" BÀi toán viết phưƠng trình tiếp tuyến của mộT ĐƯỜng cong đỐi tưỢng học sinh thpt" I. Phần I: CÁc dạng toáN



tải về 41.27 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu15.08.2016
Kích41.27 Kb.
#20353
" BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

MỘT ĐƯỜNG CONG - ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH THPT"

I. PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm .

a) Phương pháp giải:

- Tính .

- Tính hệ số góc của tiếp tuyến .

- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm là:





b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)(C).



Giải

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:



 Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên.



Ví dụ 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)

Cho hàm số:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng .

Giải

Gọi xo là hoành độ tiếp điểm  ta có .

Với  phương trình tiếp tuyến tại là:

Với  phương trình tiếp tuyến tại là:





Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị là (C).

(C) cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A và B.

Giải

- Tập xác định: D = R\{- 1}

- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.

(C) cắt Ox tại điểm .






Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:





* Nhận xét: Qua ví dụ 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được phương trình tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1 nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên.

Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip.



Ví dụ 4: Cho (E) có phương trình: .

Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm .



Giải

Nhận xét điểm .



.

phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ dương nên .

Vậy phương trình tiếp tuyến tại là:





2. Dạng 2: Cho hàm số có đồ thị là (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước:

a) Phương pháp giải:

- Tính .

- Gọi tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.

xo là nghiệm phương trình .

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: .

Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc là k1.

đường thẳng D2 có hệ số góc là k2.

Thì D1 // D2  k1 = k2.

D1  D2  k1 . k2 = - 1

D1 cắt D2  k1  k2



b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)

Giải

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm .

xo là nghiệm phương trình

Với  phương trình tiếp tuyến là .

Với  phương trình tiếp tuyến là .

Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .



Giải

D = R \ {1}; .

Gọi tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng , có hệ số góc k: .

xo là nghiệm phương trình

Tại có tiếp tuyến là .

Tại có tiếp tuyến là .



* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình tiếp tuyến dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác. Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau.

3. Dạng 3:

a) Bài toán: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm cho trước.

b) Cách giải:

* Cách 1:

- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.

 d có phương trình: (1)

- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình:



Giải hệ phương trình tìm k  thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.



* Cách 2:

- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm  d có phương trình: .

- Vì A (xA; yA) d

(2)

- Giải phương trình (2) tìm xo .

- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:



c) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số .

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).



Giải

TXĐ: D = R \ {1}.



Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là

- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình: .

- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là .



Ví dụ 2: Cho hàm số .

Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 3/2).



Giải

- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là .

- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương trình:

Có nghiệm

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:



- Từ dạng 3 này có thể mở rộng bài toán tiếp tuyến thành 1 vài dạng: chẳng hạn ở ví dụ 3:



Ví dụ 3:

Cho hàm số: .

CMR không có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.

Giải

x = 2 Là tiệm cận đứng



y = x - x Là tiệm cận xiên

Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận  I (2; 1).

Gọi xo là hoành độ tiếp điểm .

.

Phương trình tiếp tuyến tại (xo; yo) dạng.

Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:



(2) phải có nghiệm

(2) vô nghiệm

Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của các đường tiệm cận.

PHẦN 2: KẾT LUẬN

1. Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn giữa dạng 1 và dạng 3 nên trong quá trình giảng dạy cần phan biệt cho học sinh:

- Tại một điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong đó.

- Qua một điểm có thể có ít nhất một tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp tuyến).

Chẳng hạn như ở ví dụ 2 dạng 3 là hàm số mà phải viết phương trình tiếp tuyến đi qua .

- Lời giải đúng: (Đã trình bày).

- Lời giải chưa chính xác như sau:

Dễ dàng nhận thấy  phương trình tiếp tuyến tại A: .

Lời giải này không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến .

2. Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ các yếu tố cần thiết.



- Tọa độ tiếp điểm (xo; yo).

- Hệ số góc k = f'(xo).

tải về 41.27 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2024
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương