5: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thoả . Chứng minh rằng:

(*)
DẠNG 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

1/ VẬN DỤNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP:
BÀI 1: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: ab+bc+ca 3abc

Chứng minh rằng: ( Toán học tuổi trẻ - ra ngày 19/1/2007)

Giải: ab+bc+ca 3abc (*)

Đặt : ; Khi đó (*) được viết lại : x + y + z 3 ( x,y,z > 0) (1)



Ta có: (**)

Khi đó (**) được viết lại :

+Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :; với

Ta có:

= = 1

( vì : x + y + z 3 )



Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.

BÀI 2: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: a.b.c = 1 .Chứng minh rằng:

* Ta có:



(*)

Vì : a.b.c = 1 nên tồn tại x,y,z dương sao cho:



Khi đó (*) được viết lại:

Ta có:



Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

BÀI 3: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa : .

Chứng minh rằng : (Lavia 2002)

Ta có :

Suy ra: hay (1)

Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì

hay (2). Từ (1) và (2) suy ra được .

Đẳng thức xảy ra khi .

BÀI 4: Cho 3 số thực a,b,c không âm thoả: ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: .

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Để ý rằng:

-Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:



Do đó, ta có:

Mà :

Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi một trong 3 biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng 1.



BÀI 5: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh :

Ta có:



Suy ra:

Do đó ta cần chứng minh: hay (*).

-Đặt , ta có : x,y,z>0 và x.y.z=1

Khi đó (*) viết lại:

( Cô Si nhẹ nhàng).

BÀI 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng (*)

-Ta có:

Do đó ta cần chứng minh:





(**)

-Ta có: (1)



(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.



BÀI 7: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: .

BÀI 8: Cho các số thực dương a,b,c thoả: a.b.c =1. Chứng minh rằng:

BÀI 9: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng

(*)
2/ SỬ DỤNG YẾU TỐ “ CÓ ÍT NHẤT ”:

Bài tập1:(Iranian IMO 2009). Cho ba số dương a,b,c thỏa điều kiện . Chứng ming rằng:

(*)

Ta có (*) tương đương với bất đẳng thức sau:





(**)

Каталог: Portals
Portals -> Phan Chau Trinh High School one period test no 2 Name: English : 11- time : 45 minutes Class: 11/ Code: 211 Chọn từ hoặc cụm từ thích hợp A, B, C, d để điền vào chỗ trống trong đoạn văn sau
Portals -> PHẦn I: thông tin cơ BẢn về ĐẠi hàn dân quốc và quan hệ việt nam-hàn quốc I- các vấN ĐỀ chung
Portals -> Năng suất lao động trong nông nghiệp: Vấn đề và giải pháp Giới thiệu
Portals -> LẤy ngưỜi học làm trung tâM
Portals -> BÀi tậP Ôn lưu huỳnh hợp chất lưu huỳnh khí sunfurơ so
Portals -> TỜ trình về việc ban hành mức thu phí tham gia đấu giá quyền sử dụng đất
Portals -> CỘng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Portals -> GIẤY Ủy quyền tham dự Đại hội đồng Cổ đông thường niên năm 2016

tải về 163.55 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:
  1   2   3




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2024
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương