ĐỀ luyện tập số 4: HÌnh học không gian (Các em tự vẽ hình vào các bài tập) Phần A: Thể tích khối đa diện



tải về 42.52 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu30.08.2016
Kích42.52 Kb.
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)

Phần A: Thể tích khối đa diện.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là , cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt (SAD) góc . Tìm thể tích hình chóp S.ABC

HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là:

Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết



Đặt BD = x suy ra:



Do đó:



Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh SA vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN

HDG: Theo giả thiết

Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)

Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:

Vậy:



Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD

HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực tâm ∆SCD



Vì I là trung điểm của SH nên :




Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử , góc nhọn và mặt phẳng (AA1C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc . Tìm thể tích lăng trụ.

Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết và các góc đều bằng .

HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử

Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC1D1 là tứ diện đều cạnh a nên có

Theo công thức tỉ số thể tích:



Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’

HDG: Gọi , suy ra đi qua I

Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên

Theo công thức tỉ số thể tích:

Vậy:



Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).

HDG: Ta có:

Áp dụng pitago ta có:



, ,

vuông tại A nên

Vậy khoảng cách cần tìm là:



Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).

HDG: Ta có:

Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:



Áp dụng pitago trong tam giác vuông:



Ta có:



Vậy khoảng cách cần tìm là:



Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.

HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:

Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được

Xét tam giác AHD có:



Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:





Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.

HDG: Gọi là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.

Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:



Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng nên ta có đpcm.



Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn . Thiết diện với hình chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q.

  1. Chứng minh

  2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương.

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc .

  1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)

  2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ số .

HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):

. Kẻ

Vậy (ACM) là thiết diện.



  1. Đặt

Ta có:

. Gọi N là trung điểm của CD



Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian.

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh .

  1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).

  2. Chứng minh vuông tại S.

HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì nên . Mà vì ABCD là hình thoi, nên

Có:


Bài 2: Tứ diện SABC có Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

  1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và

  2. Chứng minh

(Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm)

HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác , theo giả thiết . Nên

Do K là trực tâm

Từ đó suy ra (đpcm)

2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:

. Do đó:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.


  1. Chứng minh

  2. Chứng minh

HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên

2. Từ giả thiết suy ra: , mà



Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:



HDG: Từ giả thiết suy ra:

. Do đó

Ngoài ra ta cũng có nên:

Chứng minh tương tự ta được

Vậy ta có đpcm.

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và . Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc


  1. Chứng minh

  2. Chứng minh là điều kiện cần và đủ để .

HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra: vuông tại B nên .

Tương tự ta có

Dễ thấy: , từ trên suy ra

2. Vì BM là trung tuyến của nên: cân đỉnh B



(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)



Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có và vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

  1. SB và CD

  2. SC và BD

HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên

Lại có:

Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và

2. Gọi AC và BD vuông góc nhau tại O, mà . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD

Ta có:

Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M

Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC nên , từ đó suy ra .

Trong kẻ . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Ta có:



Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh cạnh bên SC vuông góc với mp(ABC) và Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

HDG: Dễ chứng minh được (vì )

Trong mp(SAC) kẻ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.

Ta có:



Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh và góc . Đoạn và SO vuông góc với mp(ABCD).


  1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC).

  2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)

Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính

HDG: Ta có:

Gọi . Mà nên:góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là

Do đó:

Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt Chứng minh rằng:

là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc .



HDG: Ta có:

Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc



Do đó:






Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương