Chương chéo hoá ma trận và DẠng toàn phưƠng giá trị riêng và VÉc tơ riêNG

Xác định đa thức đặc trưng của ma trận .

Xác định đa thức đặc trưng của ma trận .

Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên .

b.

Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên .

b.

Cho là ma trận vuông cấp trên . Chứng minh rằng và có cùng đa thức đặc trưng, nghĩa là .

Cho là ma trận khả nghịch trên . Chứng minh rằng

Cho ma trận .

b. Xác định các giá trị riêng của .

c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng .

d. Xác định một cơ sở của gồm các véc tơ riêng của .

Cho ma trận .

a. Xác định đa thức đặc trưng của .

b. Xác định các giá trị riêng của .

c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng .

d. Xác định một cơ sở của gồm các véc tơ riêng của .

Cho ma trận .

a. Xác định đa thức đặc trưng của .

b. Xác định các giá trị riêng của .

c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng .

d. Xác định một cơ sở của gồm các véc tơ riêng của .

Cho ma trận

a. Xác định đa thức đặc trưng của .

b. Xác định các giá trị riêng của .

c. Xác định chiều và một cơ sở không gian véc tơ riêng .

d. Xác định một cơ sở của gồm các véc tơ riêng của .

Cho là giá trị riêng của , và . Chứng minh rằng

a. là giá trị riêng của ma trận .

b. là giá trị riêng của ma trận .

c. là giá trị riêng của ma trận .

d. là giá trị riêng của ma trận đa thức .

e. Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

f. Nếu khả nghịch thì là giá trị riêng của ma trận .

Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng .

Cho là ma trận vuông cấp trên và là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng

a. .

b. .

c. .

d. .

e. Nếu khả nghịch thì .

f. Nếu khả nghịch thì .

Cho là ma trận vuông cấp trên và có các giá trị riêng . Chứng minh rằng nếu không là giá trị riêng của thì ma trận khả nghịch và

Cho ma trận trên trường số thực như sau

a. Tính

b. Tính với .

c. Tính biết rằng .

Câu 16.

Cho là ma trận thực vuông cấp 2. Chứng minh rằng

a. Tồn tại các số thực sao cho với mọi .

b. Nếu và là các giá trị riêng phân biệt của thì

Cho . Chứng minh rằng AB và BA có cùng các giá trị riêng.

Cho và là hai ma trận vuông cấp trên . Chứng minh rằng AB và BA có cùng đa thức đặc trưng, nghĩa là .

Cho ma trận vuông thực cấp thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng các giá trị riêng của không phải là số thực.

Cho là ma trận vuông cấp khả nghịch. Mọi phần tử của và là các số nguyên. Chứng minh nếu có giá trị riêng đều là số thực thì .

Cho là ma trận vuông cấp khả nghịch trên . Giả sử rằng có các giá trị riêng . Chứng minh rằng .

Cho là ma trận vuông cấp với là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng không thể có giá trị riêng là một số nguyên lẻ.

Chứng minh rằng mọi ma trận vuông có cấp lẻ trên trường số thực đều có ít nhất một giá trị riêng là số thực.

Cho là ma trận thực vuông cấp 3. Vết của ma trận bằng 8, tổng các phần tử trên mỗi dòng của bằng 4 và . Xác định tất cả các giá trị riêng của .

Cho là ma trận thực vuông cấp 4. Vết của ma trận bằng 3, định thức của ma trận bằng , tổng các phần tử trên mỗi dòng và mỗi cột của lần lượt bằng 1 và 2. Hãy xác định tất cả các giá trị riêng của ma trận .

Chéo hoá ma trận .

Chéo hoá ma trận .

Chéo hoá ma trận .

Chéo hoá ma trận

Chéo hoá ma trận

Chéo hóa ma trận

Cho ma trận

a. Chéo hoá ma trận .

b. Hãy tính luỹ thừa ma trận .

c. Hãy tính đa thức ma trận , trong đó .

d. Hãy tìm một ma trận trên trường số thực sao cho .

Cho là các dãy số thực xác định bởi và

Xác định các số hạng tổng quát và và chứng minh rằng là số nguyên chia hết cho .

Dãy Fibonacci là dãy các số nguyên được xác định bởi và với mọi . Chứng minh rằng

Cho là số nguyên lớn hơn 1 và a,b là các số nguyên dương tùy ý. Giả sử và là các dãy số nguyên xác định bởi

trong đó . Chứng minh rằng .

Cho và là các dãy số thực cho bởi và với mọi

Hãy xác định số hạng tổng quát và .

Cho ma trận

a. Tính .

b. Tính .

Câu 38.

Cho và là các ma trận vuông cấp trên và chéo hóa được. Chứng minh rằng khi và chỉ khi với mọi nguyên dương.

Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a. .

b. .

c. .

Câu 40.

Cho và là các ma trận đồng dạng trên . Chứng minh rằng

a. và đồng dạng.

b. và đồng dạng với mọi .

c. khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.

d. Nếu khả nghịch thì AB và BA đồng dạng.

Cho là ma trận chéo hoá được trên . Chứng minh rằng

a. Ma trận chéo hoá được.

b. Luỹ thừa ma trận chéo hoá được.

c. Đa thức ma trận chéo hoá được.

Câu 42.

Cho là ma trận vuông cấp trên . Chứng minh rằng ma trận chéo hoá được nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị chéo hoá được.

Không sử dụng định lý Cayley-Hamilton, hãy chứng minh rằng nếu ma trận vuông chéo hoá được thì là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, nghĩa là .

Cho chéo hoá được và đồng dạng với . Chứng minh rằng chéo hoá được.

Cho và là ma trận vuông cấp sao cho AB chéo hóa được.

a. Chứng minh rằng nếu hoặc khả nghịch thì BA chéo hóa được.

b. Kết quả còn đúng không nếu không có giả thiết khả nghịch.

Giả sử và dạng song tuyến tính trên xác định bởi

Hãy biểu diễn dưới dạng ma trận và xác định ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

Cho là ma trận vuông cấp trên . Ánh xạ cho bởi

với . Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên .

Cho xác định bởi

a. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở .

c. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở .

d. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang và thử lại rằng .

Câu 49.

Cho xác định bởi . Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở .

Cho xác định bởi

a. Tìm ma trận biểu diễn của song tuyến tính theo cơ sở .

b. Tìm ma trận biểu diễn của song tuyến tính theo cơ sở .

c. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang và thử lại rằng .

Cho xác định bởi

trong đó .

a. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở .

c. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở .

d. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang và thử lại rằng .

e. Tìm dạng toàn phương trên sinh bởi .

f. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

Cho được cho bởi

a. Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên .

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên .

Câu 53.

Cho được xác định bởi

a. Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên .

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên



Câu 54.

Tìm dạng chính tắc của các dạng toàn phương sau trên và tìm một cơ sở để trong cơ sở này dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange và Jacobi.

a. .

b. .

Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc trên và xác định một cơ sở để trong cơ sở này dạng toàn phương được viết dưới dạng chính tắc đó.

a. .

b. .

Tìm các giá trị để các dạng toàn phương thực sau đây xác định dương.

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

Câu 57.

Tìm các giá trị để các dạng toàn phương thực sau đây xác định âm.

a. .

b. .