A. CỰc trị HÀM Đa thức bậC 3



tải về 60.04 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu30.08.2016
Kích60.04 Kb.
#28310

Bài 4. Cực trị hàm đa thức

BÀI 4. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC

A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3


I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số: y f (x)

2. Đạo hàm:

3. Điều kiện tồn tại cực trị


yf (x) có cực trị  yf (x) có cực đại và cực tiểu

có 2 nghiệm phân biệt    b2  3ac > 0


4. Kỹ năng tính nhanh cực trị

Giả sử   b2  3ac > 0, khi đó có 2 nghiệm phân biệt với


và hàm số đạt cực trị tại x1, x2.

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:



Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:



Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

hay với bậc



Bước 2: Do

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: yr(x)


Đối với hàm số tổng quát : yf (x) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình:

II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

  1. Tìm m để hàm số:
    đạt cực tiểu tại x  2.

Giải:

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì



  1. Tìm a để các hàm số ; . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.

Giải: . Ta cần tìm a sao cho g(x) có 2 nghiệm phân biệt và f (x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho (*)

Ta có:



  1. Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng yaxb.

Giải:

Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt 

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

Với m  3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số



yf (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():

Ta có () song song với đường thẳng yaxb

Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a  0 thì không tồn tại m thoả mãn.


  1. Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y  4x.

Giải: Ta có:

Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số

yf (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): .

Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)



  1. Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y  3x  7.

Giải: Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt  . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số yf (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra



 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():

Ta có ()  y  3x  7 


  1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua ():

Giải: Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt

. Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:



Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số yf (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên



 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): .

Các điểm cực trị đối xứng nhau qua

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra

(*) 

Bài 7. Cho
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR:

Giải: 1. Xét phương trình:

Ta có:

Nếu (vô lý)

Vậy  > 0 af (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT.



2. Theo Viet ta có:





  1. Cho hàm số

1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.

2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của

Giải: Ta có:

1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn:



2. Do

(do )

. Với thì



  1. Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.

Giải: Do có nên f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

. Do nên

Ta có:



. Vậy xảy ra  m  0.



  1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn .

Giải:  Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt  (*)

Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có:

Ta có:

Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy



  1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện .

Giải: HS có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt

(*)

Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) )

Vậy để thì



B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số: y f (x)

2. Đạo hàm:

3. Cực trị: Xét

4. Kỹ năng tính nhanh cực trị


Giả sử f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại xx0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Bước 2: Do f (x0)  0 nên f (x0)  r(x0)

Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: yf (x) nằm trên yr(x)

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA


  1. Tìm cực trị của hàm số .

Giải: Ta có: ;

Do phương trình có 1 nghiệm đơn x  2 và 1 nghiệm kép x  1


nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x  2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.

  1. Cho . Tìm m để (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Giải: ;

. Xét các khả năng sau đây:

a) Nếu thì

g(x)  0 .

Suy ra f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  0 mà f (0)  6(m  1) > 0 mI

, tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

b) Nếu thì

x  0 nghiệm kép, x  3.

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số yf (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

c) Nếu thì f (x) có 3 nghiệm phân biệt

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số yf (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận:


  1. Cho hàm số

Chứng minh rằng: m  1 hàm số luôn có cực đại đồng thời

Ta có: nên g(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lý Viet ta có:

 PT có 3 nghiệm phân biệt

0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau:

a) Nếu m < 1 thì

 Bảng biến thiên

Nhìn BBT suy ra

b) Nếu m > 1 thì

và

 Bảng biến thiên.

Nhìn BBT suy ra



Kết luận:

Vậy m  1 hàm số luôn có



Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)

Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị



Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt

Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều.

Giải. . Ta có: .
Để hàm số có CĐ, CT  có 3 nghiệm phân biệt  m > 0

 3 nghiệm là:  3 điểm CĐ, CT là:



.

Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì



Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

Giải. Xét

. Xét hàm số có TXĐ:



;

Nghiệm của phương trình

cũng là hoành độ giao điểm của

đường thẳng ym với đồ thị yg(x).

Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng ym cắt yg(x) tại đúng 1 điểm

có đúng 1 nghiệm.

Vậy hàm số yf (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.

Bài 7. Chứng minh rằng:

Giải. Ta có: và nghiệm kép x  0

Do f (x) cùng dấu với (4x  3p) nên lập bảng biến thiên ta có:



f (x)  0 x 

Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)

Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân



Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT

Bài 9. Chứng minh rằng: luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị

Bài 10. Chứng minh rằng:

Bài 11. Cho . Tìm m để (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.





tải về 60.04 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:



Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2024
được sử dụng cho việc quản lý
    Quê hương
BÁO CÁO
Tài liệu