A. ĐẠi số TỔ HỢp I. Kiến thức cơ bản quy tắc cộng

Có n₁ cách chọn đối tượng A₁.

n₂ cách chọn đối tượng A₂.

A₁  A₂ = 

 Có n₁ + n₂ cách chọn một trong các đối tượng A₁, A₂.

2. Quy tắc nhân:

Có n₁ cách chọn đối tượng A₁. Ứng với mỗi cách chọn A₁, có n₂ cách chọn đối tượng A₂.

 Có n₁.n₂ cách chọn dãy đối tượng A₁, A₂.

3. Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.

 Số hoán vị: P_n = n!.

4. Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 Số các chỉnh hợp:

5. Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

 Số các tổ hợp:

 Hai tính chất: ,

Số hình vuông trong hình có hai loại:

Loại có cạnh 1 đơn vị và loại có cạnh 2 đơn vị.

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các hình vuông kể trên

Ta có: N(A) = 10; N(B) = 4

Nhưng A Ç B = Æ nên số hình vuông cần tìm là:

N(A È B) = N(A) + N(B) = 10 + 4 = 14

Cách 2:

Có 10 hình vuông cạnh 1 đơn vị

Có 4 hình vuông cạnh 2 đơn vị

Vậy theo quy tắc cộng có 10 + 4 = 14 hình vuông thỏa yêu cầu bài toán.

Số cách chọn bút: 5 cách

Số cách chọn vở: 4 cách

Số cách chọn thước: 3 cách

Theo quy tắc nhân, có: 5.4.3 = 60 cách chọn.

Ví dụ 3: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có ba chữ số là:

Vì chẵn nên c Î {0, 2, 4, 6}

Trường hợp c = 0

Có 1 cách chọn c

Có 6 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Theo quy tắc nhân, có: 6.5.1 = 30 số.

Trường hợp c ¹ 0

Có 3 cách chọn c

Có 5 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Theo quy tắc nhân, có: 3.5.5 = 75 số

Vậy theo quy tắc cộng có: 30 + 75 = 105 số chẵn có ba chữ số khác nhau.

a. Hai người đó là vợ chồng.

b. Hai người đó không là vọ chồng.

Lời giải:

a. Có 10 cách chọn người đàn ông.

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ông đó)

Vậy theo quy tắc nhân có: 10.1 = 10 cách chọn

b. Có 10 cách chọn người đàn ông.

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà (trừ vợ người đàn ông đã chọn)

Vậy theo quy tắc nhân có: 10.9 = 90 cách chọn.

Ví dụ 5: Cho E = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}. Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các số thuộc tập E

Lời giải:

Gọi số phải tìm là

Hành động A chọn 4 số a, b, c, d gồm hành động

A₁ hay A₂:

A₁: Chọn d = 0 và chọn

A₂: Chọn d = 2 và chọn

Số cách thực hiện A₁:

Bước 1: chọn d = 0 có 1 cách

Bước 2: chọn : mỗi cách chọn là một chỉnh hợp (vì có thứ tự), 6 lấy 3 nên số cách chọn là

Vậy số cách thực hiện A₁ là: 1 . = 1 . 120 = 120 cách

Số cách thực hiện A₂:

Bước 1: chọn d = 2 có 1 cách

Bước 2: chọn a (a ¹ 0 và a ¹ 2) có 5 cách

Bước 3: chọn . Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp, 5 lấy 2 (lấy 2 phần tử từ E\{2 ; a} nên có:

Vậy số cách thực hiện A₂ là:

1 . 5 . = 1 . 5 . 5 . 4 = 100

Tóm lại số cách thực hiện hành động A là: 120 + 100 = 220 cách

Vậy có 220 số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các số thuộc E

a. Chọn học sinh nào cũng được?

b. Trong 4 học sinh được chọn, có đúng một học sinh nữ được chọn?

c. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ được chọn?

a. Mỗi cách chọn tùy ý 4 học sinh trong số 12 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 12 học sinh:

Vậy ta có: (cách chọn)

b. Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam.

Số cách chọn học sinh nữ là:

Số cách chọn học sinh nam là:

Vậy có: (cách chọn)

c. Trường hợp 1: (1 nữ + 3 nam) có 252 cách chọn.

Trường hợp 2: (2 nữ + 2 nam)

Số cách chọn nữ:

Số cách chọn nam:

Vậy có: (cách chọn)

Trường hợp 3: (3 nữ + 1 nam)

Số cách chọn nữ:

Số cách chọn nam:

Vây có:

Vậy số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 252 + 108 + 9 = 369 (cách chọn)

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM GIÁN TIẾP

Ví dụ 1: Với các số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a. Có 4 chữ số khác nhau.

b. Số lẻ với 4 chữ số khác nhau.

c. Số chẵn có 4 chữ số khác nhau.

d. Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Lời giải:

a. Có số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số )

Có số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0.

Vậy có 120 – 24 = 96 số có 4 chữ số khác nhau.

b. Gọi số có 4 chữ số là . Vì là số lẻ nên:

Chữ số d có 3 cách chọn (1, 3, 9)

Chữ số a có 3 cách chọn.

Chữ số b có 3 cách chọn.

Chữ số c có 2 cách chọn.

Vậy có 3 . 3 . 3 . 2 = 54 số lẻ.

c. Có 96 – 54 = 42 số chẵn.

d. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} có duy nhất 1 số không chia hết cho 3.

Vậy số đo chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập {0, 3, 6, 9}.

Có 4! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0)

Có 3! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số 0.

Vậy kết quả là: 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số

Ví dụ 2:Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn tròn? (Hai cách xếp được xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó).

Lời giải:

Có 5! = 120 cách

Có (n – 1)! Cách xếp n (n ³ 2) người quanh một bàn tròn. Để xếp n + 1 người quanh bàn tròn ta xếp n người đầu tiên rồi xếp người cuối cùng vào 1 trong n khoảng trống giữa n người.

Vậy có (n – 1)!n = n! cách xếp n + 1 người ngồi quanh một bàn tròn.

Gọi số cần tìm là

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.

Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.

Xếp 3 có 4 cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.

Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả ..5! = 12000 số.

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là .

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:

Số cách chọn thoả mãn đề bài là: (cách)

Ví dụ 6. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.

Lời giải

Nếu n £ 2 thì n + 6 £ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua (loại). Vậy n ³ 3

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

Û (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540

Û n² + 4n – 140 = 0

Từ đó tìm được n = 10.

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2015.

2) Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Trên đường thẳng d₁ có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d₂ có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

3) Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em xếp thành một hàng ngang để nhận giải thưởng, yêu cầu phải có cả 3 em nữ trong hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dể. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập nên bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong đề phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, dể, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?

5) Có 4 nhà Toán học nam, 2 nhà Toán học nữ, 3 nhà Vật lý học nam và 3 nhà Vật lý học nữ. Có bao nhiêu cách lật một đoàn dự hội nghị gồm 2 nam và 2 nữ, có cả Toán lẫn Lý ?

6) Chứng minh rằng:

a/ ; b/ ;

c/ .

7) Giải phương trình

a/ ; b/ ; c/ .

8) Giải bất phương trình .

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

 Đặc biệt:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN

Dạng 1: Khai triển nhị thức NewTơn

Dạng 2: Tìm số hạng (hệ số của số hạng) trong khai triển.

Dạng 3: Vận dụng khai triển nhị thức NewTơn để chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức

Ví dụ 1: Viết khai triển

a/ ; b/ ;

c/ ; d/ .

Ví dụ 2: Tìm hệ số của trong khai triển .

Ví dụ 3: a/ Tìm hệ số của trong khai triển .

b/ Tìm hệ số của trong khai triển .

c/ Khai triển thành đa thức.

d/ Trong khai triển của , hãy tính hệ số của .

e/ Hãy xác định số hạng chứa trong khai triển .

Giải phương trình ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.

Phương trình tương đương với Û

Û n² – 11n – 12 = 0 Û n = - 1 (Loại) v n = 12.

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: .

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: T_{k +1} = ; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12

Hay T_{k+ 1} = = .

Số hạng này không chứa x khi .

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T₉ =

Ví dụ 4. Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển (x² + 2)ⁿ, biết: .

Lời giải

Điều kiện n ³ 4

Ta có

Hệ số của số hạng chứa x⁸ là

Hệ số của số hạng chứa x⁸ là

Ta có:

Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

Û n³ – 7n² + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n² + 7) = 0 Û n = 7

Nên hệ số của x⁸ là

Ví dụ 5 (ĐH). Cho khai triển đa thức: Tính tổng:

Lời giải

Ta có:

Nhận thấy: do đó thay vào cả hai vế của (*) ta có:

Ta có nên

Trong khai triển hệ số của là: ; Trong khai triển hệ số của là:

Trong khai triển hệ số của là:

Vậy hệ số

Ta có: (1)

Lấy (1)+(2) ta được:

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:

Thay x=1 vào =>

1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với x > 0.

2) Tính tổng:

3) Tính tổng .

S= (Đs: )

1/ PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU a) Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó. b) Không gian mẫu Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 2/ BIẾN CỐ Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập Æ được gọi là biến cố không thể . Còn tập được gọi là biến cố chắc chắn. 3/ PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ - Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là - Tập AÈB được gọi là hợp của các biến cố A và B. - Tập AÇB được gọi là giao của các biến cố A và B. - Nếu A ÇB=Æ thì ta nói A và B xung khắc. Chú ý - AÈB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra . - AÇB xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra . Biến cố AÇB còn được kí hiệu A.B - A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra. 4/ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) Vậy Chú ý: n(A) là số phần tử của A; n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Nhận xét: 0 £P(A)£1, với mọi biến cố A ( P(Æ) =0, P()=1) 5/ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT a) Công thức cộng: Nếu A và B xung khắc P( A È B ) = P(A)+P(B) Đặc biệt: Với mọi biến cố A, ta có b) Công thức nhân: A và B là hai biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B)

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: hoctoancapba.com

Khi đó .

Xác suất của biến cố là .

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là:

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: 13.

Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: = .

Giả sử

Chọn

Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là:

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .

Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:

Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .

Gọi A_i là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.

Ta có:

Suy ra:

Trong đó:

Vậy:

1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất

một số chia hết cho 5.

2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.

3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.

4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.