BÀi tập cấp số CỘng – CẤp số nhân bài 1

u_n = u₁; u₂; ….u_n có công sai d₁

và v_n = v₁; v₂ ….v_n có công sai d₂.

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là S_n = u₁ + u₂ + ….+ u_n = 7n + 1

và T_n = v₁ + v₂ +….+ v_n =4n + 27. Tìm tỷ số .

Bài 4: Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.

Bài 5: Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Bài 6: a) Tìm phân số sinh ra số a = 0,23232323….

b) Tìm phân số sinh ra số b = 1,939393…

c) Tìm phân số sinh ra số c = 2,3121212…

Bài 7: a)Tính tổng của n số hạng : S_n =

b) Tính tổng của n số hạng: T_n = 105 + 110 + 115 +….+995

Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng ?

a)Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.

i) x³ - 3x² – 9x + m = 0 ii) x³ + 3(m -1)x² + 2(m² – 4m + 1)x – 4m(m – 1) = 0

b) Tìm m để các phương trình sau: có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng

S=

Vậy a²; b²; c² lập thành một cấp số cộng.

Tương tự:

Vế trái của (1) thành:


Bài 3: Cho hai cấp số cộng:

u_n = u₁; u₂; ….u_n có công sai d₁

và v_n = v₁; v₂ ….v_n có công sai d₂.

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là S_n = u₁ + u₂ + ….+ u_n = 7n + 1

và T_n = v₁ + v₂ +….+ v_n =4n + 27. Tìm tỷ số .

Giải: Ta có: S_n = 2u₁ +(n – 1)d₁ và T_n = 2v₁ + (n – 1)d₂ nên

So sánh (1) và (2) => n = 21 nên

Với d = 7 cấp số là: -4; 3; 10 và với d = -7 cấp số là 10; 3; -4

Bốn góc phải tìm là:A = 30⁰; B = 70⁰ ; C = 110⁰ ; D = 150⁰

b) Tìm phân số sinh ra số b = 1,939393…

c) Tìm phân số sinh ra số c = 2,3121212…

Giải:

Cách 1: Ta có: 0,232323… = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 +….

Đây là cấp số nhân có và công bội nên

Tương tự

b) Tính tổng của n số hạng: T_n = 105 + 110 + 115 +….+995

a. Tính tổng của n số hạng : S=

Ta có : S=3(1+11+111+....+11...1 (n chữ số 1))

= 3

=

b. Ta có: a₁ = 105; a₂ = 110 => d = 5; a_n = 995

mà: a_n = a₁ + (n – 1)d => 995 = 105 + (n – 1)5 => n = 179

Bài 8: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng a; b; c. Biết theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo các góc B và C.

Giải:

Theo tính chất cấp số nhân, ta có: .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: b = a. sinB, c = a. cosB.

Vậy

Theo đầu bài ta có :

Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược :

Đặt : .

Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy sô .

Bài 10. Cho phương trình : .

Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng ?

Vì 3 nghiệm phân biệt : lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt :

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .

Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình : .

Đặt , ta được phương trình :

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : , Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là : ( Rõ ràng : )

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :

Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :

Giả sử ba cạnh của tam giác ABC thứ tự là a,b,c . Không giảm tính tổng quát , ta giả sử 0, nếu chúng tạo thành cấp số nhân thì , theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Theo định lý hàm số cô sin , ta có :

Mặt khác : . Vậy góc

Nhưng : , cho nên tam giác ABC có hai góc không quá .

Bài 13.Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .

HƯỚNG DẪN

Gọi : là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có :

Khử d từ (2) và (3) ta được : .

Do (1) nên : . Theo định nghĩa thì , do vậy

Thay vào (1) , ta được :

Theo giả thiết ta có :

Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là : 8,16,32,128 hoặc : -12,36,-108,-972

Bài 15. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?

HƯỚNG DẪN

Nếu xen 4 số vào giữa hai số để được một cấp số cộng thì cấp số đó có 6 số hạng . Theo đầu bài ta có :

Vậy 4 số thêm vào là : 4+7,2=11,2, 18,4.,25,6,32,8.

S=

Ta có :

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : :

Để 3 số hạng đó lập thành cấp số cộng , ta có :

Theo bất đẳng thức cô si , ta có : .

Vậy với : , thì ba số đó lập thành cấp số cộng .

Bài 18. Chứng minh rằng dãy số : lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?

HƯỚNG DẪN

Xét : . Chứng tỏ là một cấp số nhân , có công bội q=3 ,

Do vậy : .

Bài 19. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :



HƯỚNG DẪN

Ta có :

Theo giả thiết ta có hệ :

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có :

Do đó : (*)

Đắt : , khi đó :

(*)

Với : .

Rõ ràng : A có nghĩa với mọi x..

Bài . Chứng minh rằng : Nếu thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :



HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết , nếu ba số a,b,c lập thành cấp số nhân thì :

Lấy logarit cơ số N hai vế của (1) ta có :

Sử dụng công thức đổi cơ số :

(2)



Bài. Chứng minh rằng , nếu tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó ) thì : .

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết :

Theo giả thiết :

Gọi ba số đã cho là : theo thứ tự là ba số của một cấp số cộng .

Còn cáp số nhân . Theo giả thiết ta có hệ :

Từ (2) và (2) cho ta phương trình (4) . Còn từ (2) và (3) cho phương trình (5) . Mặt khác từ (4) và (5) cho phương trình (6).

Do :

Theo (*) : . Vậy ba số cần tìm là : 3,15,75.

b. Tìm x để ba số : lập thành một cấp số cộng ?

b. Tìm x để ba số : lập thành một cấp số cộng ?

Điều kiện :

Khi đó ta có phương trình :

Gọi 4 số phải tìm là . Theo đầu bài ta có hệ :

Giải hệ thống các phương trình ta có kết quả :

Đáp số :
Bài 25. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?

HƯỚNG DẪN

Gọi cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là : . Theo đầu bài ta có là hai nghiệm của phương trình :

Do cấp số nhân tăng nghiêm ngặt , cho nên q>1 , do vậy ta chọn

Cho nên :

Theo giả thiết ta có hệ :

Từ đó suy ra :

Mà : . Vậy tam giác ABC là tam giác nửa đều .

Nếu ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng thì ta có : a+c=2b

Vì :

Do đó (1) trở thành :







Bài 28. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA.tanB=6 và tanA.tanC=3 . Hãy chứng tỏ : tanA,tanB,tanC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Từ giả thiết ta có hệ phương trình :

Mặt khác ta cũng có :

Theo giả thiết : tanAtanB=6>0,tanAtanC=3>0 cho nên tanA>0,tanB>0,tanC>0

Suy ra : tanA=3 ,tanB=2 và tanC=1 . Điều đó chứng tỏ tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng có công sai d=1.

Bài 29. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B có thể có được ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết : tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng thì ta có : tanA+tanC=2tanB

1 )

Do 0Giá trị nhỏ nhất của B

Bài 30. Tam giác ABC có : theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Theo đầu bài ta có :

. Chứng tỏ ba cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Bài 31. Tam giác ABC có : theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng . Hãy chứng minh rằng : theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?

HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết ta có : cotA+cotC=2cotB

Vậy chứng tỏ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài 32. Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ?
HƯỚNG DẪN

Theo giả thiết : AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số cộng cho nên ta có hệ :

. Cho nên từ đó ta có kết quả sau : 2cotC=sinC , hay :

Do C là nhọn cho nên

Cho nên công bội của cấp số nhân là :
Những bài này được sưu tầm từ nhiều nguồn khác nhau. Cám ơn các tác giả nhiều nhiều nha.

Каталог: media
media -> KẾ hoạch xây dựng tcvn năM 2015
media -> ĐỀ CƯƠng ôn thi tốt nghiệp thpt quốc gia môn tiếng anh
media -> Mẫu số 05. Quyết định cho phép chuyển mục đích sử dụng đất
media -> CHÍnh phủ CỘng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam độc lập – Tự do – Hạnh phúc
media -> Sau khi Đảng Cộng sản Việt Nam ra đời (3/2/1930), Đảng đã thấy rõ tầm quan trọng của việc xây dựng tổ chức Đoàn
media -> THÔng tin pháp luật số 03
media -> Căn cứ Luật Tổ chức Chính phủ ngày 25 tháng 12 năm 2001
media -> Tr­êng tiÓu häc minh TÂN
media -> BỘ TÀi nguyên và MÔi trưỜNG

tải về 62.15 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: