+ (2m-1)x + m 1= 0 (1) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có

T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh Èn x sau:

x² - m²x + m + 1 = 0

cã nghiÖm nguyªn.

Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi = m⁴ - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph­¬ng

Ta l¹i cã: m = 0; 1 th× < 0 (lo¹i)

m = 2 th× = 4 = 2² nhËn

m  3 th× 2m(m - 2) > 5  2m² - 4m - 5 > 0

 - (2m² - 2m - 5) <  <  + 4m + 4

 m⁴ - 2m + 1 <  < m⁴

 (m² - 1)² <  < (m²)²

 kh«ng chÝnh ph­¬ng

VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.

1. 
   Cho ph­¬ng tr×nh . Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña th× ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ? Khi ®ã gäi vµ lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña ®Ó .
   

Khi ®ã ta cã x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=31 ap dông hÖ thøc vi Ðt ta ®­îc

(-3)²-2m=31 tháa m·n ®iÌu kiÖn m<9/4
Bµi 34:

Cho ph­¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña , biÕt r»ng ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x₁ vµ x₂ tháa m·n ®iÒu kiÖn .

Ta cã :®Ó PT cã 2 nghiÖm x₁x₂th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ :

Theo gi¶ thiÕt c¶ hai gi¸ trÞ nµy cña m ddeuf tháa m·n ®iÒu kiÖn vËy c¸c gi¸ trÞ cña m tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ m =

a) Giải phương tr×nh với m = 1.

Cho phương tr×nh x² - 2mx + m² -m + 1 = 0 (1)

a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn khi m = 2.

b, T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.

a. Víi m = 2 thay vµo ®­îc x² - 2x - 3 = 0

cã d¹ng a - b + c = 0 ( HoÆc tÝnh )

x₁ = -1 ; x₂ = 3 vµ kÕt luËn nghiÖm
b. TÝnh

Suy ra m < 4 vµ kÕt luËn m < 4 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm

1. 
   Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
   
2. 
   Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao c, c, cho biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.
   

A =(x_1.x₂+6) theo ®Þnh lý vi Ðt ta cã

A =x₁x₂=-6 vËy A_max=0 khi vµ chØ khi

VËy m =0 ; m =2 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m

1. 
   Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m.
   
2. 
   Gäi x₁,x₂ lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Chøng tá M = x₁ + x₂ - x₁x₂ kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .
   

Nªn ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m

Nªn kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .

T×m số thực a để phương tr×nh sau cã nghiệm nguyªn

®iÒu kiÖn ®Î ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm

Gäi x₁.x₂Lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh gi¶ sö x₁>x₂

Theo ®Þnh lý vi Ðt ta cã :

Suy ra a=6 hoÆc a=-2 tháa m·n ddieuf kiÖn

1. GiaØ ph­¬ng tr×nh khi m = 3

2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã nghiªm.

3. T×m gi¸ trÞ cña m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai 2 nghiÖm x₁, x₂ tháa m·n ®iÒu kiÖn x₁² + x₂² = 10

Gi¶I :

1. 
   Khi m = 3, ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : x²- 4x + 4 = 0  (x - 2)² = 0  x = 2 lµ nghiÖm kÐp cña ph­¬ng tr×nh.
   
2. 
   Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm  ’ ≥ 0  (-2)² -1(m + 1) ≥ 0  4 - m -1 ≥ 0  m ≤ 3.
   

3. 
   Víi m ≤ 3 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm . Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x₁, x₂ .Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã : x₁ + x₂ = 4 (1), x₁.x₂ = m + 1 (2). MÆt kh¸c theo gt : x₁² + x₂² = 10  (x₁ + x₂)² - 2 x₁.x₂ = 10 (3). Tõ (1), (2), (3) ta ®­îc :16 - 2(m + 1) = 10  m = 2 < 3(tho¶ m·n) . VËy víi m = 2 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x₁² + x₂² = 10.
   

A, Gi¶i PT víi m= -1

B , T×m m ®Ó PT cã 4 nghiÖm ?

Gi¶i a, Khi m = -1 ta cã PT x⁴+2x²-3=0 ®Æt x²=t ®/k t

Ta cã PT t²+2t -3 =0 t₁=1 t₂ =-3 lo¹i

Gi¶i ra ta ®­îc x=

B, t= x² (tt cã PT : T²-2m +m²-4 =0 (2)

®Ó (1) cpos 4 nghiÖm th× (2) ph¶i cã 2 nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt

Bµi 42 : cho PT : x²-(2m+2)x +m²+2m = 0

A, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m

B, gäi x₁x₂ lµ hai nghiÖm cña PT t×m m ®Ó 2x₁+x₂ = 5

Gi¶ a, vËy PT cã nhiÖm víi mäi m

B, x₁x₂ lµ hai nghiÖm cña PT

X₁+x₂= 2m + 2 (1)

X₁x₂ = m²+2m (2)

Mµ 2x₁+x₂ = 5 x₁ +x₁+x₂ =5 suy ra x₁+2m +2 =5 suy ra x₁= 3 – 2m

Thay x₁ vµo suy ra x₂ = 2m-2 –x₁ = 4m -1thay vaof (2) ta ®­îc

9m² -12m+3 = 0 suy ra m₁= 1, m₂= 1/3

Bµi 43 : cho PT x² - (3m -1)x +2m²-m = 0

A, GPT khi m = 1

b. t×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x₁ ,x₁ mµ

Gi¶I a, khi m =1 PT trë thµnh x²-2x +1 = 0 s uy ra (x-1)² = 0

Suy ra x = 1

B, khi m

Th× x)² = 4Bµi44 : Cho pT x² -2(m+4) x +m²-8 = 0

A, gi¶i PT víi m =-3

B, T×m m ®Ó PT cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x_1,,x₂ mµ x₁²+x₂ –x₁x₂ =121

Giai a, khi m = -3 ta cã x²-2x+1=0 suy ra x = 1

X₁²+x₂²-x₁x₂= 121 suy ra 4(m+4)²-3( m²-8) =121

m+32m -33=0 suy ra m₁ = 1 m₂=-33 lo¹i vËy víi m= 1 th× PT tháa m·n

Bµi 45 : Cho PT x² +(m²+1)x +m+2 = 0 m lµ tham sè

A, Chøng minh r»ng víi mäigi¸ trj cña m th× PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt

B , Gäi x₁ , x₂ lµ c¸c nghiÖm cña PT t×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña m sao cho

Gi¶I a, (m²+1)²-4(m-2)=m⁴+2m²+1 -4m +8= m⁴-2m²+1+4m²-4m +1+7=(m²-1)²+(2m-1)²+7 >0víi mäi m vËy PT lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m

B , (2x₁-1)x₁+(2x₂-1)x₂ = x₁²x₂²+55suy ra 2x₁-x₁+2x₂²-x₂-x₁²x₂²-55=0

2(x₁+x₂)²-4x₁x₂-(x₁+x₂)-(x₁x₂)²-55 =0 (2) ¸p dông ®Þnh lý vi Ðt

Ta cã : x₁+x₂=- (m²+1) x₁x₂ = m-2 thay vµo (2) ta cã

2m⁴+4m²+2+8+1-4-55-4m +4m =0 suy ra 2m⁴+4m²-48 =0

®Æt m² = t 2t²+4t – 48 = 0,= 100 >0 suy ra t₁=4 . t₂= -6 ( lo¹i)

Thay t = 4 suy ra m² =4 vËy m= xÐt ®iÒu kiÖn suy ra m =- 2

Bµi 46 : Cho PT (m+1)x² -2(m-1)x+m-3 = 0 Èn x m lµ tham sè (m

A, Chøng minh PT cã nghiÖm víi mäi x ?:

B, T×m m ®Ó PT cã cã hai nghiÖm cïng dÊu :

C,T×m m ®Ó PT cã nghiÖm nµy gÊp ®«I nghiÖm kia ?

Gi¶I : a, =(m-1)²-(m+1)(m-3) = m²-2m +1-m²+3m-m+3=4>0

Vëy PT cã nghiÖm víi mäi m

B, §Ó PT cã hai nghiÖm cïng dÊu th× ;

víi m>3 th× PT cã hai nghiÖm cïng dÊu

C, x₁ =

Gi¶ sö : Tr­êng hîp 1 : 1=2 suy ra m+1=2m-6

TH2 : 2.1=

Bµi 46 : Cho PT : x²-2(m+1)x+2m+10 = 0

T×m m sao cho hai nghiÖm x_1,x₂ cña PT tháa m·n 10x₁x₂+x₁²+x₂² ®¹t gi¸ trj NN

Gi¶I : 10x₁x₂+x₁²+x₂²=8x₁x₁+2x₁x₂+x²+x₂²=8x₁x₂+(x₁x₂)²=8(2m+10)+

=16m +80 +4m²+8m +4 = 4m²+24m+84=(2m+6)²+48

Vëy gi¸ trj nhá nhÊt khi m= -3 lµ 48

Gäi x₁ , x₂ lµ hai nghiÖm cña PT : t×m GTLN cña A =

Gi¶I : A =

Bµi 47 : Cho PT x²-2(m+4)x+m²-8 = 0

A, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt ?

B, t×m m ®Ó A = x₂²+x₂²-x₁-x₂ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ?

Gi¶I : §Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th×

8m+24

B, A= (x₁+x₂)²-2x₁x₂-(x₁+x₂)=

= 4m²+16m+64-2m²+16+2m+8=2m²+18m+88=2

=2(m+ vËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = khi x=-
Bµi 48 : Cho PT x² –(m+1)x +m²-2m+2=0

A, gi¶I PT víi m=2

B, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm cïng dÊu cã mét nghiÖm x₁=2 t×m nghiÖm x₂=?

C, Gäi x₁, x₂lµ hai nghiÖm cña PT t×m m ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc

A= x₁²+x₂²-x₁-x₁ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ?

Gi¶I a, víi m=2 th× PT x²-3x+4-4+2 =0

X²-3x+2=0x₁=1 x₂=2

B,

®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x₁,x₂ cïng dÊu th× P >0 thuéc ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh

thay x₁=2 vµo PT ta cã m²-4m+4 =0

M=2 tháa ,m·n §/K x₁x₂==1

C, th× PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x₁,x₂ khi ®ã

A = (x₁²+x₂²-x₁x₂=(x₁+x₂) -3x₁x₂=(m+1)²-3(m²-2m+2)

A= -2m²+8m-5=3-2(m-2)

Ba× 49 : Cho PT ; x²-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)

A, gi¶I PT víi m=1

B, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m

C, gäi x₁,x₂ lµ 2 nghiÖm cña PT (1) CMR K=x₁(!-x₂)+x₂(1-x₁) kh«ng phô thuéc vµo m

Gi¶I a, m=1 ta cã x₁=2+ x₂=2-

B, x=

C, PT cã hai nghiÖm x₁,x₂ K =x₁-x₁x₂+x₂-x₁x₂=10

VËy biÓu thøc ®óng víi mäi m

Bµi 50 : Cho PT x²-2mx+m^2-+m+1= 0

A, Gi¶I PT víi m=1

B, t×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt

c. T×m m ®Ó biÓu thøc A= x₁x₂-x₁-x₂ ®Ët GTNN

Gi¶I : a, Víi m=1 th× PT trë thµnh x²-2x+1 =0

VËy x = 1

B, = m-1 ®Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th×

C, Víi §/K m>1 ¸p dông ®Þnh lý vi Ðt ta cã

X₁+x₂= 2m x₁x₂=m²-m+1

A = x₁x₂-x₁-x₂=x₁x₂-(x₁+x₂)=m²-m+1-2m suy ra m²-3m+1

VËy gi¸ trÞ NN khi m=3/2 th× A= -5/4

Bµi 51 : Cho PT x² -2(m-1)x+2m-4 = 0

A, Gi¶I PT víi m=2

B, T×m gi¸ trÞ NN cña M = x₁²+x₂² víi x₁, x₂ lµ nghiÖm

Gi¶I : a, víi m=2 PT trë thµnh x² -2x =0 vËy x= 0 x=2

B,
(m-2)²+1>0 víi m

M= x₁²+x₂²=x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=

4m²-8m +4-4m +8 =4m²-12m +12= 4m²-12m +9 +3=(2m-3)²+3

VËy ®Ó M nhá nhÊt th× 2m-3 = 0 suy ra m = 3/2 vµ GTNN lµ 3

Bµi 52 : Cho PT x² -2mx +m²-1 = 0

A, Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi m

B, T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x₁, x₂ cña PT ®éc lËp víi m

C T×m m ®Ó

Gi¶I : a,

VËy PT cã nghiÖm víi moi m

B, x₁+x₂=-(-2m)=2m = S thay vao (1) x₁x₂==m²-1=P (1)

-(

C,x₁²+x₂²) = -5x₁x₂=2x₁²+2x₂+4x₁x₂+x₁x₂=0

= 2(x₁²+x₂²+2x₁x₂)+x₁x₂=0 2(2m)²+m²-1 =0 9m²-1=0

m =

Bµi 53 ; Cho PT x²-2(m1)x+2m+3= 0

A, gi¶I PT víi m= -3

B, T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm x₁, x₂ tháa m·n (x₁-x₂)²= 4

A, x_1,2=

B, §Ó PT cã hai nghiÖm th×

M² -2 m

(x₁-x₂)² = 4x₁²+x₂²-2x₁x₂=4 x₁²+2x₁x₂+x₂² = 4

4m²+8m+4-8m-12=4 suy ra 4m²-8=4

Tháa m·n ®iÒu kiÖn

Bµi 54 : Cho PT x²-5mx -4m = 0

A, Gi¶I PT víi m=-1

B, trong tr­êng hîp PT cã hai nghiÖm x₁ ,x₂ chøng minh r»ng

X₁²-5mx₂-4m >0

Gi¶I : Víi m=-1 PT cã hai nghiÖm x₁=-1 , x₂=-4

B víi mPT cã hai nghiÖm ph©n biÖt lóc ®ã

X₁+x₂=5m suy ra x₂=5m-x₁

X₁.x₂=-4m

XÐt x₁²-5mx₂-4m (1) thay x₂=5m –x₁ vµo (1)

Ta cã x₁²+5m(5m-x₁)-4m = x₁²+25m²-5mx₁-4m =(x₁²-5mx₁-4m)+25m² vi x₁