# Projective Proof of Maxwell's Theorem

tải về 332.61 Kb.
 trang 4/4 Chuyển đổi dữ liệu 24.07.2016 Kích 332.61 Kb.
1   2   3   4

## Projective Proof of Maxwell's Theorem

Maxwell's theorem links the sides and cevians in one triangle to the cevians and side lines in another:
 Given two triangles ABC and MNP. Assume that the cevians in ΔABC parallel to the sides of ΔMNP are concurrent. Then the cevians in ΔMNP parallel to the sides of ΔABC are also concurrent.

Michel Cabart came up with a generalization that shows that Maxwell's theorem is of projective nature. The main tool is the projective reformulation of Ceva's theorem.

#### By Michel Cabart 9 May, 2008

Recollect the projective formulation of Ceva's theorem: Given an arbitrary line L, the cevians in ΔABC concur iff
 (1) R = (CBA'A0)·(ACB'B0)·(BAC'C0) = -1

where (WXYZ) denotes the cross-ratio YW/YX : ZW/ZX and the points A', B', C', A0, B0, C0 are defined as in the diagram below, where L is an arbitrary straight line.

In addition, let A1, B1, C1 be the intersection with L of the cevians AA', BB', and CC'.

Projection from A to the line L send the first quadruple in (1) onto B0, C0, A1, A0:

 (CBA'A0) = A(B0C0A1A0)

Similarly,
 (ACB'B0) = B(C0A0B1B0), (BAC'C0) = C(A0B0C1C0)

Thus the condition (1) can be written (cross-ratios being unchanged):
 (2) R = (A0B0C1C0)·(B0C0A1A0)·(C0A0B1B0) = -1

### Proof of Maxwell's theorem

Assume there are two triangles ABC and MNP and two triples of points on L such that A0, B0, C0 are intersections of L with sides of ΔABC and also with cevians of ΔMNP; A1, B1, C1 are intersections of L with sides of ΔMNP and also with cevians of ΔABC.

For ΔABC, we calculate

 R0 = (A0B0C1C0)·(B0C0A1A0)·(C0A0B1B0).

For ΔMNP, we calculate
 R1 = (A1B1C0C1).(B1C1A0A1).(A1B1C0C1)

We have the identity R0·R1 = 1 (as can be seen by developing cross-ratios). Hence R0 = -1 iff R1 = -1, or: the cevians in ΔABC concur iff the cevians in ΔMNP concur. Choosing the infinite line as line L gives Maxwell's theorem as a particular case. The case where sides and cevians in ΔMNP are taken perpendicular (or in fact any angle) to ΔABC is straightforward via an homography (in projective terms) or a rotation (in Euclidean terms).

Note: a dynamic illustration is available on a separate page.

Maxwell Theorem via the Center of Gravity

Michel Cabart
30 April, 2008

Below we offer a proof of Maxwell's theorem that is based on the notion of barycenter. Maxwell's theorem states the following fact:

 Given ΔABC and a point G, the sides of ΔMNP are parallel to the cevians in ΔABC through G. Then the cevians in ΔMNP parallel to the sides of ΔABC are concurrent.

Below, the vector joining point A to B will be written in bold, so that, for example, AB = - BA.

In ΔABC with A', B', C' on sides opposite the vertices A, B, and C, the fact that the cevians AA', BB', CC' concur in point G is equivalent to either of the two conditions:

 There is a triple of real numbers (a, b, c), unique up to a non-zero factor, such that (1) aGA + bGB + cGC = 0 There is a triple of real numbers (a, b, c), unique up to a non-zero factor, such that (2) A' = Z(B, b; C, c) B' = Z(A, a; C, c) C' = Z(A, a; B, b),

where Z(X, x; Y, y) denotes the barycenter of two material points X and Y with masses x at X and y at Y.

Let's suppose lines AA', BB' and CC' intersect.

Step 1: NP, PM, MN are parallel to GA, GB, GC means there exists x, y, z such that NP = xGA, PM = yGB, MN = zGC. As NP + PM + MN = 0, xGA + yGB + zGC = 0. A comparison with (1) shows that (x, y, z) is a multiple of (a, b, c). We can assume (x, y, z) = (a, b, c). Thus NP = aGA, PM = bGB, MN = cGC.

Step 2: MM', NN', PP' are parallel to BC, AC, AB meaning there is (m, n, p) such that MM' = mBC, NN' = nAC, PP' = pAB. The first equality yields
 MM' = m(GC - GB) = (m/c)MN + (m/b)MP

so that
 M' = Z(N, 1/c; P, 1/b) = Z(N, b; C, c)

by multiplying by bc. Similarly,
 N' = Z(M, a; P, c) and P' = Z(M, a; N, b).

This proves the theorem thanks to (2).

Maxwell's Theorem

The applet suggests the following theorem [Prasolov, 11.48, Pedoe, 6.1, 8.3, 28.4]:
 Given ΔABC and a point P, the sides of ΔA'B'C' are parallel to the cevians in ΔABC through P. Prove that the cevians in ΔA'B'C' parallel to the sides of ΔABC are concurrent.

A similar statement is true if the lines are taken to be perpendicular, instead of parallel. Furthermore, the two are clearly equivalent. We'll prove the latter.

Triangles A'B'C' with sides parallel to the given set of cevians are all similar. It therefore sufficient to establish the theorem for any one of those triangles. Consider the circumcenters OA, OB, and OC, of triangles PBC, PAC, PAB, respectively. The circumcircles of triangles PBC and PAC share chord PC, so that OAOB is perpendicular to PC. Similarly, OAOC PB and OBOC PA, which means that ΔOAOBOC is one of the family A'B'C'. The lines through its vertices perpendicular to the sides of ΔABC are exactly the perpendicular bisectors of the latter, which are known to meet at a point.

Two triangles ABC and A'B'C' are said to be orthologic if perpendiculars from A, B, C to B'C', A'C', A'B' are concurrent. The point of concurrency is known as the orthologic center of ΔABC with respect to ΔA'B'C'. Maxwell's theorem justifies the symmetry of the definition: if the perpendiculars from the vertices of one of the triangle to the sides of the other are concurrent, then the perpendiculars from the vertices of the latter to the sides of the former are also concurrent. As an example, in any triangle, the associated medial and contact triangles are orthologic.

We can use complex variables and the real product [Andreescu, 4.1] of complex numbers to easily establish the perpendicular case of Maxwell's theorem. For two complex numbers u and v define the real product as

 u·v = (uv* + vu*)/2,

where the asterisk denotes the complex conjugate. Assuming u = u1 + iu2 and v = v1 + iv2,
 u·v = u1v1 + u2v2.

In other words, the real product of two complex numbers is exactly the scalar product of the 2D-vectors represented by these complex numbers. It follows that for four complex numbers u, U, v, V the lines joining them pairwise are perpendicular iff
 (U - u)·(V - v) = 0.

Assume now the complex coordinates of the vertices of triangles ABC and A'B'C' are a, b, c and a', b', c'. The perpendicular from A to B'C' has the equation
 (1) (z - a)·(c' - b') = 0.

Similarly the perpendiculars from B and C are given by the equations
 (2) (z - b)·(a' - c') = 0 and (z - c)·(b' - a') = 0.

Adding the three up eliminates z:
 (3) a·(c' - b') + b·(a' - c') + c·(b' - a') = 0,

which is the condition for the perpendiculars from A, B, C to B'C', A'C', A'B' to be concurrent. Indeed, if (3) holds then, for any z,
 (4) (z - a)·(c' - b') + (z - b)·(a' - c') + (z - c)·(b' - a') = 0.

Now let's see if we can choose z the right way. First, for any z on the perpendicular from a to b'c', the first term in (4) vanishes. The choice of z as the intersection of the perpendiculars from a and b, eliminates the first two terms, which makes the third term also 0.

Importantly, (3) can be regrouped into

 (3') a'·(c - b) + b'·(a - c) + c'·(b - a) = 0,

in which the triangles switched the roles. (3') is the condition for the concurrency of the perpendiculars from A', B', C' onto the sides of triangle ABC. Q.E.D.

As an example, the pedal triangle of any point is orthologic to the base triangle. Also, Gergonne and medial triangles associated with the given one are orthologic.

Remark 1

The theorem bears name of James Clerk Maxwell, a famous physicist. His proof is different from anything above yet beautifully simple. He drew 4 pairwise intersecting circles centered at A, B, C and P. Taken by three, the circles define 4 radical centers. Let A' be the radical center of the circle centered at B, C, P. B', C', P' are defind cyclically. Then, say, A' and P' lie on the common chord of the circles B and C, which makes A'P' perpendicular to BC, etc.

Remark 2

There is another proof of Maxwell's theorem based on the notion of barycenter and another one of a generalization that shows surprisingly the projective nature of the theorem.

References

1. T. Andreescu, D. Andrica, Complex Numbers From A to ... Z, Birkhäuser, 2006

2. D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover, 1970

3. V. V. Prasolov, Problems in Planimetry, v 1, Nauka, Moscow, 1986 (Russian)

I.62)Định lí Maxwell

Định lí: Cho ABC và một điểm P, các cạnh của A'B'C' song song với các đường thẳng đi qua một đỉnh ABC và điểm P. Qua A',B',C' kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của ABC. Khi đó ta có các đường thẳng này đồng quy tại một điểm P'.

Chứng minh:
Dễ dàng c/m được các góc . Tương tự áp dụng định lí Ceva Sin ta có đpcm.

I.63)Định lí Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc.

Định lí:Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC vuông góc với BD tại S. Khi đó đoạn nối trung điểm một cạnh với S sẽ vuông góc với cạnh đối diện.
Chứng minh:

Ta chứng minh đại diện,chẳng hạn gọi M là trung điểm BC ta cần chứng minh MS vuông góc với AD.

Thật vậy,MS cắt AD ở H.

Ta có: ,M là trung điểm BC nên MS=MC.

Do đó:

Dễ =>dpcm

I.64)Định lí Schooten

Định lí: Cho tam giác đều ABC nhận (O) là đường tròn ngoại tiếp.Khi đó với mọi điểm S nằm trên (O) thì một trong 3 đoạn SA,SB,SC có một đoạn có độ dài bằng tổng độ dài hai đoạn còn lại.

Chứng minh:

Không giảm tổng quát ,giả sử S thuộc cung BC nhỏ.

Ta sẽ chứng minh SA=SB+SC.Thật vậy:
Gọi I là một điểm trên đoạn SA sao cho SI=SC.
Đến đây công việc của chúng ta là chứng minh AI=SB (*) mà điều này thì khá đơn giản ,chỉ cần để ý một chút:
Dễ thấy tam giác SIC đều nên (1)
Mà:CA=CB (2) và (3)
Từ (1),(2) và (3) ta dễ suy ra (*)

I.65)Định lí Bottema

Định lí:Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng hai hình vuông ABDE, ACFG .Gọi M là trung điểm DF.Thế thì Vị trí điểm M không phụ thuộc vào vị trí điểm A và tam giác MBC vuông cân tại M.

Chứng minh:

Chúng ta sẽ chứng minh ý hai bởi từ điều đó cũng suy ra ngay ý một.

Vậy công việc của chúng ta là chứng minh tam giác MBC vuông cân tại M.
Bài này có nhiều cách giải,ở đây ma 29 xin trình bày bằng pp phép biến hình

Kí hiệu: là chỉ phép quay tâm góc quay ,giả sử chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ.

Ta thấy:

Mà F là phép quay với góc quay nên tâm phép quay này chính là M. Dựa vào cách xác định tâm của tích hai phép quay ta dễ có dpcm

I.66)Định lí Pompeiu

Định lí;Cho tam giác ABC đều ,và một điểm D trên mặt phẳng tam giác.Khi đó luôn tồn tại một tam giác với độ dài các cạnh là DA,DB,DC.

Chứng minh:

Chúng ta sẽ dùng bất đẳng thức Ptolemy (Xem mục I.10)để giải quyết bài này một cách cực kì nhanh gọn!

Bây giờ,theo nguyên lí khởi đầu cực trị trong ba đoạn DA,DB,DC sẽ có một đoạn có độ dài lớn nhất.
Không giảm tổng quát ,giả sử đó là DA.
Đến đây ta chỉ cần chứng minh (\$)là xong.
Kí hiệu a là độ dài cạnh tam giác đều ABC
Sử dụng bất đẳng thức Ptolemy ta có:

Đến đây thì thấy tiền (\$)rồi

I.67)Định lí Zaslavsky
Định lí:Cho tam giác và điểm.Tam giác là ảnh của tam giác qua phép đối xứng tâm .Từ kẻ các đường thẳng song song với nhau cắt tại .Chứng minh rằng thẳng hàng.

Chứng minh:

Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

là ảnh của qua phép đối xứng tâm
nên là ảnh của qua phép đối xứng tâm
suy ra
Ta có:

Ta suy ra dpcm

1   2   3   4

Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

Quê hương