CHƯƠng 2 HÀm số MŨ VÀ logarit

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  ( )
  
• 
  
  

3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a1 )

• 
  Tập xác định :
  
• 
  Tập giá trị : ( )
  
• 
  Tính đơn điệu:
  

* 0 < a < 1 : nghịch biến trên

• 
  Đồ thị hàm số mũ :
  

1. Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0.

Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi

3. Công thức đổi cơ số :

• 
  
  
• 
  
  

* Hệ quả:

• 
  và
  

* Công thức đặc biệt:
4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 )

• 
  Tập xác định :
  
• 
  Tập giá trị
  
• 
  Tính đơn điệu:
  

* a > 1 : đồng biến trên

* 0 < a < 1 : nghịch biến trên

• 
  Đồ thị của hàm số lôgarít:
  

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. 
   Định lý 1: Với 0 < a 1
   

thì : a^M = a^N M = N

2. 
   Định lý 2: Với 0 < a <1
   

thì : a^M < a^N M > N (nghịch biến)

3. 
   Định lý 3: Với a > 1.
   

thì : a^M < a^N M < N(đồng biến )

4. Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0; N > 0 thì : log_a M = log_a N M = N

5. Định lý 5: Với 0 < a <1

thì : log_a M < log_a N M >N (nghịch biến)

6. Định lý 6: Với a > 1

thì : log_a M < log_a N M < N (đồng biến)

1. 
   Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
   

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

3. 
   Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
   

3. 
   Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
   

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a^M < a^N ()

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ

DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : ()

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.


LUYỆN TẬP
PHẦN 1: BÀI TẬP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LUỸ THỪA, MŨ VÀ LOGARIT

1. 
   Lũy Thừa
   

a) b)

c) (a^{– 4} – b^{– 4}):(a^{– 2} – b^{– 2}) d) (x³ + y ^{– 6}):(x + )

e) – f) (x.a^–1 – a.x ^–1). –

Bài 2.Tính các biểu thức sau:

a) b) c)

d) e) f) g)

h)

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

j) k) ^.( 1 + )^.(a + b + c)^{– 2}

Bài 4. Cho biết 4^x + 4^{– x} = 23 ,hãy tính 2^x + 2^{– x.}
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (a + b – ):() b)

c) (a⁴ – b)^{– 1} + ( )^{– 1} – d)

e) f) ^.

h) i)
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

a)A = b) B =

c) C = d) D =

e) E = f) F =

g) G =

h) H =

i) I =

j)J =

k) K = 2(a + b)^{– 1}. với a.b > 0

Bài 7. Cho 2 số a = và b = Tính a + b
Bài 8. Rút gọn biểu thức A = với x = a < 0 ;b < 0

Bài 9. Cho 1 x  2. Chứng minh rằng:
Bài 12. Cho ba số dương thoả a + b = c . Chứng minh rằng :

Bài 13. Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng nếu c là cạnh lớn nhất thì :



Bài 14. Cho a ,b ≥ 0 và m ,n là hai số nguyên dương thoả m ≥ n . Chứng minh rằng :



Bài 15. Cho f(x) =

a)Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1

b) Tính tổng S = f() + f() + …+ f() + f()

Bài 16. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a) y = (x² – 4x + 3)^{– 2} b) y = (x³ – 3x² + 2x)^1/4

c) y = (x² + x – 6)^{– 1/3} d) y = (x³ – 8)^/3

Bài 17.So sánh các cặp số sau:

a) và b) và c) và

d) và e) và f) và

2. 
   LOGARIT
   

a) b) c)

d) e) log₃(log₂8)

Bài 2.Tính

a) b) c) d) e) f)

g)( h) h)

Bài 3. Chứng minh rằng và

Bài 4.Rút gọn các biểu thức sau:

a) b) c)

d) e) lgtg1^o + lgtg2^o+ …+ lgtg89^o f)

Bài 5.Cho log₂3 = a ; log₂5 = b .

Tính các số sau : log₂ ,log₂ , log₂180 , log₃37,5 , log₃, log₁₅24 ,

b) Cho log₆15 = a ,log₁₂18 = b tính biểu thức A = log₂₅24

c) Cho log₄₅147 = a ,log₂₁75 = b , tính biểu thức A = log₄₉75

Bài 12. Cho log₂₇5 = a , log₈7 = b , log₂3 = c .Tính log₆35 theo a,b,c

Bài 13.Cho log₂3 = a , log₃5 = b , log₇2 = c .Tính log₁₄₀63 theo a,b,c

Bài 14.Cho a² + b² = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng : lg() = ( lga + lgb )

Bài 15.Cho a² + 4b² = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: lg(a + 2b) – 2lg2 = ( lga + lgb )

Bài 16.a)Cho x² + 4y² = 12xy x > 0,y > 0, chứng minh rằng lg(x + 2y) – 2lg2 = (lgx + lgy)

b) Cho a,b > 0 thoả mãn 4a² + 9b² = 4ab và số c > 0, 1,chứng minh rằng :

log_c =

Bài 17.Cho log₁₂18 = a , log₂₄54 = b ,chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1

Bài 18.Cho log_aba = 2 , tính biểu thức A = log_ab

c) log_ad.log_bd + log_bd.log_cd + log_cd.log_ad =

a) log₄3 và log₅6 b) và c) log₅4 và log₄5

d) log₂31 và log₅27 e) log₅9 và log₃11 f) log₇10 và log₅12

g) log₅6 và log₆7 h) log_n(n + 1) và log_{(n + 1)}(n + 2)

a)y = log₆ b) y = c) y =

log₁₇19 > log₁₉ 20

b. . 243 = 3 .9

c. (x - 2) = (x - 2)
Ví dụ 2: Giải phương trình:

a.log (3x - 1) +  = 2 + log (x + 1)

b. 2log(x - 5x + 6) = log  + log (x - 3)
c. log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Giải các phương trình sau:

1) 2.5 = 0,01.(10) 2) (0,6)  = (0,216) 3) 2.3.5 = 12

4) 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 5) 2 = 4

7) 2 = 16 8) 32 = .128

10) 5 + 6.5 - 3.5 = 52 11) 3 = 9 12) (x - 2x + 2) = 1

13) 2.3.5 = 200 14) 4.9 = 3 15) 3 = 

16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 4

17) log  = 2log (x - 1) - log (x + 1)

18) log (x - 2) - 2 = 6log 

19) log (x + x) - 2 + log (2x + 2) = 0

20) log (x + 4x - 4) = 3

21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1)

22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log3

23) log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)

24) log(x + 1) + 2 = log + log (4 + x)

25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 0

26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = 2 + log

27) log (2x + 2x - 3x + 1) = 3

3) 2 + 3 = 6 + 2 4) 4+ x.3 + 3 = 2x.3 + 2x + 6

5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1) 6) 2[log x] + xlog x + 2x - 8 = 0
7) 3.25 + (3x - 10).5 + 3 - x = 0

8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 0

a. 2 + 2 = 9 b.  +  = 12

c. 3 - 28.3 + 9 = 0
d. (3 - ) + (3 + ) = 6.2

e. 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = 0

b. 1 + log (x - 1) = log 4

c. log (x - 1) - 5log (x - 1) + 1 = 0

d. log + log = log(x + 2)

e. log (4x + 12x + 9) = 4 - log (6x + 23x + 21)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:

1. 
   3 + 3 = 30
   

2. 
   2 + 2 - 17 = 0
   

3) 9 - 10.3 + 1 = 0

4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 0

5) 4 - 9.2 + 2 = 0

6)

7) 3.3 - 10.3 + 3 = 0

8) 3.2 - 8.2 + 4 = 0

9) 2 - 9.2 + 2 = 0

10) 25 = 25 + 24.5

11) (2 - ) + (2 + ) = 14

12)

15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2

16) + 5-2= 10

17) (5 - ) + 7(5 + ) = 2

18) +  = 6
19) 3.4 + 2.9 = 5.6

20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + 1 - = 0

22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + )

26) (7 + 4) - 3(2 - ) + 2 = 0

28)  - 4log = 1

29)  - log  = 0
30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 3

31) 1 +  = log 32) log .log x - log  = + log

33) log (-x) - 2logx + 4 = 0 34) log x - log x = log 3 - 1 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 2

36) 5log x + log x + 8log x = 2 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log  = 0

38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log 6 - 4log x = 2log x

40) log 2.log 2 = log 2 41) log (lgx + 2 + 1) - 2log ( + 1) = 1

42)  +  = 1 43) lg x - lgx + 2 = 0

44) log x + 40log x = 14.log x 45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 0

46) log (2 + x) + log x = 2 47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 4

48) log(9 + 7) = 2 + log (3 + 1) 49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25

50) 3 +  = log 9x - 51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 4

52) 4 + 2 = 4 + 2 53) 4 - 3.2 - 4 = 0

54) log (x + 1) - 6log  + 2 = 68) log 27 - log 3 + log 243 = 0 69) 8 + 1 = 2. 70) 2 - 2 - 6(2 - 2.2) = 1

DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA

PP: giúp ta chuyển một PT mũ - log về một PT log - mũ mà ta đã biết cách giải. Cần chú ý:

a  = b   log a  = log b

 f(x) = g(x).log b ( hoặc log a = log b  f(x).log a = g(x) )

. log f(x) = log g(x). Đặt t = log f(x) = log g(x)

Khi đó: a = f(x) và b = g(x)  chuyển về phương trình mũ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. 5.8 = 500

b. x = 1000x
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a. log (log x + + 9) = 2x

b. log log x = log log x

c. 3log (1 + + ) = 2log

• 
  Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có không quá một nghiệm. Nghĩa là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
  
• 
  Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v)  u = v với mọi u, v  D.
  
• 
  Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f  (x) có đúng m nghiệm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 sẽ có không quá m + 1 nghiệm.
  
• 
  Chú ý: đạo hàm của (a )' = u'. a .lna và đạm hàm của (log u)' =
  

a. 2 = 3 - x

 HD giải: PT  2 - 3 + x = 0

Xét f(x) = 2 - 3 + x với mọi x  R

Ta có f'(x) = 2 ln2 + 1 > 0 x  R ( do 2 > 0 và ln2 > 0 )

 f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.

 HD giải: Bài toán trên có đến 4 cơ số khác nhau, ta quyết định chia cho cơ số lớn nhất 9.

PT  1 = ++ 2. ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn )

Do 0 < ; ;  < 1 nên ln < 0 , ln < 0 , ln  < 0.

Do đó f '(x) = ln +ln + 2.ln  < 0 x  R

Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.

 HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức ". Không thể biến đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.

Xét f(x) = 3 + 5 = 6x + 2 với x  R

Ta có f '(x) = 3 ln3 + 5 ln5 - 6 là hàm số liên tục

Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0

Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x

Bảng biến thiên:

x	x
f '(x)	- 0 +
f (x)

Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1

 HD giải: PT  +  = 1

Xér f(x) = +  với x  R

Vì 0 < ;  < 1 nên ln < 0 và ln < 0

Do đó, f'(x) = .ln +  ln < 0 x  R

Nên hàm số f(x) luôn nghịch biến trên R, mà f(1) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 1

 HD giải: Điều kiện 6x - 5 > 0  x >

Đặt y - 1 = log (6x - 5) thì 7 = 6x - 5 (1)

PT đã cho trở thành 7 = 1 + 2log (6x - 5)

 7 = 1 + 6log (6x - 5)

 7 = 1 + 6log 7

 7 = 1 + 6(y - 1)

 7 = 6y - 5 (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được: 7 - 7 = 6x - 6y

 7 + 6(x - 1) = 7+ 6(y - 1) f(x - 1) = f(y - 1)

Dễ thấy f(t) = 7 + 6t là hàm số đồng biến trên R, mà f(x - 1) = f(y - 1)  x - 1 = y - 1  x = y

Khi đó phương trình đã cho có dạng (1)  7 - 6x + 5 = 0 (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2)

Xét hàm số g(x) = 7 - 6x + 5 x  R

Ta có g'(x) = 7.ln7 - 6 nên g'(x) = 0  x = 1 + log

x	x
g'(x)	- 0 +
g (x)

Mà f(1) = f(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là các nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a.log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) = 3

 HD giải: Điều kiện x >

Xét hàm số f(x) = log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) với x >

Ta có f '(x) == +  +  > 0 x >

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( ; +) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.

Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2

b. x.log x = 27

 HD giải: x > 0

Viết phương trình đã cho dưới dạng log x -  = 0

Xét hàm số f(x) = log x -  với x > 0

Ta có f '(x) = +  > 0 x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +) nên phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3

 HD giải: x > 0

PT  2 + log  = 2

 2 + log (x + x) - log (x + 1) = 2

 2 + log (x + x) = 2 + log (x + 1)

Đặt f(t) = 2 + log t ( t > 0)

Ta có f '(t) = 2 ln2 + > 0 t > 0

Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ) Lại có f(x + x) = f(x + 1)

 x + x = x + 1  . Vậy x = 1 là nghiệm phương trình.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

1) 3 - 4 + x = 0 2) (0,5) = 2x + 8 3) 3 + 4 = 5 4) () + 1 = 4

5) 3 + x - 66 = 0 6) 3 + 4 = 5x + 2 7) 2 - 3 = 7 8) 9 = 8x + 1

9) 2 = 3x - 1 10) 4 - 2 + x - 1 = 0 11) 1 + 8 + 4 = 9 12) 3 = 5 - 2x

13) 5 = 3 + 2 14) 1 + (3 + ) + (3 - ) = 7 15) 7 = x + 2

16) 2 + 5 = 7 17) 9.3 - 7 = 5.4 18) 3 = 2 - 1 19) 1 + 8 = 3

20) 2 + 5 + 3 = 10 21) 25 + 10 = 2 22) 5 + 7 = 13

23) 4.3 - 6 + 2 - x = 0 24) () + () = 2 25) log (x + 2) = 6 - x

26) log(x - 2) = - x + 2x + 3 27) x + log(x - x - 6) = 4 + log(x + 2)

28) log(x - 6x + 5) = log(x - 1) + 6 - x 29) x = x .3 - x 30) (1 + x)(2 + 4) = 3.4

31) log (1 + cosx) = 2cosx 32) 5 + 2 = 3 + 4 33) x + 3 = 2x

34) log  = 1 + x - 2 35) 5 + 3 + 2 = 28x - 18 36) (4 + 2)(2 - x) = 6

37) 5 + 2 = 2 - + 44log (2 - 5 + ) 38) 4 + 2 = x - 9x + x + 2

39) log(x - x - 12) + x = log(x + 3) + 5 40) x(log 5 - 1) = log(2 + 1) - log6

41) 3x - 2x = log (x + 1) - log x 42) (1 + ).log + log2 = log(27 - 3 )

43) log (x - 2x - 2) = log (x - 2x - 3) 44)  = 1

45) (2 + ) + x(2 - ) = 1 + x 46) 5 - 3 = 3 - 5

47) log (log x) + log (log x) = 2 48) log x + log x + log x = log x

49) log (x - ).log (x + ) = log (x - )


DẠNG 6: TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO - ĐẶC BIỆT.

Ở chương trình trung học phổ thông hiện hành thì 5 dạng toán đã đề cập ở trên là phù hợp với học sinh nhất từ những dạng đơn giản đến phức tạp. Đối với dạng 6, chuyên đề dành một chút " toán giải trí " và mở mang " tư duy " cho các bạn học sinh bằng những phương pháp giải " không giống ai " ! Mời các bạn thử sức.

• 
  Sử dụng phương pháp đối lập ( đánh giá 2 vế của phương trình )
  

 HD giải: điều kiện x  R

Ta có Vế Trái =  + 

Trong đó  =   = 2

và  =   = 4

Vậy Vế Trái  2 + 4 = 6

Mặt khác, vế phải = 5 - 2x - x = 6 - (x + 1)  6

Vậy vế trái chỉ bằng vế phải  VT = VP = 6  x = -1

 HD giải: điều kiện x  R

Ta có pt  3 +  = 1 + 2.3

  = 1 + 2.3 - 3

Ta có Vế Trái =  =   2

Về Phải = 1 + 2.3 - 3 = 2 - (3 - 1)  2

Vậy phương trình chỉ có nghiệm  VT = VP = 2    x = -1
Ví dụ 3: Giải phương trình log (x - 1) +  = log (2x - 4x + 2)

 HD giải: x - 1 > 0  x > 1

Ta có PT   = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)

Ta có VT =  =   2

VP = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)

= log[2(x - 1)] - log (x - 1)

= 1 + 2log(x - 1) - log (x - 1)

= 2 - [log (x - 1) - 1]  2

Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm  VT = VP = 2

     x = 3 (nhận vì x > 1)

Ví dụ 4: Giải phương trình 2 - 2 = (x - 1)

 HD giải: Ta có VP = (x - 1)  0  x - 2x + 1  0  x - x  x - 1

Mặt khác VT = 2 - 2  0 (do 2 > 1, hàm đồng biến vì x - x  x - 1 )

Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm  VT = VP = 0  x = 1

• 
  Dạng a - a = v - u  a + u = a + v  dùng tính đơn điệu của hàm số.
  

 HD giải: Đặt u = x + 3x + 2 ; v = 2x + 5x + 3 thì v - u = (x + 1)

PT thành 5 - 5 = v - u  5 + u = 5 + v.

Xét f(t) = 5 + t t  R có f '(t) = 5 ln5 + 1 > 0 t  R

 f(t) luôn đồng biến trên R, mà f(u) = f(v)  u = v  (x + 1) = 0  x = -1

• 
  Dạng log u - log v = v - u  log u + u = log v + v  dùng tính đơn điệu của hàm số.
  

 HD giải: Điều kiện  > 0  x  R

Đặt u = x + x + 3; v = 2x + 4x + 5 thì v - u = x + 3x + 2

PT thành log u - log v = v - u  log u + u = log v + v

Xét f(t) = log t + t t > 0 có f '(t) = + 1 > 0 t > 0

 f(t) luôn đồng biến trên (0; +) mà f(u) = f(v)  u = v  x + 3x + 2 = 0  

a) log  = x - 5 b) 2log x = log x.log ( - 1 c) 2 - 2 = -

d) log  = 3x - 8x + 5 e) 2 + 2 = x + x f) log  = 2x - 6x + 2

g) log ( + 2) + (0,2) = 2

1/. 3^x + 5^x = 6x + 2 2/. 12.9^x - 35.6^x + 18.4^x = 0

3/. 4^x = 3x + 1 4/.

5/. 6/.

7/. 12.9^x - 35.6^x + 18.4^x = 0 8/. 3^x + 3^{3 - x} = 12.

9/. 10/. 2008^x + 2006^x = 2.2007^x

11/. 125^x + 50^x = 2^{3x + 1} 12/.

13/. 14/. 15/.

15. x².2^x + 4x + 8 = 4.x² + x.2^x + 2^{x + 1} 16. 6^x + 8 = 2^{x + 1} + 4.3^x

17. 18/ 3^{x + 1} = 10  x.

19/. 20/. (x + 4).9^x  (x + 5).3^x + 1 = 0

21/. 4^x + (x – 8)2^x + 12 – 2x = 0 22/.

23/. 24/. 8^x  7.4^x + 7.2^{x + 1}  8 = 0
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1/. 2/.

3/. 4/. 4^x  2^{x + 1} = m

Bài 3: Tìm m để phương trình 9^x  2.3^x + 2 = m có nghiệm x(1; 2).

Bài 4: Tìm m để phương trình 4^x  2^{x + 3} + 3 = m có đúng 2 nghiệm x(1; 3).

Bài 5: Tìm m để phương trình 9^x  6.3^x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x [0; + )

Bài 6: Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm.

Bài 7: Tìm m để phương trình 4^x  2(m + 1).2^x + 3m  8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Bài 8: Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm.

Bài 9: Tìm m để phương trình có nghiệm x[2; 1].

Bài 10: Tìm m để phương trình 4^x  2^{x + 3} + 3 = m có đúng 1 nghiệm.

Bài 11: Tìm m để phương trình 4^x  2^x + 6 = m có đúng 1 nghiệm x[1; 2].
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH  HỆ PT MŨ:

Bài 1: Giải các phương trình:

1/. _2/.

5/. 6/.

7/. 8/.

9/. 2^{x  1}.3^{x + 2}  36 10/.

11/. 12/.

13/. 14/.

15/. 16/.

17/.

1/. 2/. 3/.

4/. 5/. 6/.

7/. 8/. 9/.

10/. 11/. 12/.
C. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.

Bài 1: Giải các phương trình:

1/. 2/.

3/. 4/.

5/. 6/.

7/. 8/.

9/. 10/.

11/.

12/.

13/. 14/.

15/. 16/.

17/. 18/.

19/.

20/.

21/. 22/.

23/.

24/. 25/.

1/. 2/.

3/. 4/.

5/.

6/.

7/. 8/.

9/. 10/.

11/. 12/.

13/. 14/.

Bài 2:

1/. 2/. 3/.

4/. 5/. 6/.

7/. 8/. 9/.

10/. 11/. 12/.